Potęgi i Pierwiastki: Matematyka na Co Dzień

Patrycja Kowalska

25.11.2025

Matematyka

Potęgi i pierwiastki

Przedmioty

Matematyka

Liczby i działania

Potęgi i pierwiastki

Podnoszenie potęg do potęgi

1804

•

25 lis 2025

•

4 strony

Potęgi i Pierwiastki: Matematyka na Co Dzień

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

Patrycja Kowalska

@atrycjaowalska_b8x1q

Potęgi i pierwiastki to kluczowe zagadnienia matematyczne, które pomogą Ci... Pokaż więcej

1 / 4

potęgi i pierwiastki
■zależność pierwiastek - potęga
wykładnik potęgi stopień piernas the
podstawa potęgi
c
symbol pievastha
a² = b + √b² =

Podstawowe zasady potęg i pierwiastków

Potęgi i pierwiastki są ze sobą ściśle powiązane. Jeśli $a^c = b$ , to $\sqrt[c]{b} = a$ . W potędze mamy podstawę potęgi i wykładnik potęgi, a w pierwiastku - stopień pierwiastka i liczbę pierwiastkowaną.

Warto zapamiętać kilka podstawowych zasad. Każda liczba (oprócz zera) podniesiona do potęgi zerowej daje wynik 1: $a^0 = 1$ . Z kolei każda liczba podniesiona do potęgi pierwszej pozostaje bez zmian: $a^1 = a$ .

Gdy mamy do czynienia z potęgą o wykładniku ujemnym, zamieniamy ją na ułamek: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Natomiast potęga o wykładniku wymiernym $a^{\frac{m}{n}}$ jest równa pierwiastkowi: $\sqrt[n]{a^m}$ .

💡 Wskazówka: Pamiętaj, że przejście od potęgi do pierwiastka (i odwrotnie) to umiejętność, która przyda Ci się przy upraszczaniu wyrażeń algebraicznych i rozwiązywaniu równań!

Działania na potęgach

Potęgi o wykładniku ujemnym możemy zapisać jako $a^{-n} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$ . Taki zapis pomoże Ci w obliczeniach, gdy napotkasz ujemne wykładniki.

Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach wystarczy dodać wykładniki: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ . Natomiast przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach wykładniki odejmujemy: $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ .

Jeśli chcesz pomnożyć potęgi o tych samych wykładnikach, możesz skorzystać ze wzoru $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ . Podobnie przy dzieleniu: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$ .

🔑 Ważne: Te wzory znacznie przyspieszą Twoje obliczenia! Zamiast rozpisywać całe potęgi, możesz od razu zastosować odpowiedni wzór i zaoszczędzić czas na sprawdzianie.

Działania na pierwiastkach

Pierwiastki można mnożyć według zasady: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ . Podobnie przy dzieleniu pierwiastków stosujemy wzór: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ .

Pamiętaj, że przy potęgowaniu pierwiastków kwadratowych do kwadratu otrzymujemy wartość bezwzględną: $\sqrt{a^2} = |a|$ . Z kolei dla pierwiastków sześciennych mamy: $\sqrt[3]{a^3} = a$ (bez wartości bezwzględnej).

Gdy mamy pierwiastek z pierwiastka, korzystamy z wzoru: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a^r}} = \sqrt[nm]{a^r}$ . Jeśli natomiast napotykamy pierwiastek o stopniu ujemnym, zamieniamy go: $-\sqrt[q]{a^m} = \frac{1}{\sqrt[q]{a^m}}$ .

⚡ Sprytny trik: Gdy widzisz skomplikowane wyrażenie z wieloma pierwiastkami, zastanów się, czy można je uprościć mnożąc lub dzieląc pierwiastki. Często pozwala to znacznie uprosić obliczenia!

Pierwiastki o nietypowych stopniach

Pierwiastek o stopniu wymiernym można przekształcić według wzoru: $\sqrt[m]{a^r} = \sqrt[m]{a^{r \cdot m}}$ . Ten wzór pomaga upraszczać złożone wyrażenia z pierwiastkami.

Jeśli masz do czynienia z pierwiastkiem o stopniu wymiernym ujemnym, możesz go zapisać jako: $\sqrt[{-m}]{a^r} = \frac{1}{\sqrt[m]{a^{r \cdot m}}}$ . Jest to połączenie reguły dla ujemnego stopnia i wymiernego stopnia pierwiastka.

📝 Zapamiętaj: Każdy pierwiastek o nietypowym stopniu można przekształcić do postaci łatwiejszej do obliczenia. Dzięki temu nawet skomplikowane wyrażenia z pierwiastkami stają się proste do rozwiązania!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Potęgi

762

Potęgi

1249

Potęga o wykładniku naturalnym

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Liczby i działania

Potęgi i pierwiastki

Podnoszenie potęg do potęgi

Matematyka

•

1804

•

25 lis 2025

•

4 strony

Potęgi i Pierwiastki: Matematyka na Co Dzień

Patrycja Kowalska

@atrycjaowalska_b8x1q

Potęgi i pierwiastki to kluczowe zagadnienia matematyczne, które pomogą Ci wykonywać obliczenia w bardziej efektywny sposób. Dowiesz się, jak działają te operacje i jak stosować wzory, które znacznie ułatwią rozwiązywanie zadań.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe zasady potęg i pierwiastków

💡 Wskazówka: Pamiętaj, że przejście od potęgi do pierwiastka (i odwrotnie) to umiejętność, która przyda Ci się przy upraszczaniu wyrażeń algebraicznych i rozwiązywaniu równań!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Działania na potęgach

Potęgi o wykładniku ujemnym możemy zapisać jako $a^{-n} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$ . Taki zapis pomoże Ci w obliczeniach, gdy napotkasz ujemne wykładniki.

Jeśli chcesz pomnożyć potęgi o tych samych wykładnikach, możesz skorzystać ze wzoru $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ . Podobnie przy dzieleniu: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$ .

🔑 Ważne: Te wzory znacznie przyspieszą Twoje obliczenia! Zamiast rozpisywać całe potęgi, możesz od razu zastosować odpowiedni wzór i zaoszczędzić czas na sprawdzianie.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Działania na pierwiastkach

Pierwiastki można mnożyć według zasady: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ . Podobnie przy dzieleniu pierwiastków stosujemy wzór: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ .

⚡ Sprytny trik: Gdy widzisz skomplikowane wyrażenie z wieloma pierwiastkami, zastanów się, czy można je uprościć mnożąc lub dzieląc pierwiastki. Często pozwala to znacznie uprosić obliczenia!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Pierwiastki o nietypowych stopniach

Pierwiastek o stopniu wymiernym można przekształcić według wzoru: $\sqrt[m]{a^r} = \sqrt[m]{a^{r \cdot m}}$ . Ten wzór pomaga upraszczać złożone wyrażenia z pierwiastkami.

📝 Zapamiętaj: Każdy pierwiastek o nietypowym stopniu można przekształcić do postaci łatwiejszej do obliczenia. Dzięki temu nawet skomplikowane wyrażenia z pierwiastkami stają się proste do rozwiązania!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Potęgi i Notacja Wykładnicza

Zrozumienie potęg i notacji wykładniczej w matematyce. Dowiedz się, jak wykonywać działania na potęgach oraz jak stosować notację wykładniczą do dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Idealne dla uczniów klasy 8, którzy chcą pogłębić swoją wiedzę na temat potęg i ich zastosowań.

Matematyka

Notacja Wykładnicza i Potęgi

Zrozumienie notacji wykładniczej oraz zasad potęgowania. Dowiedz się, jak skracać zapis dużych liczb i poznaj właściwości potęg. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Tematy obejmują potęgi, notację wykładniczą oraz działania na potęgach.

Matematyka

Potęga o wykładniku naturalnym

Temat z podręcznika "matematyka w punkt" z wydawnictwa WSiP

Matematyka

Potęgi i Pierwiastki: Kluczowe Zasady

Zrozumienie potęg i pierwiastków jest kluczowe w matematyce. Ten materiał omawia operacje na potęgach, notację wykładniczą, usuwanie niewymierności z mianownika oraz zasady dotyczące pierwiastków. Idealny dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Typ: Podsumowanie.

Matematyka

Działania na potęgach i pierwiastkach

Matematyka - działania na potęgach i pierwiastkach. Szkoła średnia

Matematyka

Reguły Podzielności

Zrozumienie reguł podzielności oraz największego wspólnego dzielnika (NWD) i najmniejszego wspólnego wielokrotności (NWW). Materiał zawiera przykłady obliczeń oraz szczegółowe omówienie czynników pierwszych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu ósmoklasisty.

Matematyka

Podobne notatki

Potęgi

762

Potęgi

1249

Potęga o wykładniku naturalnym

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS