Sinus, Cosinus, Tangens i Cotangens w Trójkącie Prostokątnym

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Każda funkcja trygonometryczna to stosunek długości określonych boków w trójkącie prostokątnym. Dzięki nim możemy rozwiązywać problemy geometryczne bez rysowania.

Sinus kąta ostrego α to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej: sin α = a/c. Wartość sinusa zawsze mieści się w przedziale (0,1).

Cosinus kąta ostrego α to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta względem długości przeciwprostokątnej: cos α = b/c. Podobnie jak sinus, cosinus przyjmuje wartości z przedziału (0,1).

💡 Wskazówka: Łatwy sposób na zapamiętanie: sin α szuka boku naprzeciwko kąta, a cos α szuka boku przyległego do kąta.

Tangens kąta ostrego α definiujemy jako stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przyprostokątnej przyległej: tg α = a/b. Tangens może przyjmować dowolną wartość dodatnią (0,∞).

Cotangens i przykłady obliczeniowe

Cotangens kąta ostrego α to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przyprostokątnej przeciwległej: ctg α = b/a. Jest to odwrotność tangensa i przyjmuje wartości z przedziału (0,∞).

Zobaczmy to na przykładzie: mamy trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną długości 25 i przyprostokątną 7. Znajdźmy pozostałą przyprostokątną: 7² + x² = 25², więc x = 24. Teraz możemy obliczyć:

• sin α = 7/25
• cos α = 24/25
• tg α = 7/24
• ctg α = 24/7

🔑 Pamiętaj: Zawsze możesz sprawdzić poprawność obliczeń - wartości sin² α + cos² α powinny dawać 1.

Drugi przykład: trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi 4 i 7,5. Obliczamy przeciwprostokątną: x = √$4² + 7,5²$ = 8,5. Stąd:

• sin α = 7,5/8,5 = 15/17
• cos α = 4/8,5 = 8/17
• tg α = 7,5/4 = 15/8
• ctg α = 4/7,5 = 8/15

Zadanie praktyczne z funkcjami trygonometrycznymi

Przeanalizujmy zadanie 8.1: w trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość a, druga 3a. Znajdźmy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α.

Najpierw obliczmy przeciwprostokątną x: x² = a² + (3a)² = a² + 9a² = 10a² x = a√10

Teraz możemy wyliczyć wszystkie funkcje trygonometryczne:

• sin α = a/(a√10) = 1/√10 = √10/10
• cos α = 3a/(a√10) = 3/√10
• tg α = a/3a = 1/3
• ctg α = 3a/a = 3

💪 Spróbuj sam: Zmień wartości boków na 2a i 5a, a następnie oblicz funkcje trygonometryczne, aby sprawdzić swoje zrozumienie.

To zadanie pokazuje, że nawet gdy nie znamy dokładnych długości boków, możemy wyznaczyć dokładne wartości funkcji trygonometrycznych, wykorzystując proporcje między bokami.