Liczby całkowite, wymierne i niewymierne - klasa 1 liceum

Liczby całkowite i wymierne

Zbiór liczb całkowitych (oznaczany literą Z) składa się z liczb naturalnych dodatnich, liczb do nich przeciwnych oraz zera. Każda liczba całkowita jest albo parzysta, albo nieparzysta.

Liczby wymierne to takie, które można zapisać jako ułamek $\frac{m}{n}$, gdzie m i n są liczbami całkowitymi (przy czym $n \neq 0$). Ułamki staramy się przedstawiać w postaci nieskracalnej - oznacza to, że licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi, czyli nie mają wspólnych dzielników poza liczbami 1 i $-1$.

Działania na liczbach wymiernych wykonujemy według następujących wzorów:

• Dodawanie: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
• Odejmowanie: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$
• Mnożenie: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
• Dzielenie: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

Ciekawostka: Każdy ułamek postaci $\frac{n}{2}$, gdzie n jest liczbą nieparzystą, można przedstawić jako sumę $\frac{n-1}{2} + \frac{1}{2}$. To przydatne przy upraszczaniu wyrażeń!

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne to takie, których nie da się zapisać w postaci ułamka $\frac{m}{n}$. Przykładem jest $\sqrt{2}$, której niewymierność można udowodnić.

Dla dowolnej liczby naturalnej n, pierwiastek $\sqrt{n}$ jest albo liczbą naturalną (gdy n jest kwadratem liczby naturalnej, np. $\sqrt{81}=9$), albo liczbą niewymierną.

Niektóre ważne przybliżenia liczb niewymiernych:

• $\sqrt{2} \approx 1,414$
• $\sqrt{3} \approx 1,732$
• $\sqrt{5} \approx 2,236$

Istotna własność: iloczyn liczby niewymiernej i niezerowej liczby całkowitej zawsze jest liczbą niewymierną. Co ciekawe, między dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi na osi liczbowej zawsze można znaleźć nieskończenie wiele liczb niewymiernych.