Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Ułamki algebraiczne klasa 3 liceum - Zadania, Mnożenie i Dzielenie, Asymptoty i Hiperbola

Zobacz

Ułamki algebraiczne klasa 3 liceum - Zadania, Mnożenie i Dzielenie, Asymptoty i Hiperbola
user profile picture

zuzka

@zuzkak

·

466 Obserwujących

Obserwuj

Ułamki algebraiczne i funkcje wymierne to kluczowe zagadnienia w matematyce na poziomie liceum. Obejmują one definicje, właściwości oraz zastosowania ułamków algebraicznych, równań i nierówności wymiernych, a także funkcji homograficznych. Te koncepcje są istotne dla zrozumienia bardziej zaawansowanych tematów matematycznych i często pojawiają się w zadaniach maturalnych.

  • Ułamki algebraiczne to wyrażenia w postaci ilorazu wielomianów.
  • Równania i nierówności wymierne zawierają ułamki algebraiczne i wymagają specjalnych metod rozwiązywania.
  • Funkcje homograficzne to szczególny rodzaj funkcji wymiernych, których wykresem jest hiperbola.
  • Znajomość tych zagadnień jest kluczowa dla rozwiązywania zadań z ułamków algebraicznych na maturze.

8.09.2022

640

Ułamki algebraiczne i równania wymierne

Ułamek algebraiczny to wyrażenie matematyczne, w którym licznik i mianownik są wielomianami. Jest to fundamentalne pojęcie w algebrze, często spotykane w zadaniach z ułamków algebraicznych dla klasy 3 liceum.

Definicja: Ułamek algebraiczny jednej zmiennej rzeczywistej x to wyrażenie postaci W(x)/P(x), gdzie W(x) jest licznikiem, a P(x) mianownikiem, przy czym P(x) ≠ 0.

Równanie wymierne to równanie, które można przekształcić do postaci W(x)/P(x) = 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0. Rozwiązywanie takich równań wymaga specjalnych technik, które są często przedmiotem zadań z równań wymiernych.

Highlight: Przy rozwiązywaniu równań wymiernych kluczowe jest pamiętanie o dziedzinie funkcji, co jest często podkreślane w materiałach matemaks dotyczących równań wymiernych.

Nierówność wymierna to nierówność, którą można przekształcić do jednej z czterech postaci: W(x)/P(x) < 0, W(x)/P(x) ≤ 0, W(x)/P(x) > 0, W(x)/P(x) ≥ 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0.

Example: Przykładem nierówności wymiernej może być: (x^2 - 1)/(x + 2) > 0. Rozwiązanie takiej nierówności wymaga analizy znaków licznika i mianownika.

Ważnym twierdzeniem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych jest zasada znaku ilorazu: dla a, b ∈ R i b ≠ 0, a/b > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ab > 0.

Vocabulary: Dziedzina ułamka algebraicznego to zbiór wszystkich wartości zmiennej, dla których mianownik nie przyjmuje wartości zero.

UŁAMKI ALGEBRAICZNE
FUNKCJE, RONNANIA I NIERONNOŚCI WYMIERNE
Ułamkiem algebraicznym jednej zmiennej meckywistej x nożywamy wyrażenie
W(x)
li

Funkcje wymierne i homograficzne

Funkcja homograficzna to szczególny rodzaj funkcji wymiernej o wzorze y = (Ax + B)/(Cx + D), gdzie C ≠ 0 i AD - CB ≠ 0. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, co czyni ją ważnym tematem w zadaniach z funkcji homograficznej.

Definition: Funkcja wymierna to funkcja postaci F(x) = W(x)/Q(x), gdzie W(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) ≠ 0. Dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych bez pierwiastków mianownika.

Wykres funkcji homograficznej przecina:

  • Oś OX w punkcie (-D/C, 0), jeśli A ≠ 0
  • Oś OY w punkcie (0, B/D), jeśli D ≠ 0

Example: Dla funkcji y = 1/(x-2) + 3, asymptotami hiperboli są proste x = 2 (pionowa) i y = 3 (pozioma).

Przesuwanie hiperboli na płaszczyźnie można osiągnąć poprzez modyfikację wzoru funkcji:

  • y = f(x-p) + q przesuwa wykres o p jednostek w prawo i q jednostek w górę
  • y = |f(x)| odbija część wykresu poniżej osi OX do góry
  • y = f(|x|) odbija część wykresu na lewo od osi OY na prawo

Highlight: Zrozumienie transformacji funkcji homograficznych jest kluczowe dla rozwiązywania zaawansowanych zadań maturalnych z ułamków algebraicznych.

Warto zauważyć, że funkcje wymierne i homograficzne mają szerokie zastosowanie w fizyce i inżynierii, co podkreśla ich znaczenie w programie nauczania matematyki w liceum.

UŁAMKI ALGEBRAICZNE
FUNKCJE, RONNANIA I NIERONNOŚCI WYMIERNE
Ułamkiem algebraicznym jednej zmiennej meckywistej x nożywamy wyrażenie
W(x)
li

Zobacz

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Zobacz

Ułamki algebraiczne klasa 3 liceum - Zadania, Mnożenie i Dzielenie, Asymptoty i Hiperbola
user profile picture

zuzka

@zuzkak

·

466 Obserwujących

Obserwuj

Ułamki algebraiczne klasa 3 liceum - Zadania, Mnożenie i Dzielenie, Asymptoty i Hiperbola

Ułamki algebraiczne i funkcje wymierne to kluczowe zagadnienia w matematyce na poziomie liceum. Obejmują one definicje, właściwości oraz zastosowania ułamków algebraicznych, równań i nierówności wymiernych, a także funkcji homograficznych. Te koncepcje są istotne dla zrozumienia bardziej zaawansowanych tematów matematycznych i często pojawiają się w zadaniach maturalnych.

  • Ułamki algebraiczne to wyrażenia w postaci ilorazu wielomianów.
  • Równania i nierówności wymierne zawierają ułamki algebraiczne i wymagają specjalnych metod rozwiązywania.
  • Funkcje homograficzne to szczególny rodzaj funkcji wymiernych, których wykresem jest hiperbola.
  • Znajomość tych zagadnień jest kluczowa dla rozwiązywania zadań z ułamków algebraicznych na maturze.

8.09.2022

640

Ułamki algebraiczne i równania wymierne

Ułamek algebraiczny to wyrażenie matematyczne, w którym licznik i mianownik są wielomianami. Jest to fundamentalne pojęcie w algebrze, często spotykane w zadaniach z ułamków algebraicznych dla klasy 3 liceum.

Definicja: Ułamek algebraiczny jednej zmiennej rzeczywistej x to wyrażenie postaci W(x)/P(x), gdzie W(x) jest licznikiem, a P(x) mianownikiem, przy czym P(x) ≠ 0.

Równanie wymierne to równanie, które można przekształcić do postaci W(x)/P(x) = 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0. Rozwiązywanie takich równań wymaga specjalnych technik, które są często przedmiotem zadań z równań wymiernych.

Highlight: Przy rozwiązywaniu równań wymiernych kluczowe jest pamiętanie o dziedzinie funkcji, co jest często podkreślane w materiałach matemaks dotyczących równań wymiernych.

Nierówność wymierna to nierówność, którą można przekształcić do jednej z czterech postaci: W(x)/P(x) < 0, W(x)/P(x) ≤ 0, W(x)/P(x) > 0, W(x)/P(x) ≥ 0, gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0.

Example: Przykładem nierówności wymiernej może być: (x^2 - 1)/(x + 2) > 0. Rozwiązanie takiej nierówności wymaga analizy znaków licznika i mianownika.

Ważnym twierdzeniem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych jest zasada znaku ilorazu: dla a, b ∈ R i b ≠ 0, a/b > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ab > 0.

Vocabulary: Dziedzina ułamka algebraicznego to zbiór wszystkich wartości zmiennej, dla których mianownik nie przyjmuje wartości zero.

UŁAMKI ALGEBRAICZNE
FUNKCJE, RONNANIA I NIERONNOŚCI WYMIERNE
Ułamkiem algebraicznym jednej zmiennej meckywistej x nożywamy wyrażenie
W(x)
li

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcje wymierne i homograficzne

Funkcja homograficzna to szczególny rodzaj funkcji wymiernej o wzorze y = (Ax + B)/(Cx + D), gdzie C ≠ 0 i AD - CB ≠ 0. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, co czyni ją ważnym tematem w zadaniach z funkcji homograficznej.

Definition: Funkcja wymierna to funkcja postaci F(x) = W(x)/Q(x), gdzie W(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) ≠ 0. Dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych bez pierwiastków mianownika.

Wykres funkcji homograficznej przecina:

  • Oś OX w punkcie (-D/C, 0), jeśli A ≠ 0
  • Oś OY w punkcie (0, B/D), jeśli D ≠ 0

Example: Dla funkcji y = 1/(x-2) + 3, asymptotami hiperboli są proste x = 2 (pionowa) i y = 3 (pozioma).

Przesuwanie hiperboli na płaszczyźnie można osiągnąć poprzez modyfikację wzoru funkcji:

  • y = f(x-p) + q przesuwa wykres o p jednostek w prawo i q jednostek w górę
  • y = |f(x)| odbija część wykresu poniżej osi OX do góry
  • y = f(|x|) odbija część wykresu na lewo od osi OY na prawo

Highlight: Zrozumienie transformacji funkcji homograficznych jest kluczowe dla rozwiązywania zaawansowanych zadań maturalnych z ułamków algebraicznych.

Warto zauważyć, że funkcje wymierne i homograficzne mają szerokie zastosowanie w fizyce i inżynierii, co podkreśla ich znaczenie w programie nauczania matematyki w liceum.

UŁAMKI ALGEBRAICZNE
FUNKCJE, RONNANIA I NIERONNOŚCI WYMIERNE
Ułamkiem algebraicznym jednej zmiennej meckywistej x nożywamy wyrażenie
W(x)
li

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.