brelaaa

29.11.2025

Matematyka

Trygonometria kąta ostrego

Matematyka

Własności i Klasyfikacja Trójkątów

424

•

29 lis 2025

•

4 strony

Podstawy trygonometrii kąta ostrego

brelaaa

@brelaaa

Trygonometria to jedna z kluczowych dziedzin matematyki, która pomoże Ci... Pokaż więcej

1 / 4

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Trygonometria kąta ostrego

Funkcje trygonometryczne to podstawowe narzędzia opisujące relacje w trójkącie prostokątnym. Dla kąta ostrego α (czyli kąta między 0° a 90°) mamy cztery główne funkcje:

Sinus: sin α = b/c $przeciwprostokątna/przeciwprostokątna$
Cosinus: cos α = a/c $przyprostokątna przyległa/przeciwprostokątna$
Tangens: tg α = b/a $przeciwprostokątna/przyprostokątna przyległa$
Cotangens: ctg α = a/b $przyprostokątna przyległa/przeciwprostokątna$

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego zawsze spełniają warunki: 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1, a tangens i cotangens są zawsze dodatnie.

Ciekawostka: Pamiętaj, że sinus to stosunek długości przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, czyli tego, co naprzeciwko kąta. Cosinus to stosunek tego, co przy kącie do przeciwprostokątnej. Te zależności ułatwią Ci zapamiętanie wzorów!

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Znajomość dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° jest niezwykle przydatna i często wykorzystywana w zadaniach. Warto je zapamiętać:

Dla kąta 30°:

sin 30° = 1/2
cos 30° = √3/2
tg 30° = √3/3
ctg 30° = √3

Dla kąta 45°:

sin 45° = cos 45° = √2/2
tg 45° = ctg 45° = 1

Dla kąta 60°:

sin 60° = √3/2
cos 60° = 1/2
tg 60° = √3
ctg 60° = √3/3

Wskazówka: Zauważ, że dla kąta 45° sinus i cosinus mają takie same wartości, a tangens i cotangens równają się 1. To dlatego, że trójkąt z kątem 45° jest trójkątem równoramiennym!

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Funkcje trygonometryczne tego samego kąta ostrego są ze sobą powiązane przez tożsamości trygonometryczne - równości, które są prawdziwe dla wszystkich wartości kąta, dla których funkcje są określone.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne dla kąta ostrego α:

sin²α + cos²α = 1 (nazywana jedynką trygonometryczną)
tgα = sinα / cosα
ctgα = cosα / sinα
tgα · ctgα = 1

Wszystkie te zależności można udowodnić korzystając z twierdzenia Pitagorasa oraz definicji funkcji trygonometrycznych. Na przykład, jedynka trygonometryczna wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego.

Ważne: Gdy widzisz zapis sin²α, oznacza to (sinα)² - czyli sinus podniesiony do kwadratu. Ta konwencja zapisu jest powszechnie stosowana w trygonometrii i ułatwia zapisywanie skomplikowanych wzorów.

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają wyrażać funkcje trygonometryczne danego kąta przez funkcje kąta dopełniającego do 90°. Są niezwykle przydatne przy przekształcaniu wyrażeń trygonometrycznych.

Dla kąta ostrego α poniższe wzory redukcyjne zawsze będą prawdziwe:

sinα = cos(90° - α)
cosα = sin(90° - α)
tgα = ctg(90° - α)
ctgα = tg(90° - α)

Wzory te wynikają z właściwości trójkąta prostokątnego - jeśli suma dwóch kątów wynosi 90° (są to kąty dopełniające), to pomiędzy ich funkcjami trygonometrycznymi zachodzą określone zależności.

Podpowiedź: Wyobraź sobie, że jeśli α + β = 90°, to kąty α i β są jak puzzle, które razem tworzą kąt prosty. Ich funkcje trygonometryczne są ze sobą powiązane właśnie przez wzory redukcyjne!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

geometria plaska

488

Dwie proste przecięte trzecią prostą

906

Tego nie ma w tablicach! (dla Podstawy 2022)

5400

335

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Własności i Klasyfikacja Trójkątów

Matematyka

•

424

•

29 lis 2025

•

4 strony

Podstawy trygonometrii kąta ostrego

brelaaa

@brelaaa

Trygonometria to jedna z kluczowych dziedzin matematyki, która pomoże Ci zrozumieć zależności między kątami i bokami w trójkątach. Znajomość funkcji trygonometrycznych i ich własności przyda Ci się nie tylko na sprawdzianach, ale również w praktycznych zastosowaniach, takich jak mierzenie wysokości... Pokaż więcej

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Trygonometria kąta ostrego

Funkcje trygonometryczne to podstawowe narzędzia opisujące relacje w trójkącie prostokątnym. Dla kąta ostrego α (czyli kąta między 0° a 90°) mamy cztery główne funkcje:

Sinus: sin α = b/c $przeciwprostokątna/przeciwprostokątna$
Cosinus: cos α = a/c $przyprostokątna przyległa/przeciwprostokątna$
Tangens: tg α = b/a $przeciwprostokątna/przyprostokątna przyległa$
Cotangens: ctg α = a/b $przyprostokątna przyległa/przeciwprostokątna$

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego zawsze spełniają warunki: 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1, a tangens i cotangens są zawsze dodatnie.

Ciekawostka: Pamiętaj, że sinus to stosunek długości przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, czyli tego, co naprzeciwko kąta. Cosinus to stosunek tego, co przy kącie do przeciwprostokątnej. Te zależności ułatwią Ci zapamiętanie wzorów!

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Znajomość dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° jest niezwykle przydatna i często wykorzystywana w zadaniach. Warto je zapamiętać:

Dla kąta 30°:

sin 30° = 1/2
cos 30° = √3/2
tg 30° = √3/3
ctg 30° = √3

Dla kąta 45°:

sin 45° = cos 45° = √2/2
tg 45° = ctg 45° = 1

Dla kąta 60°:

sin 60° = √3/2
cos 60° = 1/2
tg 60° = √3
ctg 60° = √3/3

Wskazówka: Zauważ, że dla kąta 45° sinus i cosinus mają takie same wartości, a tangens i cotangens równają się 1. To dlatego, że trójkąt z kątem 45° jest trójkątem równoramiennym!

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Podstawowe tożsamości trygonometryczne dla kąta ostrego α:

sin²α + cos²α = 1 (nazywana jedynką trygonometryczną)
tgα = sinα / cosα
ctgα = cosα / sinα
tgα · ctgα = 1

Ważne: Gdy widzisz zapis sin²α, oznacza to (sinα)² - czyli sinus podniesiony do kwadratu. Ta konwencja zapisu jest powszechnie stosowana w trygonometrii i ułatwia zapisywanie skomplikowanych wzorów.

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają wyrażać funkcje trygonometryczne danego kąta przez funkcje kąta dopełniającego do 90°. Są niezwykle przydatne przy przekształcaniu wyrażeń trygonometrycznych.

Dla kąta ostrego α poniższe wzory redukcyjne zawsze będą prawdziwe:

sinα = cos(90° - α)
cosα = sin(90° - α)
tgα = ctg(90° - α)
ctgα = tg(90° - α)

Podpowiedź: Wyobraź sobie, że jeśli α + β = 90°, to kąty α i β są jak puzzle, które razem tworzą kąt prosty. Ich funkcje trygonometryczne są ze sobą powiązane właśnie przez wzory redukcyjne!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Geometria Trójkątów

Zgłębiaj kluczowe pojęcia geometrii trójkątów, w tym twierdzenie Pitagorasa, wysokości trójkąta oraz zasady kongruencji. Materiał obejmuje również pomiar kątów i właściwości trójkątów równobocznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Kąty w Trójkącie

Zrozumienie kątów naprzemianległych i odpowiadających w kontekście przecięcia prostych. Analiza sumy miar kątów w trójkącie oraz obliczenia kątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Wzory Maturalne 2022

Kompleksowe tablice matematyczne z kluczowymi wzorami i definicjami, które są niezbędne do zdania matury. Zawierają m.in. średnią, medianę, wzory na pole i objętość figur, zasady podzielności oraz właściwości trójkątów i czworokątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu.

Matematyka

Geometria Płaszczyzny

Zbiór kluczowych wzorów i zasad dotyczących geometrii płaskiej, w tym obliczania pól i obwodów różnych figur, cech przystawania i podobieństwa trójkątów oraz właściwości kątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Miary Kątów w Geometrii

Zrozumienie miar kątów w trójkątach i czworokątach. Dowiedz się o sumie kątów, kątach przyległych oraz właściwościach kątów w różnych figurach geometrycznych. Idealne dla uczniów szkół podstawowych i średnich.

Matematyka

Własności Czworokątów

Odkryj kluczowe właściwości czworokątów w geometrii płaskiej. Zawiera definicje trapezów, równoległoboków, rombów oraz kwadratów, a także wzory na pole i obwód. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii. (Typ: Podsumowanie)

Matematyka

Podobne notatki

geometria plaska

488

Dwie proste przecięte trzecią prostą

906

Tego nie ma w tablicach! (dla Podstawy 2022)

5400

335

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS