Działania na Potęgach – Przykłady i Rozwiązania

Hania

9.12.2025

Matematyka

Działania na potęgach

Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Własności wykładników

940

•

9 gru 2025

•

2 strony

Działania na Potęgach – Przykłady i Rozwiązania

Hania

@haniagadomska

Potęgowanie to jedna z podstawowych operacji matematycznych, którą musisz opanować.... Pokaż więcej

Działania na potęgach
an
wykładnik
podstawa
a=a.a.....a
a=1 a¹=a
n czynników
zawsze dla a#0
dla a#0 i k≥1
a*1
dla a 40 i b+0
-1
a¹11
a-1
(1)

Podstawowe zasady potęgowania

Potęga $a^n$ składa się z podstawy (liczba $a$) i wykładnika (liczba $n$). Oznacza ona, że podstawę mnożymy przez samą siebie $n$ razy: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n czynników).

Kilka ważnych przypadków szczególnych: $a^0 = 1$ $dla $a \neq 0$$ , a $a^1 = a$ . Potęgi o wykładnikach ujemnych zamieniamy na ułamki: $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$ $dla $a \neq 0$ i $k \geq 1$$ , a $a^{-1} = \frac{1}{a}$ . Dla ułamków obowiązuje reguła: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-k} = \left(\frac{b}{a}\right)^k$ .

Gdy działasz na potęgach, stosuj te wzory $dla $a \neq 0$, $b \neq 0$ i całkowitych $n$, $k$$ :

$a^n \cdot a^k = a^{n+k}$ (mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki)
$a^n : a^k = a^{n-k}$ (dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki)
$(a^n)^k = a^{n \cdot k}$ (potęgując potęgę, mnożymy wykładniki)
$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ i $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$ (ta sama potęga różnych podstaw)

💡 Pamiętaj! Pierwiastki to też potęgi! Dla $a > 0$ i $n > 1$ : $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ , a $a^{\frac{k}{n}} = (\sqrt[n]{a})^k$ .

Przykłady działań na potęgach

Potęgi z ujemnym wykładnikiem zamieniamy na ułamki. Na przykład: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ czy $4^{-5} = \frac{1}{4^5} = \frac{1}{1024}$ . Dla odwrotności mamy: $5^{-1} = \frac{1}{5}$ , a dla ułamków: $(\frac{3}{4})^{-1} = \frac{4}{3}$ .

Przy bardziej złożonych przykładach z ułamkami: $(\frac{3}{8})^{-2} = (\frac{8}{3})^2 = \frac{64}{9}$ , a $(\frac{4}{6})^{-4} = (\frac{6}{4})^4 = (\frac{3}{2})^4 = \frac{81}{16}$ . Warto najpierw skrócić ułamek, jeśli to możliwe!

Korzystając z wzorów na działania, szybko obliczysz: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ oraz $2^3 \cdot 2^{-4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$ . Przy potęgach potęg: $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$ . Dla potęg z różnymi podstawami: $2^3 \cdot 4^3 = (2 \cdot 4)^3 = 8^3$ .

🔍 Ciekawostka: Pierwiastki można zapisywać jako potęgi z wykładnikiem ułamkowym! Na przykład: $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$ oraz $9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ .

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

3296

100

Wykładnik wymierny

376

Potęgi o wykładnikach całkowitych i wymiernych

2373

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Własności wykładników

Zasady Potęgowania

Odkryj zasady potęgowania, w tym potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, zerowym oraz działania na potęgach. Zrozum notację wykładniczą i naucz się, jak mnożyć i dzielić potęgi. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Działania na Potęgach – Przykłady i Rozwiązania

Podstawowe zasady potęgowania

Przykłady działań na potęgach

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Wykładnik wymierny

Potęgi o wykładnikach całkowitych i wymiernych

Najpopularniejsze notatki: Własności wykładników

Zasady Potęgowania

Działania na potęgach i pierwiastkach

Podstawy Liczb Rzeczywistych

Wzory Potęg

Potęgi i Pierwiastki: Wzory i Przykłady

Operacje na Potęgach

Potęgi i Pierwiastki: Kluczowe Zasady

Potęgi Liczb 1-50

Prawa Potęg i Pierwiastków

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Geometria Figur Płaszczyzny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Antyk: Filozofia i Mitologia

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Działania na Potęgach – Przykłady i Rozwiązania

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Podstawowe zasady potęgowania

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Przykłady działań na potęgach

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Potęgi z Ujemnymi Wykładnikami

Potęgi z Wykładnikiem Wymiernym

Operacje na Potęgach

Powtórzenie matematyka dział 1 liczby rzeczywiste

Matematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach

Potęgi: Wykładniki Naturalne i Wymierne

Podobne notatki

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Wykładnik wymierny

Potęgi o wykładnikach całkowitych i wymiernych

Najpopularniejsze notatki: Własności wykładników

Zasady Potęgowania

Działania na potęgach i pierwiastkach

Podstawy Liczb Rzeczywistych

Wzory Potęg

Potęgi i Pierwiastki: Wzory i Przykłady

Operacje na Potęgach

Potęgi i Pierwiastki: Kluczowe Zasady

Potęgi Liczb 1-50

Prawa Potęg i Pierwiastków

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach