Matematyka

Wyrażenia wymierne i pierwiastki

funkcja wymierna

Matematyka

6 gru 2025

1185

8 strony

Funkcja wymierna - definicja i przykłady

Lena @33.lens

Obserwuj

Czas na opanowanie funkcji wymiernych i równań z wartością bezwzględną! Te zagadnienia wyglądają skomplikowanie, ale po zrozumieniu podstawowych... Pokaż więcej

$--- OCR Start --- ) $\frac{-x^{2}+5x}{2x+1}\cdot\frac{4x^{2}-1^{7}}{x^{2}}=\frac{x(-x+5)}{2x+1}\bullet\frac{(2x-1)(2x+1)}{x\cdot x}=(-x+5)\$

Mnożenie i dzielenie funkcji wymiernych

Mnożenie funkcji wymiernych to w gruncie rzeczy mnożenie ułamków - licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. Kluczowe jest najpierw rozłożenie wyrażeń na czynniki, żeby móc je skracać.

Przy dzieleniu pamiętaj złotą zasadę dzielenie to mnożenie przez odwrotność. Zamiast dzielić przez drugi ułamek, mnożysz przez jego odwrotność (zamieniasz licznik z mianownikiem).

Dziedzina to najważniejsza rzecz - mianownik nigdy nie może być zerem! Zawsze sprawdzaj, dla jakich wartości x mianownik się zeruje, i wykluczaj je z dziedziny.

💡 Wskazówka Zawsze najpierw wyznacz dziedzinę, potem dopiero wykonuj działania. To uchroni Cię przed błędami!

$--- OCR Start --- ) $\frac{-x^{2}+5x}{2x+1}\cdot\frac{4x^{2}-1^{7}}{x^{2}}=\frac{x(-x+5)}{2x+1}\bullet\frac{(2x-1)(2x+1)}{x\cdot x}=(-x+5)\$

Równania wymierne i z wartością bezwzględną

Równania wymierne rozwiązujesz w trzech krokach wyznacz dziedzinę, przyrównaj licznik do zera (gdy prawa strona to 0), sprawdź czy rozwiązanie należy do dziedziny.

Równania z wartością bezwzględną działają według prostej zasady |x-a| = b oznacza, że x-a = b lub x-a = -b. To daje Ci zawsze dwa rozwiązania $chyba że b < 0 - wtedy równanie nie ma rozwiązań$ .

Gdy w równaniu z wartością bezwzględną pojawia się zero po prawej stronie, masz tylko jedno rozwiązanie. Jeśli po prawej jest liczba ujemna, równanie jest sprzeczne.

🎯 Pamiętaj Wartość bezwzględna to zawsze liczba nieujemna. Jeśli masz |coś| = -5, to równanie nie ma rozwiązań!

$--- OCR Start --- ) $\frac{-x^{2}+5x}{2x+1}\cdot\frac{4x^{2}-1^{7}}{x^{2}}=\frac{x(-x+5)}{2x+1}\bullet\frac{(2x-1)(2x+1)}{x\cdot x}=(-x+5)\$

Praktyczne przykłady rozwiązywania

Te przykłady pokazują, jak krok po kroku rozwiązywać trudniejsze równania wymierne. Najpierw zawsze upraszczasz wyrażenia przez rozkład na czynniki i skracanie.

Przy równaniach typu $\frac{A}{B} = 0$ pamiętaj rozwiązaniem są zera licznika A, ale tylko te, które nie zerują mianownika B. To częsty błąd na klasówkach!

Równania z ułamkami po obu stronach rozwiązujesz przez mnożenie na krzyż jeśli $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , to a·d = b·c. Potem już tylko algebra.

⚡ Szybka metoda Gdy masz równanie $\frac{coś}{coś} = liczba$ , od razu mnóż obie strony przez mianownik. Oszczędza to czas!

$--- OCR Start --- ) $\frac{-x^{2}+5x}{2x+1}\cdot\frac{4x^{2}-1^{7}}{x^{2}}=\frac{x(-x+5)}{2x+1}\bullet\frac{(2x-1)(2x+1)}{x\cdot x}=(-x+5)\$

Równania prowadzące do równań kwadratowych

Niektóre równania wymierne po przekształceniu dają równania kwadratowe. Nie panikuj - rozwiązujesz je standardowo przez deltę lub wzory Vieta.

Proporcjonalność odwrotna ma postać y = a/x. Żeby znaleźć parametr a, podstawiasz współrzędne znanego punktu i rozwiązujesz równanie.

Gdy funkcja przechodzi przez punkt A(x₀, y₀), to y₀ = a/x₀, więc a = x₀ · y₀. Proste jak konstrukcja!

📊 Na egzamin Zapamiętaj wzór proporcjonalności odwrotnej y = a/x. To podstawa do większości zadań z tym tematem!

$--- OCR Start --- ) $\frac{-x^{2}+5x}{2x+1}\cdot\frac{4x^{2}-1^{7}}{x^{2}}=\frac{x(-x+5)}{2x+1}\bullet\frac{(2x-1)(2x+1)}{x\cdot x}=(-x+5)\$

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Najpopularniejsze notatki: funkcja wymierna

Funkcje Wymierne i Homograficzne

Zrozumienie funkcji homograficznej i wymiernej, w tym ich dziedziny, wykresów oraz rozwiązywania równań i nierówności. Obejmuje także średnie arytmetyczne, geometryczne i kwadratowe. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Funkcja wymierna - definicja i przykłady

Mnożenie i dzielenie funkcji wymiernych

Równania wymierne i z wartością bezwzględną

Praktyczne przykłady rozwiązywania

Równania prowadzące do równań kwadratowych

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: funkcja wymierna

Funkcje Wymierne i Homograficzne

Funkcja homograficzna

Funkcje Wymierne: Mnożenie i Dzielenie

Analiza Funkcji Wymiernej

Właściwości Funkcji Wymiernej

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Geometria Figur Płaszczyzny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Antyk: Filozofia i Mitologia

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Funkcja wymierna - definicja i przykłady

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Mnożenie i dzielenie funkcji wymiernych

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Równania wymierne i z wartością bezwzględną

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Praktyczne przykłady rozwiązywania

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Równania prowadzące do równań kwadratowych

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: funkcja wymierna

Funkcje Wymierne i Homograficzne

Funkcja homograficzna

Funkcje Wymierne: Mnożenie i Dzielenie

Analiza Funkcji Wymiernej

Właściwości Funkcji Wymiernej

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Geometria Figur Płaszczyzny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa