•

Zaktualizowano Apr 3, 2026

•

3 strony

Planimetria – Podstawy i Notatki Dla Klasy 2

Patrycja Machoń

@patrycjamachon

Planimetria to fascynująca część geometrii, która zajmuje się badaniem figur... Pokaż więcej

1 / 3

$# PLANIMETRIA OKRĄG I KOŁO 1. Stosunek długości okręgu do jego średnicy jest stały $\frac{długość\ okręgu}{średnica} = \frac{2\pi r}{2r}$

Okrąg i koło - podstawowe własności

Stosunek długości okręgu do jego średnicy zawsze wynosi dokładnie π (pi). Dlatego obwód okręgu możemy łatwo obliczyć jako 2πr, gdzie r to promień okręgu.

Ważnym pojęciem jest kąt środkowy - to taki kąt, którego wierzchołek znajduje się dokładnie w środku okręgu. Gdy znasz miarę kąta środkowego, możesz obliczyć długość łuku, który on wyznacza, używając wzoru: L = (α/360°) · 2πr, gdzie α to miara kąta środkowego w stopniach.

Podobnie wyliczysz pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy: P = (α/360°) · πr². Pamiętaj, że pole całego koła wynosi πr².

💡 Gdy dwa okręgi się stykają, odległość między ich środkami ma szczególne własności. Przy styku zewnętrznym jest równa sumie promieni $|O₁O₂| = r₁ + r₂$ , a przy styku wewnętrznym - różnicy promieni $|O₁O₂| = |r₁ - r₂|$ .

Dwa okręgi mogą być względem siebie ułożone na różne sposoby: jako styczne (zewnętrznie lub wewnętrznie), przecinające się lub rozłączne (zewnętrznie lub wewnętrznie). Sposób ułożenia możesz określić porównując odległość między środkami okręgów z sumą lub różnicą ich promieni.

$# PLANIMETRIA OKRĄG I KOŁO 1. Stosunek długości okręgu do jego średnicy jest stały $\frac{długość\ okręgu}{średnica} = \frac{2\pi r}{2r}$

Kąty w okręgu i okręgi opisane

Kąt wpisany w okrąg to taki, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg (są cięciwami). Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają taką samą miarę - to super pomocna własność!

Jeśli kąt wpisany jest oparty na średnicy (czyli na półokręgu), to zawsze jest to kąt prosty. A gdy masz dwa kąty wpisane w okrąg, to suma ich miar wynosi 180°.

Każdy trójkąt można wpisać w okrąg. Promień okręgu opisanego na trójkącie możesz obliczyć na dwa sposoby: R = a/(2·sin α) lub R = abc/(4P), gdzie a, b, c to boki trójkąta, α to kąt naprzeciwko boku a, a P to pole trójkąta.

⚠️ Zapamiętaj: jeśli trójkąt jest oparty na średnicy okręgu, to musi być trójkątem prostokątnym. Ta zasada działa też w drugą stronę!

Dla trójkąta równobocznego o boku a, promień okręgu opisanego wynosi R = a√3/3. To warto zapamiętać, bo często pojawia się na sprawdzianach.

$# PLANIMETRIA OKRĄG I KOŁO 1. Stosunek długości okręgu do jego średnicy jest stały $\frac{długość\ okręgu}{średnica} = \frac{2\pi r}{2r}$

Okręgi wpisane i wielokąty foremne

Środek okręgu opisanego na trójkącie znajdziesz, rysując symetralne boków trójkąta (czyli proste prostopadłe do boków, przechodzące przez ich środki). Punkt przecięcia symetralnych to właśnie środek szukanego okręgu.

W okrąg też można wpisać trójkąt. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a wynosi r = a√3/6, a dla trójkąta prostokątnego r = $a+b-c$ /2, gdzie c to długość przeciwprostokątnej.

Wielokąty foremne mają szereg fascynujących własności. Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach wynosi $n-2$ ·180°. Warto zapamiętać wzory na pole dla najpopularniejszych wielokątów foremnych:

sześciokąt: P = 3a²√3/2
ośmiokąt: P = 2(1+√2)a²
dwunastokąt: P = 3a²(2+√3)

💡 Twierdzenia sinusów i cosinusów to potężne narzędzia do rozwiązywania trójkątów! Twierdzenie sinusów mówi, że a/sin α = b/sin β = c/sin γ, a twierdzenie cosinusów pozwala obliczyć bok, gdy znasz dwa pozostałe boki i kąt między nimi.

W trójkącie każdy bok podniesiony do kwadratu można wyrazić przez dwa pozostałe boki i cosinus kąta między nimi, np.: a² = b² + c² - 2bc·cos α. To uogólnienie twierdzenia Pitagorasa!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.

Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

Matematyka

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - NOTATKA POWTARZAJĄCA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Matematyka

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Notatka ciągi, ciąg arytmetyczny i geometryczny - najważniejsze wzory i informacje

Matematyka

Analiza Funkcji Liniowej

Zrozumienie funkcji liniowej: definicje, wykresy, miejsca zerowe oraz monotoniczność. Dowiedz się, jak przesuwać wykresy funkcji i jakie są różne formy prezentacji funkcji matematycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

Matematyka

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Zrozumienie jednomianów, redukcji wyrazów podobnych oraz mnożenia sum algebraicznych. Przykłady obliczeń i zastosowań wyrażeń algebraicznych dla uczniów klasy 7. Idealne dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki.

Matematyka

Algebraiczne Wyrażenia i Obliczenia

Zrozumienie wyrażeń algebraicznych: obliczanie wartości, redukcja wyrazów podobnych, działania na sumach, mnożenie i dzielenie przez liczby oraz mnożenie sum przez jednomiany. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.

Planimetria – Podstawy i Notatki Dla Klasy 2

Okrąg i koło - podstawowe własności

Kąty w okręgu i okręgi opisane

Okręgi wpisane i wielokąty foremne

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Geometria Figur Płaszczyzny

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Analiza Funkcji Liniowej

Wzory Matematyczne na Egzamin

Wzory Graniastosłupów

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Algebraiczne Wyrażenia i Obliczenia

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Analiza Lalki Prusa

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Analiza 'Lalki' Prusa

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Wesele: Analiza Symboli

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Kluczowe Aspekty Romantyzmu

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

4.7/5

Planimetria – Podstawy i Notatki Dla Klasy 2

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Okrąg i koło - podstawowe własności

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Kąty w okręgu i okręgi opisane

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Okręgi wpisane i wielokąty foremne

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Geometria Figur Płaszczyzny

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Analiza Funkcji Liniowej

Wzory Matematyczne na Egzamin

Wzory Graniastosłupów

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Algebraiczne Wyrażenia i Obliczenia

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Analiza Lalki Prusa

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Analiza 'Lalki' Prusa

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Wesele: Analiza Symboli

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Kluczowe Aspekty Romantyzmu

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

4.7/5