漸化式と数学的帰納法の基礎

君が数列で最も苦戦するのがこの分野かもしれないが、実はパターンを覚えれば確実に解けるようになる。漸化式は数列の隣り合う項の関係式で、初項と一緒に与えられると数列全体が決まる仕組みだ。

一般項を求めることが最終目標になる。例えば $a_1 = 2$、$a_{n+1} = 2a_n + 1$ という漸化式があれば、これから $a_n$ をnの式で表すことを目指す。

一方、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明する方法だ。ドミノ倒しに例えられることが多く、最初のドミノ（n=1）を倒し、あるドミノが倒れれば次も倒れることを示せば、すべてのドミノが倒れることを証明できる。

覚えておこう: 共通テストでは誘導に従って解き進める形式が多いから、基本パターンの習得が何より重要だ。

漸化式の4つの基本パターン

漸化式の問題は型を見抜くことが勝負の分かれ目だ。まずは形を判別してから適切な解法を選ぼう。

等差数列型（$a_{n+1} = a_n + d$）と等比数列型（$a_{n+1} = ra_n$）は基本中の基本。それぞれ公差d、公比rを使って一般項がすぐに求まる。

階差数列型（$a_{n+1} = a_n + f(n)$）では、階差数列の考え方を使って $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$ で求める。ただし、この公式は $n \geq 2$ で成り立つから、$n=1$ のときの確認を忘れずに。

最も重要なのが $a_{n+1} = pa_n + q$ 型だ。特性方程式 $α = pα + q$ を解いて、$a_{n+1} - α = p(a_n - α)$ の形に変形する。この変形により等比数列の問題に帰着できる。

ポイント: 特性方程式を使う理由は、等比数列の形 $b_{n+1} = pb_n$ を作るため。$b_n = a_n - α$ とおくことで解決できる。

数学的帰納法の証明手順

証明問題は型通りに書くことで確実に点数が取れる。手順を守って、採点者に分かりやすく論理を展開しよう。

[I] n=1での成立: まず $n=1$ を命題に代入して、左辺と右辺を計算する。両辺が等しくなることを確認して「$n=1$ のとき命題は成り立つ」と結論づける。

[II] n=k⇒n=k+1の証明: 「$n=k$ のとき命題が成り立つ」と仮定し、この仮定を使って $n=k+1$ のときも成り立つことを示す。仮定の式を明確に書いて、どこで使ったかを「仮定より」と明記することが重要だ。

例えば $1+2+...+n = \frac{n$n+1$}{2}$を証明する場合、$n=k+1$のときの左辺で$1+2+...+k$の部分を仮定の式$\frac{k$k+1$}{2}$ に置き換えて計算を進める。

結論: 最後に「[I], [II]より、すべての自然数nについて命題は成り立つ」と締めくくる。この定型文を忘れると減点される可能性がある。

注意: 「仮定より」という一言と、仮定をどこで使ったかを明確にすることで、論理の流れが採点者に伝わりやすくなる。

実際の問題で理解を深めよう

具体例を通して解法の流れを確認してみよう。$a_1 = 3$、$a_{n+1} = 2a_n - 1$ の一般項を求める問題を考える。

これは $a_{n+1} = pa_n + q$ 型（$p=2, q=-1$）だから、特性方程式 $α = 2α - 1$ を解く。$α = 1$ が得られる。

漸化式を変形して $a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$ とする。$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ という等比数列になる。

$b_1 = a_1 - 1 = 3 - 1 = 2$ だから、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$。よって $a_n = b_n + 1 = 2^n + 1$ が答えだ。

数学的帰納法の証明では、$n=1$ での確認、仮定の明記、$n=k+1$ での計算、結論という4つのステップを必ず踏む。計算ミスを避けるために、各ステップを丁寧に進めることが大切だ。

試験のコツ: 階差数列の公式を使った後は、必ず $n=1$ のときも一般項が成り立つかをチェックしよう。これを忘れると大きく減点される。

試験対策の最終チェック

試験で確実に得点するために、以下のポイントを押さえておこう。

漸化式のパターン認識: 問題を見たら冷静にどの型か判断する。等差、等比、階差、特性方程式の4パターンを瞬時に見分けられるよう練習を重ねよう。特性方程式では $a_{n+1} - α = p(a_n - α)$ の変形を確実にマスターすることが重要だ。

数学的帰納法の記述: 証明の型を守ることが何より大切。「$n=k$ で仮定し、$n=k+1$ で示す」という構造を明確に書き、仮定をどこで使ったかを必ず明記する。

計算の正確性: 特性方程式の変形や帰納法の $n=k+1$ での計算は複雑になりがち。焦らず丁寧に展開・因数分解を行おう。不等式の証明では $A > B$ を示すために $A - B > 0$ を示すのが基本戦略だ。

この分野は練習量がものを言う。様々なパターンの問題に触れて解法の引き出しを増やせば、必ず得点源にできる分野だ。

合格への近道: 基本パターンを完璧にしてから応用問題に取り組もう。焦らず着実にステップアップすることが成功の秘訣だ。