Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Kąty w trójkącie

Twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych

Matematyka

22 gru 2025

433

4 strony

Podstawy trygonometrii kąta ostrego

brelaaa @brelaaa

Obserwuj

Trygonometria to jedna z kluczowych dziedzin matematyki, która pomoże Ci zrozumieć zależności między kątami i bokami w trójkątach.... Pokaż więcej

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Trygonometria kąta ostrego

Funkcje trygonometryczne to podstawowe narzędzia opisujące relacje w trójkącie prostokątnym. Dla kąta ostrego α (czyli kąta między 0° a 90°) mamy cztery główne funkcje

Sinus sin α = b/c $przeciwprostokątna/przeciwprostokątna$
Cosinus cos α = a/c $przyprostokątna przyległa/przeciwprostokątna$
Tangens tg α = b/a $przeciwprostokątna/przyprostokątna przyległa$
Cotangens ctg α = a/b $przyprostokątna przyległa/przeciwprostokątna$

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego zawsze spełniają warunki 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1, a tangens i cotangens są zawsze dodatnie.

Ciekawostka Pamiętaj, że sinus to stosunek długości przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, czyli tego, co naprzeciwko kąta. Cosinus to stosunek tego, co przy kącie do przeciwprostokątnej. Te zależności ułatwią Ci zapamiętanie wzorów!

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Znajomość dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° jest niezwykle przydatna i często wykorzystywana w zadaniach. Warto je zapamiętać

Dla kąta 30°

sin 30° = 1/2
cos 30° = √3/2
tg 30° = √3/3
ctg 30° = √3

Dla kąta 45°

sin 45° = cos 45° = √2/2
tg 45° = ctg 45° = 1

Dla kąta 60°

sin 60° = √3/2
cos 60° = 1/2
tg 60° = √3
ctg 60° = √3/3

Wskazówka Zauważ, że dla kąta 45° sinus i cosinus mają takie same wartości, a tangens i cotangens równają się 1. To dlatego, że trójkąt z kątem 45° jest trójkątem równoramiennym!

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Funkcje trygonometryczne tego samego kąta ostrego są ze sobą powiązane przez tożsamości trygonometryczne - równości, które są prawdziwe dla wszystkich wartości kąta, dla których funkcje są określone.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne dla kąta ostrego α

sin²α + cos²α = 1 (nazywana jedynką trygonometryczną)
tgα = sinα / cosα
ctgα = cosα / sinα
tgα · ctgα = 1

Wszystkie te zależności można udowodnić korzystając z twierdzenia Pitagorasa oraz definicji funkcji trygonometrycznych. Na przykład, jedynka trygonometryczna wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego.

Ważne Gdy widzisz zapis sin²α, oznacza to (sinα)² - czyli sinus podniesiony do kwadratu. Ta konwencja zapisu jest powszechnie stosowana w trygonometrii i ułatwia zapisywanie skomplikowanych wzorów.

$# TRYGONOMETRIA kąta ostrego Sinus $\alpha = \frac{b}{c}$ tangens $\alpha$= $\frac{b}{a}$ cosinus $\alpha$= $\frac{a}{c}$ cotangens $\alp$

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają wyrażać funkcje trygonometryczne danego kąta przez funkcje kąta dopełniającego do 90°. Są niezwykle przydatne przy przekształcaniu wyrażeń trygonometrycznych.

Dla kąta ostrego α poniższe wzory redukcyjne zawsze będą prawdziwe

sinα = cos(90° - α)
cosα = sin(90° - α)
tgα = ctg(90° - α)
ctgα = tg(90° - α)

Wzory te wynikają z właściwości trójkąta prostokątnego - jeśli suma dwóch kątów wynosi 90° (są to kąty dopełniające), to pomiędzy ich funkcjami trygonometrycznymi zachodzą określone zależności.

Podpowiedź Wyobraź sobie, że jeśli α + β = 90°, to kąty α i β są jak puzzle, które razem tworzą kąt prosty. Ich funkcje trygonometryczne są ze sobą powiązane właśnie przez wzory redukcyjne!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Przekształcanie Wzorów Matematycznych

Zrozumienie przekształcania wzorów matematycznych i fizycznych. Przykłady wyodrębniania zmiennych, takich jak prędkość, czas i objętość. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki i fizyki.

Podstawy trygonometrii kąta ostrego

Trygonometria kąta ostrego

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Wzory redukcyjne

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Przekształcanie Wzorów Matematycznych

Rodzaje Trójkątów

Geometria Czworokątów i Trójkątów

Pole Czworokątów i Równoległoboków

Geometria Trójkątów

Kąty w Trójkącie

Podobne notatki

Przekształcanie wzorów w matematyce i fizyce

trójkąty

Geometria płaska

Najpopularniejsze notatki: Funkcje trygonometryczne

Wartości Trygonometryczne

Funkcje Trygonometryczne w Trójkącie Prostokątnym

Trygonometria Kątów i Wzory

Wzory Trygonometryczne

Zadania z Trygonometrii

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Geometria Figur Płaszczyzny

Nierówności i Równania Kwadratowe

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Analiza Ksiąg Biblijnych

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza 'Lalki' Prusa

Postawy wobec zła w Dżumie

Wesele: Analiza Symboli

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Podstawy trygonometrii kąta ostrego

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Trygonometria kąta ostrego

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Wzory redukcyjne

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Przekształcanie Wzorów Matematycznych

Rodzaje Trójkątów

Geometria Czworokątów i Trójkątów

Pole Czworokątów i Równoległoboków

Geometria Trójkątów

Kąty w Trójkącie

Podobne notatki

Przekształcanie wzorów w matematyce i fizyce

trójkąty

Geometria płaska

Najpopularniejsze notatki: Funkcje trygonometryczne

Wartości Trygonometryczne

Funkcje Trygonometryczne w Trójkącie Prostokątnym

Trygonometria Kątów i Wzory

Wzory Trygonometryczne

Zadania z Trygonometrii