Układ równań — metoda podstawienia: instrukcja krok po kroku i przykłady

Zuzanna Hyży@zuaaazaa

Dodaj do źródeł Google

Układy równań liniowych potrafią wyglądać groźnie, zwłaszcza gdy roi się...

1 / 4

of 4

Wykonywanie układu równań metodą podstawienia – strona 1

Metoda podstawienia

Wyznaczanie i podstawianie

Metoda polega na obliczeniu jednej zmiennej i wstawieniu jej do drugiego równania.

Wyznaczenie: wybierz najprostszą zmienną, np. $x$ z równania $x + 5y = 7 \implies x = 7 - 5y$ .
Podstawienie: wstaw to wyrażenie w miejsce $x$ w drugim równaniu.

Beispiel: $\begin{cases} x = 7 - 5y \\ 3x - 2y = 4 \end{cases} \implies 3(7 - 5y) - 2y = 4$

💡 Wskazówka: Wyznaczaj zawsze tę zmienną, która stoi samodzielnie (ma współczynnik $1$ lub $-1$ ), aby uniknąć ułamków już na starcie.

of 4

Wykonywanie układu równań metodą podstawienia – strona 2

Upraszczanie równań

Pozbywanie się nawiasów

Zanim zaczniesz podstawiać, maksymalnie uprość oba równania składowe.

Mnożenie: wymnóż liczby stojące przed nawiasami przez każdy element w środku.
Redukcja: uporządkuj wyrażenia i zredukuj wyrazy podobne po obu stronach.

Beispiel: $4(3x + y) = 12x + 4y$

💡 Wskazówka: Uważaj na minus przed nawiasem – zmienia on znaki wszystkich wyrazów wewnątrz na przeciwne.

of 4

Wykonywanie układu równań metodą podstawienia – strona 3

Trudniejsze przypadki

Układy z ułamkami

Ułamki w równaniach najłatwiej usunąć poprzez obustronne pomnożenie.

Mnożenie przez mianownik: pomnóż całe równanie przez najmniejszy wspólny mianownik.
Skracanie: zapisz równanie już bez ułamków i rozwiąż klasycznie.

Beispiel: $\frac{2x-3y}{3} - \frac{x+3y}{6} = x - 4y \quad | \cdot 6 \implies 2(2x-3y) - (x+3y) = 6(x-4y)$

💡 Wskazówka: Mnożąc ułamek z licznikiem dwumianowym, zawsze bierz cały licznik w nawias, by nie zgubić znaków.

of 4

Wykonywanie układu równań metodą podstawienia – strona 4

Przekształcenia kwadratowe

Usuwanie wzorów skróconego mnożenia

Nawet jeśli w równaniu pojawi się kwadrat, często ulega on redukcji.

Rozwijanie: rozpisz nawiasy używając wzorów skróconego mnożenia lub mnożąc każdy wyraz przez każdy.
Redukcja kwadratów: elementy typu $x^2$ zazwyczaj skracają się po przeniesieniu na jedną stronę.

Beispiel: $(x-y)^2 + x = x(x-y) - y(x-y) \implies x^2-2xy+y^2+x = x^2-2xy+y^2$ (kwadraty się redukują).

💡 Wskazówka: Jeśli po uproszczeniu nie znikną wyrazy drugiego stopnia (np. $x^2$ ), sprawdź, czy nie popełniłeś błędu w obliczeniach.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.