Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Iloczyn potęg

4366

•

27 lis 2025

•

3 strony

Potęgi z jednakowymi podstawami - Matematyka klasa 7

Bartosz Jarzynka | Knowunity 💙

@bartoszknowunity

Potęgi to nieodłączny element matematyki, który pozwala nam zapisywać wielokrotne... Pokaż więcej

1 / 3

Zdjęcia: Podręcznik Matematyka z kluczem 7. Nowa Era

Potęgi o tych samych podstawach

8
INTERESTING LESSON
BARTOSZ JARZYNKA

Potega:
Wyraże

Mnożenie potęg o tych samych podstawach

Kiedy mamy potęgi o takich samych podstawach, możemy je pomnożyć w prosty sposób. Spójrz na przykład: $22 \cdot 23 = 25$ . Dlaczego? Bo $22$ to $2 \cdot 2$ (2 czynniki), a $23$ to $2 \cdot 2 \cdot 2$ (3 czynniki). Gdy je pomnożymy, mamy razem 5 czynników, czyli $25$ .

Zapamiętaj zasadę: Gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. Możemy to zapisać wzorem: $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$ . Na przykład: $5 \cdot 5^3 = 5^{1+3} = 5^4$ .

Ta reguła działa dla dowolnych potęg o takich samych podstawach. Działa tak, ponieważ mnożenie potęg to tak naprawdę łączenie wszystkich czynników razem.

💡 Wskazówka: Wyobraź sobie, że potęga to pewna liczba pudełek, w których jest ta sama rzecz. Mnożenie potęg to po prostu zliczanie wszystkich pudełek razem!

Dzielenie potęg i potęgowanie potęg

Podobnie jak przy mnożeniu, dzielenie potęg o takich samych podstawach ma prostą regułę. Spójrz: $2^5 : 2^3 = 2^2$ . Dlaczego? Bo $2^5$ ma 5 czynników, a $2^3$ ma 3 czynniki. Po podzieleniu zostają nam 2 czynniki, czyli $2^2$ .

Gdy dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki. Wzór wygląda tak: $a^b : a^c = a^{b-c}$ . Na przykład: $\frac{3^7}{3^5} = 3^{7-5} = 3^2$ lub $5^3:5 = 5^{3-1}= 5^2$ .

Co z potęgowaniem potęgi? Tutaj też mamy prostą regułę. Gdy potęgujemy potęgę $np. $(3^2)^6$$ , mnożymy wykładniki. Wzór: $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$ . Przykład: $(3^2)^6=3^{2 \cdot 6} = 3^{12}$ .

💡 Pamiętaj: Te reguły działają tylko wtedy, gdy podstawy potęg są takie same! Nie możesz na przykład dodać wykładników w $2^3 \cdot 3^2$ .

Ćwiczenia z potęgami o tych samych podstawach

Teraz czas zastosować poznane zasady w praktyce! Na karcie pracy znajdziesz zadania, które pomogą Ci utrwalić umiejętność upraszczania wyrażeń z potęgami.

W pierwszym zadaniu musisz zapisać wyrażenia w postaci jednej potęgi. Pamiętaj o regułach:

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, dodaj wykładniki $np. $3^3 \cdot 3^2 = 3^{3+2} = 3^5$$
Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie, odejmij wykładniki $np. $6^9: 6^7 = 6^{9-7} = 6^2$$
Przy potęgowaniu potęgi, pomnóż wykładniki $np. $(3^3)^5 = 3^{3 \cdot 5} = 3^{15}$$

W drugim zadaniu musisz obliczyć wartości wyrażeń. Wykonaj działania w odpowiedniej kolejności i sprawdź, czy wyniki są równe.

💡 Mała podpowiedź: Pamiętaj, że $10^0 = 1$ i $10^1 = 10$ . Te wartości często pojawiają się w zadaniach i warto je znać na pamięć!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Średnia arytmetyczna

1288

Średnia Arytmetyczna

2210

Geometria klasa 7 dział 3

1472

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Iloczyn potęg

Matematyka

•

4366

•

27 lis 2025

•

3 strony

Potęgi z jednakowymi podstawami - Matematyka klasa 7

Bartosz Jarzynka | Knowunity 💙

@bartoszknowunity

Potęgi to nieodłączny element matematyki, który pozwala nam zapisywać wielokrotne mnożenie tej samej liczby w zwięzły sposób. Poznanie reguł działań na potęgach pomoże Ci szybciej rozwiązywać zadania i zrozumieć wiele zagadnień matematycznych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Mnożenie potęg o tych samych podstawach

Zapamiętaj zasadę: Gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. Możemy to zapisać wzorem: $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$ . Na przykład: $5 \cdot 5^3 = 5^{1+3} = 5^4$ .

Ta reguła działa dla dowolnych potęg o takich samych podstawach. Działa tak, ponieważ mnożenie potęg to tak naprawdę łączenie wszystkich czynników razem.

💡 Wskazówka: Wyobraź sobie, że potęga to pewna liczba pudełek, w których jest ta sama rzecz. Mnożenie potęg to po prostu zliczanie wszystkich pudełek razem!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dzielenie potęg i potęgowanie potęg

Gdy dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki. Wzór wygląda tak: $a^b : a^c = a^{b-c}$ . Na przykład: $\frac{3^7}{3^5} = 3^{7-5} = 3^2$ lub $5^3:5 = 5^{3-1}= 5^2$ .

💡 Pamiętaj: Te reguły działają tylko wtedy, gdy podstawy potęg są takie same! Nie możesz na przykład dodać wykładników w $2^3 \cdot 3^2$ .

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ćwiczenia z potęgami o tych samych podstawach

Teraz czas zastosować poznane zasady w praktyce! Na karcie pracy znajdziesz zadania, które pomogą Ci utrwalić umiejętność upraszczania wyrażeń z potęgami.

W pierwszym zadaniu musisz zapisać wyrażenia w postaci jednej potęgi. Pamiętaj o regułach:

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, dodaj wykładniki $np. $3^3 \cdot 3^2 = 3^{3+2} = 3^5$$
Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie, odejmij wykładniki $np. $6^9: 6^7 = 6^{9-7} = 6^2$$
Przy potęgowaniu potęgi, pomnóż wykładniki $np. $(3^3)^5 = 3^{3 \cdot 5} = 3^{15}$$

W drugim zadaniu musisz obliczyć wartości wyrażeń. Wykonaj działania w odpowiedniej kolejności i sprawdź, czy wyniki są równe.

💡 Mała podpowiedź: Pamiętaj, że $10^0 = 1$ i $10^1 = 10$ . Te wartości często pojawiają się w zadaniach i warto je znać na pamięć!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Obliczanie Średniej Arytmetycznej

Praktyczne zadania dotyczące obliczania średniej arytmetycznej oraz mediany. Zawiera przykłady z liczbami, temperaturami oraz wagami zwierząt. Idealne dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki.

Matematyka

Statystyka: Średnia i Mediana

Zrozum podstawowe pojęcia statystyki, takie jak średnia arytmetyczna, mediana, dominanta, odchylenie standardowe oraz wariancja. Ta prezentacja wyjaśnia, jak obliczać te wartości oraz ich znaczenie w analizie danych. Idealna dla studentów matematyki i statystyki.

Matematyka

Czworokąty i Kąty

Zgłębiaj właściwości czworokątów, kąty, trójkąty oraz pola wielokątów foremnych. Obejmuje kluczowe wzory, zasady konstrukcji oraz zadania do samodzielnego rozwiązania, idealne dla uczniów klasy 7. Doskonałe materiały do nauki geometrii.

Matematyka

Podstawy Statystyki

Zrozumienie kluczowych pojęć statystyki, takich jak rozstęp, średnia arytmetyczna, mediana i moda. Obejmuje różne metody przedstawiania danych, w tym tabele i diagramy. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu ósmoklasisty.

Matematyka

Analiza Statystyki Opisowej

Zrozumienie statystyki opisowej poprzez analizę danych, obliczanie średniej oraz interpretację wykresów i diagramów. Materiał obejmuje przykłady z życia codziennego, w tym populację miast w Polsce oraz wydatki gospodarstw domowych. Idealne dla uczniów i studentów przygotowujących się do egzaminów z matematyki i statystyki.

Matematyka

Podobne notatki

Średnia arytmetyczna

1288

Średnia Arytmetyczna

2210

Geometria klasa 7 dział 3

1472

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS