Potęgi z jednakowymi podstawami - Matematyka klasa 7

Mnożenie potęg o tych samych podstawach

Kiedy mamy potęgi o takich samych podstawach, możemy je pomnożyć w prosty sposób. Spójrz na przykład: $22 \cdot 23 = 25$. Dlaczego? Bo $22$ to $2 \cdot 2$ (2 czynniki), a $23$ to $2 \cdot 2 \cdot 2$ (3 czynniki). Gdy je pomnożymy, mamy razem 5 czynników, czyli $25$.

Zapamiętaj zasadę: Gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. Możemy to zapisać wzorem: $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$. Na przykład: $5 \cdot 5^3 = 5^{1+3} = 5^4$.

Ta reguła działa dla dowolnych potęg o takich samych podstawach. Działa tak, ponieważ mnożenie potęg to tak naprawdę łączenie wszystkich czynników razem.

💡 Wskazówka: Wyobraź sobie, że potęga to pewna liczba pudełek, w których jest ta sama rzecz. Mnożenie potęg to po prostu zliczanie wszystkich pudełek razem!

Dzielenie potęg i potęgowanie potęg

Podobnie jak przy mnożeniu, dzielenie potęg o takich samych podstawach ma prostą regułę. Spójrz: $2^5 : 2^3 = 2^2$. Dlaczego? Bo $2^5$ ma 5 czynników, a $2^3$ ma 3 czynniki. Po podzieleniu zostają nam 2 czynniki, czyli $2^2$.

Gdy dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki. Wzór wygląda tak: $a^b : a^c = a^{b-c}$. Na przykład: $\frac{3^7}{3^5} = 3^{7-5} = 3^2$ lub $5^3:5 = 5^{3-1}= 5^2$.

Co z potęgowaniem potęgi? Tutaj też mamy prostą regułę. Gdy potęgujemy potęgę (np. $(3^2)^6$), mnożymy wykładniki. Wzór: $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$. Przykład: $(3^2)^6=3^{2 \cdot 6} = 3^{12}$.

💡 Pamiętaj: Te reguły działają tylko wtedy, gdy podstawy potęg są takie same! Nie możesz na przykład dodać wykładników w $2^3 \cdot 3^2$.

Ćwiczenia z potęgami o tych samych podstawach

Teraz czas zastosować poznane zasady w praktyce! Na karcie pracy znajdziesz zadania, które pomogą Ci utrwalić umiejętność upraszczania wyrażeń z potęgami.

W pierwszym zadaniu musisz zapisać wyrażenia w postaci jednej potęgi. Pamiętaj o regułach:

• Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, dodaj wykładniki (np. $3^3 \cdot 3^2 = 3^{3+2} = 3^5$)
• Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie, odejmij wykładniki (np. $6^9: 6^7 = 6^{9-7} = 6^2$)
• Przy potęgowaniu potęgi, pomnóż wykładniki (np. $(3^3)^5 = 3^{3 \cdot 5} = 3^{15}$)

W drugim zadaniu musisz obliczyć wartości wyrażeń. Wykonaj działania w odpowiedniej kolejności i sprawdź, czy wyniki są równe.

💡 Mała podpowiedź: Pamiętaj, że $10^0 = 1$ i $10^1 = 10$. Te wartości często pojawiają się w zadaniach i warto je znać na pamięć!