Język polski
Biologia
Chemia
Historia
Geografia
Aparat ruchu
Układ wydalniczy
Komórka
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Genetyka klasyczna
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Systematyka związków nieorganicznych
Węglowodory
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Świat substancji
Pochodne węglowodorów
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Gazy i ich mieszaniny
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
51
1
Misiekk
12.12.2025
Matematyka
Geometria płaska - koła i okręgi
5006
•
12 gru 2025
•
Misiekk
@misiaaaaaa.
Geometria płaska dotycząca kół i okręgów to kluczowy temat w... Pokaż więcej
Zacznijmy od najważniejszych elementów okręgu. Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na okręgu. Średnica to szczególny rodzaj cięciwy, która przechodzi przez środek okręgu. Promień natomiast to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na okręgu. Styczna to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.
Aby obliczyć obwód koła (czyli długość okręgu), używamy wzoru: Ob = 2πr, gdzie r to promień koła. Ten prosty wzór pozwala nam szybko określić, jak długa jest linia tworząca okrąg.
Pole koła obliczamy ze wzoru: P = πr². Zauważ, że pole rośnie proporcjonalnie do kwadratu promienia - oznacza to, że dwukrotne zwiększenie promienia powoduje czterokrotne zwiększenie pola!
💡 Warto zapamiętać: Liczba π (pi) występuje zarówno we wzorze na obwód, jak i pole koła. W przybliżeniu wynosi 3,14, ale w bardziej dokładnych obliczeniach używa się wartości 3,1415926535...
W okręgu wyróżniamy dwa podstawowe rodzaje kątów. Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu, a ramionami są promienie. Taki kąt jest łatwy do zauważenia, bo jego ramiona "wychodzą" ze środka koła.
Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramionami są cięciwy. Między tymi kątami istnieje ważna zależność: jeśli kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku, to miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego.
Długość łuku okręgu wyznaczonego przez kąt środkowy α możemy obliczyć korzystając z proporcji: l = (α/360°) · 2πr. Oznacza to, że jeśli kąt środkowy stanowi pewną część pełnego kąta (360°), to łuk stanowi taką samą część całego obwodu okręgu.
⚠️ Uważaj: Pamiętaj o jednostkach kąta! Jeśli korzystasz ze wzoru na długość łuku, kąt α musi być wyrażony w stopniach. Jeśli używasz radianów, wzór upraszcza się do l = r·α.
Okrąg wpisany w trójkąt to taki okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta. Centrum takiego okręgu znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.
Dla trójkąta równobocznego promień okręgu wpisanego wynosi r = (1/3)h, gdzie h to wysokość trójkąta. Z kolei dla trójkąta prostokątnego promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru r = /2, gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna.
Okrąg opisany na trójkącie to okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki trójkąta. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta. Położenie środka okręgu opisanego zależy od rodzaju trójkąta: w trójkącie ostrokątnym leży wewnątrz trójkąta, w prostokątnym na przeciwprostokątnej, a w rozwartokątnym poza trójkątem.
💡 Ciekawostka: W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego wynosi R = (2/3)h. Porównując ze wzorem na promień okręgu wpisanego , widzimy, że promień okręgu opisanego jest dokładnie dwa razy większy!
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Misiekk
@misiaaaaaa.
Geometria płaska dotycząca kół i okręgów to kluczowy temat w matematyce. Zrozumienie pojęć i zależności między nimi pomoże Ci rozwiązywać różnorodne zadania z geometrii. Przyjrzyjmy się podstawowym elementom i wzorem związanym z kołami i okręgami.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Zacznijmy od najważniejszych elementów okręgu. Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na okręgu. Średnica to szczególny rodzaj cięciwy, która przechodzi przez środek okręgu. Promień natomiast to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na okręgu. Styczna to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.
Aby obliczyć obwód koła (czyli długość okręgu), używamy wzoru: Ob = 2πr, gdzie r to promień koła. Ten prosty wzór pozwala nam szybko określić, jak długa jest linia tworząca okrąg.
Pole koła obliczamy ze wzoru: P = πr². Zauważ, że pole rośnie proporcjonalnie do kwadratu promienia - oznacza to, że dwukrotne zwiększenie promienia powoduje czterokrotne zwiększenie pola!
💡 Warto zapamiętać: Liczba π (pi) występuje zarówno we wzorze na obwód, jak i pole koła. W przybliżeniu wynosi 3,14, ale w bardziej dokładnych obliczeniach używa się wartości 3,1415926535...
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
W okręgu wyróżniamy dwa podstawowe rodzaje kątów. Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu, a ramionami są promienie. Taki kąt jest łatwy do zauważenia, bo jego ramiona "wychodzą" ze środka koła.
Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramionami są cięciwy. Między tymi kątami istnieje ważna zależność: jeśli kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku, to miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego.
Długość łuku okręgu wyznaczonego przez kąt środkowy α możemy obliczyć korzystając z proporcji: l = (α/360°) · 2πr. Oznacza to, że jeśli kąt środkowy stanowi pewną część pełnego kąta (360°), to łuk stanowi taką samą część całego obwodu okręgu.
⚠️ Uważaj: Pamiętaj o jednostkach kąta! Jeśli korzystasz ze wzoru na długość łuku, kąt α musi być wyrażony w stopniach. Jeśli używasz radianów, wzór upraszcza się do l = r·α.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Okrąg wpisany w trójkąt to taki okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta. Centrum takiego okręgu znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.
Dla trójkąta równobocznego promień okręgu wpisanego wynosi r = (1/3)h, gdzie h to wysokość trójkąta. Z kolei dla trójkąta prostokątnego promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru r = /2, gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna.
Okrąg opisany na trójkącie to okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki trójkąta. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta. Położenie środka okręgu opisanego zależy od rodzaju trójkąta: w trójkącie ostrokątnym leży wewnątrz trójkąta, w prostokątnym na przeciwprostokątnej, a w rozwartokątnym poza trójkątem.
💡 Ciekawostka: W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego wynosi R = (2/3)h. Porównując ze wzorem na promień okręgu wpisanego , widzimy, że promień okręgu opisanego jest dokładnie dwa razy większy!
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
51
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Matematyka