Matematyka /

funkcja kwadratowa

funkcja kwadratowa

 PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI O FUNKCJI
KWADRATOWEJ Z KLASY 1
Funkcją kwadratową nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem y=ax² + bx + c, gdz

funkcja kwadratowa

user profile picture

Madzmel

729 Followers

Udostępnij

Zapisz

867

 

1/2/3

Notatka

funkcja kwadratowa

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI O FUNKCJI KWADRATOWEJ Z KLASY 1 Funkcją kwadratową nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem y=ax² + bx + c, gdzie a‡0. Liczby rzeczywiste a, b, c nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Wykres funkcji kwadratowej y=ax² + bx + c, gdzie a‡0, przecina oś OY w punkcie (0,c). Po przesunięciu równoległym wykresu funkcji kwadratowej y=ax², a‡0, o wektor [p,q], otrzymujemy wykres funkcji y=a(x-p)²+q (postać kanoniczna) :ax², a so y = ax Wykresem funkcji y=a(x-p)²+q, gdzie a‡0, jest parabola o wierzchołku W(p,q), ramionami skierowana w górę wtedy, gdy a>0, zaś w dół wtedy, gdy a<0. Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu x=p. W(pra) os symetri X=P! q os symetri ramiona w gove aso ·ramiono w dół aco —— 2 + bx +c y = ax ² Pi dax y = a (x − p)² + q postać kanonicznG !/y=a[x_p)² +q TW(p, q) Zw jeżeli a4o A Zu jeżeli axo U y=0x²; a<o W(p, q) y = a (x + p)² + q IP 1 symete the XWR= (-00, y₁) = (-∞0, 9) zwf=<yw, +00) = <q, +00) Jeżeli azon to f1 (-00, xw) =(-0,p> <fx [xw, too) = [p, too) Jeżeli azoU to f1. <xw, too)=Tp, too) ift (-0, x₁) = (-∞0;p> ażo ZWIĄZEK MIĘDZY WZOREM FUNKCJI KWADRATOWEJ W POSTACI OGÓLNEJ, A WZOREM FUNKCJI KWADRATOWEJ W POSTACI KANONICZNEJ Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej y=ax² + bx + c, gdzie a‡0, można przekształcić do postaci kanonicznej...

Więcej zabawy podczas nauki z nami

Pomoc w odrabianiu zadań domowych

Dzięki funkcji zadawania pytań możesz w każdej chwili zadać pytanie i uzyskać odpowiedź od innych uczniów.

Ucz się razem z innymi

Dzięki Knowunity otrzymujesz materiały do nauki od innych w nowoczesny i wygodny sposób, aby jak najlepiej się uczyć. Tutaj uczniowie dzielą się swoją wiedzą, wymieniają się pomysłami i pomagają sobie nawzajem.

Bezpieczne i sprawdzone

Niezależnie od tego, czy chodzi o streszczenia, ćwiczenia czy notatki, Knowunity gromadzi wszystkie treści i tworzy bezpieczne środowisko nauki, do którego dziecko może mieć dostęp w dowolnym momencie.

Pobierz aplikację

Alternatywny zapis:

y=a(x-p)² + q, gdzie p= -b 2a 19 = -(6²-4ac) ча -b P = 2a Liczba b2 - 4ac jest szczególna dla danej funkcji kwadratowej y=ax² + bx + c, a‡0. Nazywamy ją wyróżnikiem i oznaczamy grecką literą ▲ (delta). 1) Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej y=ax² + bx + c można przedstawić w postaci kanonicznej y=a(x-p)² +q, przy czym p=;q=gdzie A =b² - 4ac. -b 3.18. Oblicz wyróżnik funkcji kwadratowej f, jeśli: 3 a) f(x) = -3x² + 6x - 3 b) f(x)=-=x²-7x 4 d) f(x) = 3(x - 1)x + 1 2) Wykres funkcji kwadratowej y=ax² + bx + c można otrzymać po przesunięciu równoległym wykresu funkcji y=ax² o wektor [A] 3) Wierzchołek W paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y-ax² + bx + c ma współrzędne (xw, Yw), gdzie xw= === yw = ZA 3.16. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Sprowadź ten wzór do postaci ogólnej. a) ƒ (x) = 4(x − 3)²-20__ b) ƒ(x) = (x+4)²-6___ c) ƒ(x) = -5(x-1)² + 1 a) f(x) = 4(x-3)²-20= 4(x² - 6x + 3)-20=¹4x² = 24x+36-20=4x²-24x + 16 b) f(x)= ½{(x² +8x+16)− 6 = ¹½ x² + 4x + 8-6= £x²³ +4x +2 c) f(x) = -5(x-1)² +1= −5(x² −2x+1)+1= −5x² +10 x −5+1 = -5x² + 10x-4 q₂ = e) f(x) = (3x - 2)² *) 8=6²=4&c=-36-4-(-3) · (-3) = 36-36=0. 6) = 43 - 4 • (-2) · 0= 49. - (b² - 4ac) 4a c) f(x) = (1-4x)(1+4x)= (1-16x)² = 1-16x² = -16x² +1 = -4 (-16)-1=64 d) f(x) = 3(x-1) x +1 = 3x²-3x + 1 A = 6² - 4ac час A= 3-4-(3)· (1) = 9 - 12 = -3 e) f(x) = (3x-²)² = 3x² - 12x +4 4 = 444 - 4.(९). (५) = 144 144:0 R). FCK) = x² - 6(x-4)= x² - 6x +2y = £x² −3 x+1² 2 A = 3-4 (4) (4²) = 8-24=-15 -A q=4₁a 3.17. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej. Sprowadź ten wzór do postaci kanonicznej, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy lub kwadrat różnicy. a) f(x) = x² - 2x d) f(x) = 3x²-24x + 50 c) f(x) = (1-4x)(1+4x) f) f(x)=x²-6(x-4) 2 c) f(x) = -x² + 2x + 8 b) f(x) = -2x² + 6x + 1 e) f(x)=²x² + 3x + = f) f (x) = -²-x²+2x+2 1 1 2 =(x-2x +1-1) +8=-[4-1)²-1] +8=-(1)² + 5 d)f(x)=3x²-24x +50=3(x² - 8x) +50= 3(x²8x +16-16)+50 = 3 [(x-4)²-16]+50= = 3(x-4)²-48 +50=3(x-4)² +2 a) f(x)=x²-2x = (x² - 2x + 1)-1= (x − 1)² -1 6) f(x) = − 2x²+6x+1 = -2 (x² − 3x)+1= = -2(x²-3x + √²-2) + 1 = -2 [(x - 2)²-1]+1 c)f(x)=x²+2x+8=-(x²-2x)+8 = = -2(x - ²)² + +1 = -2(x - 2)² + 4/1 e) f(x)=x² + 3x + ¹ = 1 ( x² + 6 x + 1) = =(x² +6x +3-3+1)= {[(x+3)²-8)= = 4x+3) ²-4 f)f(x)=x²+2x+2=-4 (x²-8x-8)= -4 (2-8x +16-16-8)= -1 [(x-4)²³-24): 46x1² +6 3.19. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwa- dratowej f, stosując poznane wzory. Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. a) f(x) = 2x² + 3x b) f(x) = x² - 4 c) f(x) = -x² + 10x - 25 d) f(x) = x² - 6x + 5 e) f(x) = 4x² - x + 1 a) f(x)=2x² +3 x W(p,q) p==/ q ====² p=-=-=-=-=- W(-7, -1) 6) f(x)=x²-4 p=-2²=0 A=0-4(1)(²+4=16 * = = 1/² = -4 W (0,₁-4) c) f(x) = -x²+10 x-25 p= =1001 = 5 4 = 100 -4 (-1) (-25)= 100-100=0 g ==—=0 w(5,0) d) f(x)=x² - 6x +5 p= + = 3 e) f(x) = (x²-x+₁² p=√ = 36-4(1)(5)=36-20=16 8 = 16 = -4 W (3,-~4) 8=1-4 (4) (4)=1-16=-15 2015 WC 7, 456) f) R(x) = 1/2x²+2x-3. p====== -2 4 =4-4(3)(-3)= 4 + 6 = 10 ====²-5 W (-2,-5) f) f(x)=²x²+2x-3 4= 3-4(2)(0)=3 2²-1 a) f(x) = 2(x + ²)²-½ 6) R(x) = (x~0)² -4 = x²-4 c) f(x) = -(x~5) ² α) f(x)= (x-3)² -4 e) (44 = ((x - 2)² + 15 () (G) = f(x+21²-5 26 MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI KWADRATOWEJ. WZÓR FUNKCJI KWADRATOWEJ W POSTACI ILOCZYNOWEJ. a>0 a<0 1) funkcja nie ma miejsc zerowych 1) funkcja nie ma miejsc zerowych Winiars (9₁9) X a>0 ; q = 0, zatem o-q=0 3) funkcja ma dwa miejsca zerowe 970: 70, załem a.q yo ako i q 20, zatem 0.g >0 2) funkcja ma jedno miejsce zerowe 2) funkcja ma jedno miejsce zerowe Ų X (1,9). a>0 i950, zatem a 950 ·Pig) (P18) 1=0, zatem .. -b-√5 X aso. i q: 3) funkcja ma dwa miejsca zerowe (P18) o<0iq 30, zatem a.950 Funkcja kwadratowa y=ax² + bx + c, gdzie a‡0 oraz A=b²-4ac: -> nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy A<0 -> ma tylko jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy A=0 -> ma dwa miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy >0 Funkcja kwadratowa y=ax 2 + bx + c, gdzie a‡0 ¡A=b² -4ac: -> ma tylko jedno miejsce zerowe,wtedy i tylko wtedy, gdyA=0 -> ma dwa miejsca zerowe, oraz =b+√A¹ ,wtedy i tylko wtedy, gdy >0 200 -> nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy ▲<0 Jeśli funkcja kwadratowa y=ax² + bx + c, gdzie a‡0, ma miejsce zerowe, to jej wzór można przedstawić w postaci iloczynowej: -> y=a(x-x₂)² - jeśli funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe -> y=a(x-x₁)(x-x₂) - jeśli funkcja ma dwa miejsca zerowe Xw: =.P.=. p x+x 2 yw = f(xw) Jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, to wzoru tej funkcji nie można przedstawić w postaci iloczynowej. SZKICOWANIE WYKRESÓW FUNKCJI KWADRATOWYCH. ODCZYTYWANIE WŁASNOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ NA PODSTAWIE WYKRESU. 3.46. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej fi omów własności tej funkcji poprzez odpowiedzi na następujące pytania: 1) Jaka jest dziedzina funkcji? 2) Jaki jest zbiór wartości funkcji ? 3) Czy funkcja f ma miejsce zerowe? Jeśli tak, to jakie? 4) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne? 5) W jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca? 6) Czy funkcja przyjmuje wartość największą, czy najmniejszą? Jeśli tak, to dla ja- kiego argumentu? a) f(x) = x² + 1 d) f(x)=x²-3x+2² Iwo () 3x²-6x= =36²-2x+1)= =31(x-1)²-1)= = 3(x-1)²-3 030 [feed b) f(x) = -1/²+2 e) f(x) = -x² + 2x - 2 1)D=R. 2) zwe= (1,400) 3) nie (x) 4) +(x) <0 <=>x60 R> <=>XER el flu) = -(x=-262)) <0 w(₁) ₁]D=R (x²-3x+1-12). f(x) = 8(x) X=-3√x=1 5) +яко,0). f(-∞0,07 6) największej mie najmicejszo, worlose 1 dia x=0 -[x²+4* +4-433 1-(¹-2) b) f(x) = -- ==x²-x-2 1)D=R 2) Zw=(-3, +00). 0,2 4) +(x) <0 <=>(9₂2). R>0<=> (~0,0) (2, 3) 1,0 (1,3) c) f(x)==(x-4)(x+2), g(x) = p=2=²12= ² (-3) (3)=-3 Rex)=46~-1)³²3 5) +² <1+00) t√(-00) 6) największy mie najmicejsza nega x-1 warlosć-3 2) Zwf=600"> 3) me f(x) <0 <=>1 R>0<=> 5) + (-0,1) f (1, too) 6) hop da hajn ke. 600 1012 d) f(x= $(x²-x+5)= 16²-6x +1-3+5)= =4[6²4]= 44-3²-2 W(3,-2) c) f(x) = 3x² - 6x f) f(x) = -x² - 6x-9 saj fil (-0,214,00) 72-(x²+6x +3-3+5) n 3.48. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji fi g. Na- stępnie rozwiąż graficznie równanie f(x) = g(x). asowe 20 a) f(x) = (x + 2)², g(x) = 1 =-x-2 d) f(x) = -—= x² + 4 f(x) = g(x) x=-1 x=3 fax) 4869 1)D=R 2) Zw=(-0,2) 3) -2,2 4) + (x) < 0 <=> 600, -2) V (2,400) A>0<=) (-22) 5) + (-0,0). f(0, too) 6) największa wartość 2 dla-x=0 misze sie 0 N(1,4) b) f(x) = -(x - 1)² - 1, g(x) = - =-5 1 010 (21) ²+x, g(x) = R-{2} 1)D=R. 2) zwe= (-2,00) 3) 4,5 • <0 W(-3,0) ₁)D=R 3.47. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej f i omów jej własności, jeśli: a) f(x) = 2(x − 1)(x + 1) b) f(x)= -(x - 1)(x - 5) c) f(x)=²x²+x+1 d) f(x)=-=(x+1)² +4,5 c) e) f(x)=1/(x+1)²-2 epiplats a) R()=2(x-1)/(x+1) ↑ a>0 w(9₁) P=R P=1==0 8=26-1)(1=-2 f(x)=2x²-2 +(x) <0 <=> (1,5). REN>0<=>1=0,1)V (5,²) | 050 w(1,2). aso 5).+ ²² (30) (√60,33 6) najn nee ng 2 day} 3.50. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji kwadrato- wych fig. Następnie rozwiąż graficznie nierówność, podaną obok wzorów tych funkcji. a) f(x) = - 4x, g(x) = x² + 2x + 4, g(x) ≤ f(x) 20 (2) 2(x+2)²-170 (+1) g(x) = x² + 4x + 3, f(x) < g(x) 4²-[44] = +62-1 (x+²)²- 25 a>0 w(-2,-2) c) f(x)=x²-3x-2,9x² + 3x²-4, 7(x) ≥ g (x) " 1¹-_ / \ P²-46 = {x^4^~^²}}} -4.1x 4) 2) zwf=(-0,0) 3) x=0 4)+(x) <0 <=> R-{0} f>0<=> 5+²6-0₁-2 f√ <-3 +00) 6) noju 0 dlax=-3 mijn me = x - 1 x= -2 x=2 I f x= -2 x=1 () f(x) = (x + 2)² -S n -2 20=2-2,60 WE2,0) D=R 430 ta)g(x) (~20,0> varia f(x) >0<=>10) Rex) <0<=>(-44) 11(0,600) 11(000) mag wee wej M-2 dx=0 V +Gig(x) <-5,-2) 20=20,600) m₂:0 f(x) >0<=> {0} R(x) <02-30 +14~-2, 400) f) f(x) = -2x(x - 2). 6)p=15=3 W(3,4) +4)= -2+2)=4 260= -(x-3)² +4 tv (-09-²) meg me wej M Max=-2 3 c) f(x)=x²-3x+3², g(x)=²x+1², f(x) < 9(x) 2 R30 ·3·+·-20 C20 P=R 2) p = ore = 1 1 <0 2=2-21460 ५ = -2/4/2 14707 26-2/+-1372 R(x) <0<=> LA tv yw magu najm 3.49. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykres funkcji kwadrato- wej f i wykres funkcji liniowej g. Następnie rozwiąż graficznie nierówność, podaną obok wzorów funkcji i %C-310) a) f(x) = -x² - 6x-9, g(x) = x + 1, f(x) ≥ g(x) f(x)= -(x +3)² 1,020 W (+2₁2) b) f(x)=x²+2x+3, 9(x) = −2x − 3, ƒ(x) > 9 (x) f&d=} [x² +4x+6] = {{(x+2)² +2 AY X A a<o c20 +4x)>g(x) (~~,-)/(2) 3.51. Ustal znaki współczynników a, b, c we wzorze funkcji kwadrato- wej f(x) = ax² + bx + c, na podstawie szkicu wykresu tej funkcji w układzie współrzędnych. 04.19.) y=a(xp)² +8 af² -20px top ² 1-2 ap=-22-W b) [x²-2xp +²7+8 c) 0 -2.11+2+70 319 sosn P=R 20 = (0,4). my: 1;5 L470 <-> (1,5) RCP)<O<-> +1 (20,5) tv <3, tool megwu Maxx). wej Mnie DE R 013 W(42) 2= (1, 2) +4+) 76² <=> (92) R(x) < 0 <=> 1112917 tv<1,60) new 2 daxil wej we P=R 2= (-20; 4,5) my: -5,5 4,5 f(x)>0<=> Rex) <0<=>. LA tv megw wej M = (x-31²1 ~70 W (3,1) c) f(x) <3 (x) (1,8) ako 6-21-20 CLO d) u X azo 60 C70 WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.a(x-9)(x+6) Oś symetrii X-P f(x) > 0 <=> x€ R-{-23 p=-2 3.56. Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej f(x)=x²+bx+c wiedząc, że funkcja f ma tylko jedno miejsce zerowe oraz 4 f(-4) = f (8). SA=0 2+(-4)=f(8) Najmniejsza wartość -4.0₂=-4f(x) > 0 dla x € (-8,2) × 7-8 +₂=-2² f(x) <0. do xE(-0₁-2) U (3, +00) f(-2)=0. f(3) =0 Największa wartość- хриг x2=3 {1=4 2-18-36 +c= -25 [b=4 2-3-4+6²-7 76lax=3 p=3 √(3₁-4) (6²-4 (-1)-(=0 1 - + +63 ) ² + 6 (-1) + C = -4 (4) ² + b(8) +c 6²+1c=0 2:4¹-4b+c=²+86 * 3.58. Funkcja kwadratowa f(x) = -2x² + bx + c jest rosnąca w przedziale (-∞, 1) i malejąca w przedziale (1, +00). Wiedząc, że f(-3) = -25, oblicz współczynniki b ic. .f.% (-00,1.) .fd. <1,+00) f(-3)=-25 SP=1 1-2-(-3)² + b • (-3) + c = ~25 ;=1 _-2·3-3b+c=~25 bay 12 = 30 -2 -Go 12= a = -2. 6=4 +6=-7 にS 12= α (1+2)(1-3) a 0=40-2 40=2 Sc=-6² ·-4-4b+c= -16 +86 + 6²=2 -126=-12 3.62. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej jeśli wiadomo, że funk- cja ta przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x = € (-00,-2) U (3, +00), a do jej wykresu należy punkt A(1, 12). (-00,- 56² = -c 6=1 f(x) <0 Alli xt (=-00,-2) U(3₁ +∞) A (1,12) f(-2)=0 1 R (3)=0 л W ( 3₁-2) + (1)=0 0 = a (1-3)²-2 √₁=-C Lo=n Sc=-1 x= 3.60. Osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x) = 3x² + bx + c, jest prosta o równaniu x = -2. Wiedząc, że najmniejsza war- tość funkcji f jest równa -4, oblicz współczynniki b ic. p=-2. f(x)=3x² +6x + C najm -4 3 (x+2)² - 4= 3√x² + 4x +4)-4=3x² +12x +12-4=3x²+12x+8 6=12-c=8. 3.64. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że dla ar- gumentu 3 funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość, równą -2, a jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 1. x=1 nojm -2 do x=3 ₁+1 (-∞0,17 to p=104 w punkcie P/0₁-8).=-8 £√<₁, +∞) to p=1 xatx OY w punkcie o rzędnej 30 01: (0,30) 3.57. Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej 1 f(x)==x²+bx+c wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji ƒ są liczby 9 oraz –6. • ½ ( x − 3)(x+6)=√√√(x² + 6x −8x −54)=√ (x² −3x-54).= 1x² 6=-1 (= -18 -X - 18. 3.59. Funkcja kwadratowa f(x)= x²2+bx+c ma jedno miejsce zerowe, a jej wykres przecina oś OY w punkcie P(0, -8). Wyznacz wartości współczynników bic. A=0 04: (01-8) c= -8 2 6²-4.(-1)-(-8)=0 6² +2·(-8)=0 y=¨¬2(x+2)(x-3) = -2[x²-3x+2x−16]= -2x² + 2x +12 62-16=0 6²-4²=0 (6-4) (6+4)=0 6=4 6224 1 tej funkcji jest równa 2-. 4 f(x) >0 d'a x6 (-8₁-²) X₂₁ = 8 x₂=-2 RG) = a (x + 5)² +24 D=0(8+5)² +2² 3.61. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że przyjmuje ona wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x = (-8, -2), a największa wartość E p= a=-4 62-ча-сто a = nejw 24 p=-=8-²2-5 Zirf (-00,4) 9=4 3.63. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt P(-1, 1), zbiorem wartości funkcji f jest przedział (-∞0, 4), a maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejąca, to (-2, +00). P(-1,1) zwę (-∞0,47 ft (-2,400 xo (-8,0) 3 = − 4/4 (x+5) ¹² +2¹4 » 4 (2+0x +25)=z2^= 2 y = 1/2 (x-3)²-2 = ²/(x²-6x + 5)2 = √6²=400 -6=100. =x²-3x + 1-2 = 1x²-3x+2/1/ (-3 5=40 +26+5 2=4 p=-2 1 = 0 (1 + 2)² +4 y=-3√(x+2) ²44 = -3 [x² + 4x + 4 64] = 1= a +4 0=-3 23x²-12x-8 C -4x² - 4x - 25 +3 = -42²-46 x-h= =-4x²-21-9 3.65. Funkcja kwadratowa f ma tylko jedno miejsce zerowe. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że prosta o równaniu x - 5 = 0 jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkt A 2, -1- należy do tego wykresu. 4 5 A=0. 9 = 27/1 x-5=0 p=5 A (²₁-13) x=S=p въг=час -14 = 0·2² +6·2+6 [L(-100) ² = 40c 6=-100 250=C b= -10a 6=-100 ( - 2 = 4₁ +2 (-100) + (-=-16 +25₂ (-3/3=4a-20a+c •£1002² = 400. ) 6=-100 (-3--160 +c c=250 6=-10a -=Sa (=25.- 6 = -10- (-1) ・(C=-5. f=2 fG)=-13x²+2x-5

Matematyka /

funkcja kwadratowa

funkcja kwadratowa

user profile picture

Madzmel

729 Followers
 

1/2/3

Notatka

Ta zawartość jest dostępna tylko w aplikacji Knowunity.

 PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI O FUNKCJI
KWADRATOWEJ Z KLASY 1
Funkcją kwadratową nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem y=ax² + bx + c, gdz

Otwórz aplikację

funkcja kwadratowa

Podobne notatki

user profile picture

12

geometria analityczna

Know geometria analityczna thumbnail

41

 

1/2/3

user profile picture

40

funkcja kwadratowa

Know funkcja kwadratowa thumbnail

15

 

2

user profile picture

2

funkcja homograficzna i jej wykres

Know funkcja homograficzna i jej wykres  thumbnail

2

 

2

user profile picture

2

funkcja kwadratowa

Know funkcja kwadratowa thumbnail

12

 

2/3

PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI O FUNKCJI KWADRATOWEJ Z KLASY 1 Funkcją kwadratową nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem y=ax² + bx + c, gdzie a‡0. Liczby rzeczywiste a, b, c nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Wykres funkcji kwadratowej y=ax² + bx + c, gdzie a‡0, przecina oś OY w punkcie (0,c). Po przesunięciu równoległym wykresu funkcji kwadratowej y=ax², a‡0, o wektor [p,q], otrzymujemy wykres funkcji y=a(x-p)²+q (postać kanoniczna) :ax², a so y = ax Wykresem funkcji y=a(x-p)²+q, gdzie a‡0, jest parabola o wierzchołku W(p,q), ramionami skierowana w górę wtedy, gdy a>0, zaś w dół wtedy, gdy a<0. Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu x=p. W(pra) os symetri X=P! q os symetri ramiona w gove aso ·ramiono w dół aco —— 2 + bx +c y = ax ² Pi dax y = a (x − p)² + q postać kanonicznG !/y=a[x_p)² +q TW(p, q) Zw jeżeli a4o A Zu jeżeli axo U y=0x²; a<o W(p, q) y = a (x + p)² + q IP 1 symete the XWR= (-00, y₁) = (-∞0, 9) zwf=<yw, +00) = <q, +00) Jeżeli azon to f1 (-00, xw) =(-0,p> <fx [xw, too) = [p, too) Jeżeli azoU to f1. <xw, too)=Tp, too) ift (-0, x₁) = (-∞0;p> ażo ZWIĄZEK MIĘDZY WZOREM FUNKCJI KWADRATOWEJ W POSTACI OGÓLNEJ, A WZOREM FUNKCJI KWADRATOWEJ W POSTACI KANONICZNEJ Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej y=ax² + bx + c, gdzie a‡0, można przekształcić do postaci kanonicznej...

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Więcej zabawy podczas nauki z nami

Pomoc w odrabianiu zadań domowych

Dzięki funkcji zadawania pytań możesz w każdej chwili zadać pytanie i uzyskać odpowiedź od innych uczniów.

Ucz się razem z innymi

Dzięki Knowunity otrzymujesz materiały do nauki od innych w nowoczesny i wygodny sposób, aby jak najlepiej się uczyć. Tutaj uczniowie dzielą się swoją wiedzą, wymieniają się pomysłami i pomagają sobie nawzajem.

Bezpieczne i sprawdzone

Niezależnie od tego, czy chodzi o streszczenia, ćwiczenia czy notatki, Knowunity gromadzi wszystkie treści i tworzy bezpieczne środowisko nauki, do którego dziecko może mieć dostęp w dowolnym momencie.

Pobierz aplikację

Knowunity

Dziel się wiedzą

Otwórz aplikację

Alternatywny zapis:

y=a(x-p)² + q, gdzie p= -b 2a 19 = -(6²-4ac) ча -b P = 2a Liczba b2 - 4ac jest szczególna dla danej funkcji kwadratowej y=ax² + bx + c, a‡0. Nazywamy ją wyróżnikiem i oznaczamy grecką literą ▲ (delta). 1) Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej y=ax² + bx + c można przedstawić w postaci kanonicznej y=a(x-p)² +q, przy czym p=;q=gdzie A =b² - 4ac. -b 3.18. Oblicz wyróżnik funkcji kwadratowej f, jeśli: 3 a) f(x) = -3x² + 6x - 3 b) f(x)=-=x²-7x 4 d) f(x) = 3(x - 1)x + 1 2) Wykres funkcji kwadratowej y=ax² + bx + c można otrzymać po przesunięciu równoległym wykresu funkcji y=ax² o wektor [A] 3) Wierzchołek W paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y-ax² + bx + c ma współrzędne (xw, Yw), gdzie xw= === yw = ZA 3.16. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Sprowadź ten wzór do postaci ogólnej. a) ƒ (x) = 4(x − 3)²-20__ b) ƒ(x) = (x+4)²-6___ c) ƒ(x) = -5(x-1)² + 1 a) f(x) = 4(x-3)²-20= 4(x² - 6x + 3)-20=¹4x² = 24x+36-20=4x²-24x + 16 b) f(x)= ½{(x² +8x+16)− 6 = ¹½ x² + 4x + 8-6= £x²³ +4x +2 c) f(x) = -5(x-1)² +1= −5(x² −2x+1)+1= −5x² +10 x −5+1 = -5x² + 10x-4 q₂ = e) f(x) = (3x - 2)² *) 8=6²=4&c=-36-4-(-3) · (-3) = 36-36=0. 6) = 43 - 4 • (-2) · 0= 49. - (b² - 4ac) 4a c) f(x) = (1-4x)(1+4x)= (1-16x)² = 1-16x² = -16x² +1 = -4 (-16)-1=64 d) f(x) = 3(x-1) x +1 = 3x²-3x + 1 A = 6² - 4ac час A= 3-4-(3)· (1) = 9 - 12 = -3 e) f(x) = (3x-²)² = 3x² - 12x +4 4 = 444 - 4.(९). (५) = 144 144:0 R). FCK) = x² - 6(x-4)= x² - 6x +2y = £x² −3 x+1² 2 A = 3-4 (4) (4²) = 8-24=-15 -A q=4₁a 3.17. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej. Sprowadź ten wzór do postaci kanonicznej, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy lub kwadrat różnicy. a) f(x) = x² - 2x d) f(x) = 3x²-24x + 50 c) f(x) = (1-4x)(1+4x) f) f(x)=x²-6(x-4) 2 c) f(x) = -x² + 2x + 8 b) f(x) = -2x² + 6x + 1 e) f(x)=²x² + 3x + = f) f (x) = -²-x²+2x+2 1 1 2 =(x-2x +1-1) +8=-[4-1)²-1] +8=-(1)² + 5 d)f(x)=3x²-24x +50=3(x² - 8x) +50= 3(x²8x +16-16)+50 = 3 [(x-4)²-16]+50= = 3(x-4)²-48 +50=3(x-4)² +2 a) f(x)=x²-2x = (x² - 2x + 1)-1= (x − 1)² -1 6) f(x) = − 2x²+6x+1 = -2 (x² − 3x)+1= = -2(x²-3x + √²-2) + 1 = -2 [(x - 2)²-1]+1 c)f(x)=x²+2x+8=-(x²-2x)+8 = = -2(x - ²)² + +1 = -2(x - 2)² + 4/1 e) f(x)=x² + 3x + ¹ = 1 ( x² + 6 x + 1) = =(x² +6x +3-3+1)= {[(x+3)²-8)= = 4x+3) ²-4 f)f(x)=x²+2x+2=-4 (x²-8x-8)= -4 (2-8x +16-16-8)= -1 [(x-4)²³-24): 46x1² +6 3.19. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwa- dratowej f, stosując poznane wzory. Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. a) f(x) = 2x² + 3x b) f(x) = x² - 4 c) f(x) = -x² + 10x - 25 d) f(x) = x² - 6x + 5 e) f(x) = 4x² - x + 1 a) f(x)=2x² +3 x W(p,q) p==/ q ====² p=-=-=-=-=- W(-7, -1) 6) f(x)=x²-4 p=-2²=0 A=0-4(1)(²+4=16 * = = 1/² = -4 W (0,₁-4) c) f(x) = -x²+10 x-25 p= =1001 = 5 4 = 100 -4 (-1) (-25)= 100-100=0 g ==—=0 w(5,0) d) f(x)=x² - 6x +5 p= + = 3 e) f(x) = (x²-x+₁² p=√ = 36-4(1)(5)=36-20=16 8 = 16 = -4 W (3,-~4) 8=1-4 (4) (4)=1-16=-15 2015 WC 7, 456) f) R(x) = 1/2x²+2x-3. p====== -2 4 =4-4(3)(-3)= 4 + 6 = 10 ====²-5 W (-2,-5) f) f(x)=²x²+2x-3 4= 3-4(2)(0)=3 2²-1 a) f(x) = 2(x + ²)²-½ 6) R(x) = (x~0)² -4 = x²-4 c) f(x) = -(x~5) ² α) f(x)= (x-3)² -4 e) (44 = ((x - 2)² + 15 () (G) = f(x+21²-5 26 MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI KWADRATOWEJ. WZÓR FUNKCJI KWADRATOWEJ W POSTACI ILOCZYNOWEJ. a>0 a<0 1) funkcja nie ma miejsc zerowych 1) funkcja nie ma miejsc zerowych Winiars (9₁9) X a>0 ; q = 0, zatem o-q=0 3) funkcja ma dwa miejsca zerowe 970: 70, załem a.q yo ako i q 20, zatem 0.g >0 2) funkcja ma jedno miejsce zerowe 2) funkcja ma jedno miejsce zerowe Ų X (1,9). a>0 i950, zatem a 950 ·Pig) (P18) 1=0, zatem .. -b-√5 X aso. i q: 3) funkcja ma dwa miejsca zerowe (P18) o<0iq 30, zatem a.950 Funkcja kwadratowa y=ax² + bx + c, gdzie a‡0 oraz A=b²-4ac: -> nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy A<0 -> ma tylko jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy A=0 -> ma dwa miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy >0 Funkcja kwadratowa y=ax 2 + bx + c, gdzie a‡0 ¡A=b² -4ac: -> ma tylko jedno miejsce zerowe,wtedy i tylko wtedy, gdyA=0 -> ma dwa miejsca zerowe, oraz =b+√A¹ ,wtedy i tylko wtedy, gdy >0 200 -> nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy ▲<0 Jeśli funkcja kwadratowa y=ax² + bx + c, gdzie a‡0, ma miejsce zerowe, to jej wzór można przedstawić w postaci iloczynowej: -> y=a(x-x₂)² - jeśli funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe -> y=a(x-x₁)(x-x₂) - jeśli funkcja ma dwa miejsca zerowe Xw: =.P.=. p x+x 2 yw = f(xw) Jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, to wzoru tej funkcji nie można przedstawić w postaci iloczynowej. SZKICOWANIE WYKRESÓW FUNKCJI KWADRATOWYCH. ODCZYTYWANIE WŁASNOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ NA PODSTAWIE WYKRESU. 3.46. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej fi omów własności tej funkcji poprzez odpowiedzi na następujące pytania: 1) Jaka jest dziedzina funkcji? 2) Jaki jest zbiór wartości funkcji ? 3) Czy funkcja f ma miejsce zerowe? Jeśli tak, to jakie? 4) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne? 5) W jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca? 6) Czy funkcja przyjmuje wartość największą, czy najmniejszą? Jeśli tak, to dla ja- kiego argumentu? a) f(x) = x² + 1 d) f(x)=x²-3x+2² Iwo () 3x²-6x= =36²-2x+1)= =31(x-1)²-1)= = 3(x-1)²-3 030 [feed b) f(x) = -1/²+2 e) f(x) = -x² + 2x - 2 1)D=R. 2) zwe= (1,400) 3) nie (x) 4) +(x) <0 <=>x60 R> <=>XER el flu) = -(x=-262)) <0 w(₁) ₁]D=R (x²-3x+1-12). f(x) = 8(x) X=-3√x=1 5) +яко,0). f(-∞0,07 6) największej mie najmicejszo, worlose 1 dia x=0 -[x²+4* +4-433 1-(¹-2) b) f(x) = -- ==x²-x-2 1)D=R 2) Zw=(-3, +00). 0,2 4) +(x) <0 <=>(9₂2). R>0<=> (~0,0) (2, 3) 1,0 (1,3) c) f(x)==(x-4)(x+2), g(x) = p=2=²12= ² (-3) (3)=-3 Rex)=46~-1)³²3 5) +² <1+00) t√(-00) 6) największy mie najmicejsza nega x-1 warlosć-3 2) Zwf=600"> 3) me f(x) <0 <=>1 R>0<=> 5) + (-0,1) f (1, too) 6) hop da hajn ke. 600 1012 d) f(x= $(x²-x+5)= 16²-6x +1-3+5)= =4[6²4]= 44-3²-2 W(3,-2) c) f(x) = 3x² - 6x f) f(x) = -x² - 6x-9 saj fil (-0,214,00) 72-(x²+6x +3-3+5) n 3.48. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji fi g. Na- stępnie rozwiąż graficznie równanie f(x) = g(x). asowe 20 a) f(x) = (x + 2)², g(x) = 1 =-x-2 d) f(x) = -—= x² + 4 f(x) = g(x) x=-1 x=3 fax) 4869 1)D=R 2) Zw=(-0,2) 3) -2,2 4) + (x) < 0 <=> 600, -2) V (2,400) A>0<=) (-22) 5) + (-0,0). f(0, too) 6) największa wartość 2 dla-x=0 misze sie 0 N(1,4) b) f(x) = -(x - 1)² - 1, g(x) = - =-5 1 010 (21) ²+x, g(x) = R-{2} 1)D=R. 2) zwe= (-2,00) 3) 4,5 • <0 W(-3,0) ₁)D=R 3.47. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej f i omów jej własności, jeśli: a) f(x) = 2(x − 1)(x + 1) b) f(x)= -(x - 1)(x - 5) c) f(x)=²x²+x+1 d) f(x)=-=(x+1)² +4,5 c) e) f(x)=1/(x+1)²-2 epiplats a) R()=2(x-1)/(x+1) ↑ a>0 w(9₁) P=R P=1==0 8=26-1)(1=-2 f(x)=2x²-2 +(x) <0 <=> (1,5). REN>0<=>1=0,1)V (5,²) | 050 w(1,2). aso 5).+ ²² (30) (√60,33 6) najn nee ng 2 day} 3.50. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji kwadrato- wych fig. Następnie rozwiąż graficznie nierówność, podaną obok wzorów tych funkcji. a) f(x) = - 4x, g(x) = x² + 2x + 4, g(x) ≤ f(x) 20 (2) 2(x+2)²-170 (+1) g(x) = x² + 4x + 3, f(x) < g(x) 4²-[44] = +62-1 (x+²)²- 25 a>0 w(-2,-2) c) f(x)=x²-3x-2,9x² + 3x²-4, 7(x) ≥ g (x) " 1¹-_ / \ P²-46 = {x^4^~^²}}} -4.1x 4) 2) zwf=(-0,0) 3) x=0 4)+(x) <0 <=> R-{0} f>0<=> 5+²6-0₁-2 f√ <-3 +00) 6) noju 0 dlax=-3 mijn me = x - 1 x= -2 x=2 I f x= -2 x=1 () f(x) = (x + 2)² -S n -2 20=2-2,60 WE2,0) D=R 430 ta)g(x) (~20,0> varia f(x) >0<=>10) Rex) <0<=>(-44) 11(0,600) 11(000) mag wee wej M-2 dx=0 V +Gig(x) <-5,-2) 20=20,600) m₂:0 f(x) >0<=> {0} R(x) <02-30 +14~-2, 400) f) f(x) = -2x(x - 2). 6)p=15=3 W(3,4) +4)= -2+2)=4 260= -(x-3)² +4 tv (-09-²) meg me wej M Max=-2 3 c) f(x)=x²-3x+3², g(x)=²x+1², f(x) < 9(x) 2 R30 ·3·+·-20 C20 P=R 2) p = ore = 1 1 <0 2=2-21460 ५ = -2/4/2 14707 26-2/+-1372 R(x) <0<=> LA tv yw magu najm 3.49. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykres funkcji kwadrato- wej f i wykres funkcji liniowej g. Następnie rozwiąż graficznie nierówność, podaną obok wzorów funkcji i %C-310) a) f(x) = -x² - 6x-9, g(x) = x + 1, f(x) ≥ g(x) f(x)= -(x +3)² 1,020 W (+2₁2) b) f(x)=x²+2x+3, 9(x) = −2x − 3, ƒ(x) > 9 (x) f&d=} [x² +4x+6] = {{(x+2)² +2 AY X A a<o c20 +4x)>g(x) (~~,-)/(2) 3.51. Ustal znaki współczynników a, b, c we wzorze funkcji kwadrato- wej f(x) = ax² + bx + c, na podstawie szkicu wykresu tej funkcji w układzie współrzędnych. 04.19.) y=a(xp)² +8 af² -20px top ² 1-2 ap=-22-W b) [x²-2xp +²7+8 c) 0 -2.11+2+70 319 sosn P=R 20 = (0,4). my: 1;5 L470 <-> (1,5) RCP)<O<-> +1 (20,5) tv <3, tool megwu Maxx). wej Mnie DE R 013 W(42) 2= (1, 2) +4+) 76² <=> (92) R(x) < 0 <=> 1112917 tv<1,60) new 2 daxil wej we P=R 2= (-20; 4,5) my: -5,5 4,5 f(x)>0<=> Rex) <0<=>. LA tv megw wej M = (x-31²1 ~70 W (3,1) c) f(x) <3 (x) (1,8) ako 6-21-20 CLO d) u X azo 60 C70 WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI KWADRATOWEJ NA PODSTAWIE JEJ WŁASNOŚCI Jedno miejsce zerowe A=0 Miejscami zerowymi są 9 i -6.a(x-9)(x+6) Oś symetrii X-P f(x) > 0 <=> x€ R-{-23 p=-2 3.56. Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej f(x)=x²+bx+c wiedząc, że funkcja f ma tylko jedno miejsce zerowe oraz 4 f(-4) = f (8). SA=0 2+(-4)=f(8) Najmniejsza wartość -4.0₂=-4f(x) > 0 dla x € (-8,2) × 7-8 +₂=-2² f(x) <0. do xE(-0₁-2) U (3, +00) f(-2)=0. f(3) =0 Największa wartość- хриг x2=3 {1=4 2-18-36 +c= -25 [b=4 2-3-4+6²-7 76lax=3 p=3 √(3₁-4) (6²-4 (-1)-(=0 1 - + +63 ) ² + 6 (-1) + C = -4 (4) ² + b(8) +c 6²+1c=0 2:4¹-4b+c=²+86 * 3.58. Funkcja kwadratowa f(x) = -2x² + bx + c jest rosnąca w przedziale (-∞, 1) i malejąca w przedziale (1, +00). Wiedząc, że f(-3) = -25, oblicz współczynniki b ic. .f.% (-00,1.) .fd. <1,+00) f(-3)=-25 SP=1 1-2-(-3)² + b • (-3) + c = ~25 ;=1 _-2·3-3b+c=~25 bay 12 = 30 -2 -Go 12= a = -2. 6=4 +6=-7 にS 12= α (1+2)(1-3) a 0=40-2 40=2 Sc=-6² ·-4-4b+c= -16 +86 + 6²=2 -126=-12 3.62. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej jeśli wiadomo, że funk- cja ta przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x = € (-00,-2) U (3, +00), a do jej wykresu należy punkt A(1, 12). (-00,- 56² = -c 6=1 f(x) <0 Alli xt (=-00,-2) U(3₁ +∞) A (1,12) f(-2)=0 1 R (3)=0 л W ( 3₁-2) + (1)=0 0 = a (1-3)²-2 √₁=-C Lo=n Sc=-1 x= 3.60. Osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x) = 3x² + bx + c, jest prosta o równaniu x = -2. Wiedząc, że najmniejsza war- tość funkcji f jest równa -4, oblicz współczynniki b ic. p=-2. f(x)=3x² +6x + C najm -4 3 (x+2)² - 4= 3√x² + 4x +4)-4=3x² +12x +12-4=3x²+12x+8 6=12-c=8. 3.64. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że dla ar- gumentu 3 funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość, równą -2, a jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 1. x=1 nojm -2 do x=3 ₁+1 (-∞0,17 to p=104 w punkcie P/0₁-8).=-8 £√<₁, +∞) to p=1 xatx OY w punkcie o rzędnej 30 01: (0,30) 3.57. Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej 1 f(x)==x²+bx+c wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji ƒ są liczby 9 oraz –6. • ½ ( x − 3)(x+6)=√√√(x² + 6x −8x −54)=√ (x² −3x-54).= 1x² 6=-1 (= -18 -X - 18. 3.59. Funkcja kwadratowa f(x)= x²2+bx+c ma jedno miejsce zerowe, a jej wykres przecina oś OY w punkcie P(0, -8). Wyznacz wartości współczynników bic. A=0 04: (01-8) c= -8 2 6²-4.(-1)-(-8)=0 6² +2·(-8)=0 y=¨¬2(x+2)(x-3) = -2[x²-3x+2x−16]= -2x² + 2x +12 62-16=0 6²-4²=0 (6-4) (6+4)=0 6=4 6224 1 tej funkcji jest równa 2-. 4 f(x) >0 d'a x6 (-8₁-²) X₂₁ = 8 x₂=-2 RG) = a (x + 5)² +24 D=0(8+5)² +2² 3.61. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że przyjmuje ona wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x = (-8, -2), a największa wartość E p= a=-4 62-ча-сто a = nejw 24 p=-=8-²2-5 Zirf (-00,4) 9=4 3.63. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt P(-1, 1), zbiorem wartości funkcji f jest przedział (-∞0, 4), a maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejąca, to (-2, +00). P(-1,1) zwę (-∞0,47 ft (-2,400 xo (-8,0) 3 = − 4/4 (x+5) ¹² +2¹4 » 4 (2+0x +25)=z2^= 2 y = 1/2 (x-3)²-2 = ²/(x²-6x + 5)2 = √6²=400 -6=100. =x²-3x + 1-2 = 1x²-3x+2/1/ (-3 5=40 +26+5 2=4 p=-2 1 = 0 (1 + 2)² +4 y=-3√(x+2) ²44 = -3 [x² + 4x + 4 64] = 1= a +4 0=-3 23x²-12x-8 C -4x² - 4x - 25 +3 = -42²-46 x-h= =-4x²-21-9 3.65. Funkcja kwadratowa f ma tylko jedno miejsce zerowe. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że prosta o równaniu x - 5 = 0 jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkt A 2, -1- należy do tego wykresu. 4 5 A=0. 9 = 27/1 x-5=0 p=5 A (²₁-13) x=S=p въг=час -14 = 0·2² +6·2+6 [L(-100) ² = 40c 6=-100 250=C b= -10a 6=-100 ( - 2 = 4₁ +2 (-100) + (-=-16 +25₂ (-3/3=4a-20a+c •£1002² = 400. ) 6=-100 (-3--160 +c c=250 6=-10a -=Sa (=25.- 6 = -10- (-1) ・(C=-5. f=2 fG)=-13x²+2x-5