Przesuwanie hiperboli – kluczowe informacje i ćwiczenia

Nadia Wilamowska

14.11.2025

Matematyka

Hiperbola - przesuwanie hiperboli

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Przekształcenia wykresów

Y = f(–x)

603

•

14 lis 2025

•

2 strony

Przesuwanie hiperboli – kluczowe informacje i ćwiczenia

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

Nadia Wilamowska

@dusia211121

Hiperbola to jedna z najważniejszych funkcji w matematyce, którą spotkasz... Pokaż więcej

$- HIPERBOLA. PRZESUWANIR HIPERBOLI. $f(x)= \frac{a}{x}$ gdzie a≠0 11110121BOLA Y- asymptota pionowa X-asymptota pozioma $ \begin{cases} w$

Podstawowa hiperbola

Wyobraź sobie funkcję, która nigdy nie dotknie osi x ani y - to właśnie hiperbola! Jej wzór to f(x) = a/x, gdzie a ≠ 0.

Najważniejsze cechy hiperboli to asymptoty - linie, do których krzywa się zbliża, ale nigdy ich nie przecina. Oś y to asymptota pionowa, a oś x to asymptota pozioma.

Gdy a > 0 $np. f(x) = 2/x$ , hiperbola znajduje się w I i III ćwiartce. Funkcja przyjmuje dodatnie wartości dla x > 0 i ujemne dla x < 0. Pamiętaj, że x nigdy nie może być równe zero!

Wskazówka: Hiperbola ma dwie oddzielne części - jedną po prawej stronie osi y, drugą po lewej.

$- HIPERBOLA. PRZESUWANIR HIPERBOLI. $f(x)= \frac{a}{x}$ gdzie a≠0 11110121BOLA Y- asymptota pionowa X-asymptota pozioma $ \begin{cases} w$

Przesuwanie hiperboli

Kiedy a < 0, hiperbola odwraca się i leży w II i IV ćwiartce. To znaczy, że dla dodatnich x funkcja ma wartości ujemne, a dla ujemnych x - wartości dodatnie.

Najciekawsza część to przesuwanie hiperboli wzorem f(x) = a/ $x-p$ + q. Parametr p przesuwa hiperbolę w prawo (gdy p > 0) lub w lewo (gdy p < 0). Parametr q przesuwa ją w górę lub w dół.

Przykład: g(x) = -3/ $x+2$ - 2 to hiperbola przesunięta o 2 jednostki w lewo i 2 w dół względem podstawowej f(x) = -3/x. Asymptoty też się przesuwają - pionowa do x = -2, pozioma do y = -2.

Pamiętaj: Współrzędne wierzchołka przesunięcia to zawsze punkt przecięcia asymptot!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi ox I oy

3367

Pojęcie funkcji

3257

Przekształcenia wykresów funkcji

1092

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Przekształcenia wykresów

Y = f(–x)

Matematyka

•

603

•

14 lis 2025

•

2 strony

Przesuwanie hiperboli – kluczowe informacje i ćwiczenia

Nadia Wilamowska

@dusia211121

Hiperbola to jedna z najważniejszych funkcji w matematyce, którą spotkasz w wielu zadaniach maturalnych. Ma charakterystyczną krzywą i dwie asymptoty, które nigdy jej nie przecinają. Nauczysz się też, jak przesuwać hiperbolę na płaszczyźnie współrzędnych.

$- HIPERBOLA. PRZESUWANIR HIPERBOLI. $f(x)= \frac{a}{x}$ gdzie a≠0 11110121BOLA Y- asymptota pionowa X-asymptota pozioma $ \begin{cases} w$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowa hiperbola

Wyobraź sobie funkcję, która nigdy nie dotknie osi x ani y - to właśnie hiperbola! Jej wzór to f(x) = a/x, gdzie a ≠ 0.

Najważniejsze cechy hiperboli to asymptoty - linie, do których krzywa się zbliża, ale nigdy ich nie przecina. Oś y to asymptota pionowa, a oś x to asymptota pozioma.

Gdy a > 0 $np. f(x) = 2/x$ , hiperbola znajduje się w I i III ćwiartce. Funkcja przyjmuje dodatnie wartości dla x > 0 i ujemne dla x < 0. Pamiętaj, że x nigdy nie może być równe zero!

Wskazówka: Hiperbola ma dwie oddzielne części - jedną po prawej stronie osi y, drugą po lewej.

$- HIPERBOLA. PRZESUWANIR HIPERBOLI. $f(x)= \frac{a}{x}$ gdzie a≠0 11110121BOLA Y- asymptota pionowa X-asymptota pozioma $ \begin{cases} w$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przesuwanie hiperboli

Kiedy a < 0, hiperbola odwraca się i leży w II i IV ćwiartce. To znaczy, że dla dodatnich x funkcja ma wartości ujemne, a dla ujemnych x - wartości dodatnie.

Najciekawsza część to przesuwanie hiperboli wzorem f(x) = a/ $x-p$ + q. Parametr p przesuwa hiperbolę w prawo (gdy p > 0) lub w lewo (gdy p < 0). Parametr q przesuwa ją w górę lub w dół.

Pamiętaj: Współrzędne wierzchołka przesunięcia to zawsze punkt przecięcia asymptot!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Przesunięcia Wykresów Funkcji

Zrozumienie przesunięć wykresów funkcji wzdłuż osi OX i OY. Przykłady z wykresami funkcji kwadratowej oraz wzory na przesunięcia. Idealne dla uczniów matematyki, którzy chcą opanować temat transformacji funkcji.

Matematyka

Definicja i Właściwości Funkcji

Zrozumienie pojęcia funkcji, jej dziedziny i zbioru wartości. Przykłady graficzne, tabelaryczne oraz wzorowe. Ćwiczenia praktyczne dotyczące funkcji i ich transformacji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Odbicia i Przesunięcia Funkcji

Zrozum podstawowe przekształcenia funkcji, w tym odbicia względem osi OX i OY oraz przesunięcia w górę, w dół, w prawo i w lewo. Przykłady ilustrujące zastosowanie tych przekształceń na różnych funkcjach, takich jak $y=|x|$, $y=\sqrt{x}$ i $y=\frac{1}{x}$. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Przekształcenia Wykresów Funkcji

Zrozumienie przekształceń wykresów funkcji, w tym przesunięć, symetrii oraz ich wpływu na dziedzinę i zbiór wartości. Materiał obejmuje różne typy funkcji, ich właściwości oraz zastosowanie wektorów w geometrii. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Układ Równań: Metoda Graficzna

Przewodnik po rozwiązywaniu układów równań metodą graficzną. Dowiedz się, jak przekształcać równania do postaci funkcji, obliczać punkty charakterystyczne oraz rysować wykresy. Zawiera przykłady i szczegółowe kroki dla lepszego zrozumienia.

Matematyka

Definicja funkcji matematycznej

Zrozumienie pojęcia funkcji matematycznej, jej reprezentacji graficznych, tabelarycznych oraz wzorów. Dowiedz się, jak określić miejsce zerowe funkcji i jakie są kluczowe elementy funkcji, takie jak dziedzina i przeciwdziedzina. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Podobne notatki

Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi ox I oy

3367

Pojęcie funkcji

3257

Przekształcenia wykresów funkcji

1092

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS