Ciąg geometryczny to jeden z najważniejszych typów ciągów matematycznych, w...
Matematyka2723 wyświetleń·Zaktualizowano 22 lip 2026·9 stronyCiąg geometryczny: definicja, wzory i suma wyrazów
Patii 🌸@patiik
1 / 9
1
of 9
Wzory podstawowe ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny ma prosty wzór ogólny: an = a₁q^, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a q to iloraz ciągu. Ten wzór to twój klucz do rozwiązywania większości zadań.
Iloraz ciągu obliczasz dzieląc dowolny wyraz przez poprzedni: q = an+1/an. To stała wartość dla całego ciągu geometrycznego.
Bardzo przydatny jest wzór dla średnich wyrazów: (an)² = an-1 · an+1. Używaj go, gdy masz trzy kolejne wyrazy i musisz znaleźć jeden z nich.
Wskazówka: Zawsze sprawdzaj swoje obliczenia podstawiając wyniki z powrotem do wzoru!
2
of 9
Obliczanie konkretnych wyrazów
Gdy masz podane pierwsze wyrazy ciągu, łatwo znajdziesz iloraz q dzieląc drugi przez pierwszy. Na przykład dla ciągu -1, 2, -4: q = 2/ = -2.
Siódmy wyraz obliczysz ze wzoru: a₇ = a₁ · q⁶ = · ⁶ = -64. Zwróć uwagę, że wykładnik to zawsze n-1!
Gdy iloraz wynosi -1, ciąg na przemian zmienia znaki. Dla n parzystego otrzymasz wartość dodatnią, dla nieparzystego - ujemną.
Ważne: Uważaj na znaki! Potęga nieparzysta liczby ujemnej daje wynik ujemny.
3
of 9
Znajdowanie nieznanych wyrazów
Gdy szukasz środkowego wyrazu w trzech kolejnych wyrazach ciągu geometrycznego, użyj wzoru (an)² = an-1 · an+1. To najszybszy sposób!
Dla liczb ½, -3, x+10: ² = ½ · , więc 9 = ½x + 5, skąd x = 8.
Czasem równanie ma dwa rozwiązania - jak dla liczb 4, x-5, 36. Po rozłożeniu na równanie kwadratowe otrzymasz x = -7 lub x = 17.
Sprawdzaj: Podstaw znalezione wartości z powrotem do wzoru, żeby upewnić się, że są poprawne!
4
of 9
Określanie numeru wyrazu i wzoru ogólnego
Żeby sprawdzić, którym wyrazem jest dana liczba, podstaw ją do wzoru ogólnego i rozwiąż równanie. Dla ciągu 48, 24, 12... i liczby 3/8 otrzymasz n = 8.
Gdy znasz dwa różne wyrazy (np. a₃ i a₆), możesz wyznaczyć wzór ogólny całego ciągu. Podziel jeden przez drugi, żeby znaleźć odpowiednią potęgę ilorazu.
Z równania a₆/a₃ = q³ łatwo obliczysz iloraz, a potem pierwszy wyraz podstawiając do dowolnego znanego wyrazu.
Tip: Zawsze sprawdzaj, czy twój wzór daje poprawne wartości dla znanych wyrazów!
5
of 9
Suma wyrazów i własności ciągu
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego ma wzór: Sn = a₁/ dla q ≠ 1. Gdy q = 1, suma to po prostu n · a₁.
Ciąg geometryczny może być rosnący, malejący, stały lub niemonotoniczny - zależy to od znaku pierwszego wyrazu i wartości ilorazu.
Gdy q < 0, ciąg jest niemonotoniczny (na przemian rośnie i maleje). To ważne przy analizie zachowania ciągu.
Pamiętaj: Wzór na sumę działa tylko gdy q ≠ 1. Dla q = 1 wszystkie wyrazy są równe!
6
of 9
Układy równań z ciągami geometrycznymi
Gdy masz układ równań z sumami różnych wyrazów, wyciągnij wspólny czynnik przed nawias. Na przykład: a₁ + a₃ = a₁.
Dzieląc odpowiednie równania przez siebie, często skracają się niewiadome i zostaje proste równanie na iloraz q.
Po znalezieniu q i a₁ możesz obliczyć dowolny wyraz ciągu oraz sprawdzić, które zdania o ciągu są prawdziwe lub fałszywe.
Strategia: Zawsze próbuj wyciągnąć wspólne czynniki - znacznie uprości to obliczenia!
7
of 9
Zaawansowane obliczenia sum
Gdy znasz dwa niebędące obok siebie wyrazy (jak a₃ i a₅), musisz rozwiązać układ równań. Wyraź oba przez a₁ i odpowiednie potęgi q.
Z ilorazu równań otrzymasz potęgę ilorazu, a stamtąd sam iloraz. Czasem będziesz mieć dwa możliwe rozwiązania dla q.
Suma dziesięciu wyrazów może wyglądać skomplikowanie, ale po podstawieniu do wzoru Sn = a₁/ wszystko się ułoży.
Uwaga: Przy ułamkach i potęgach uważnie wykonuj obliczenia - łatwo o błąd rachunkowy!
8
of 9
Praktyczne zastosowania i rozpoznawanie ciągów
Suma konkretnych wyrazów jak ¹⁄₇ + ²⁄₇ + ⁴⁄₇ + ... + ²⁵⁶⁄₇ to typowe zadanie maturalne. Znajdź iloraz, określ liczbę wyrazów, zastosuj wzór na sumę.
Żeby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, użyj wzoru (an)² = an-1 · an+1. Jeśli równość nie zachodzi, ciąg nie jest geometryczny.
Dla ciągu 1, 2, 6 mamy: 2² ≠ 1 · 6, więc to nie jest ciąg geometryczny. Proste sprawdzenie oszczędza czas!
Praktyczny tip: Zawsze sprawdzaj wzór dla środkowych wyrazów - to najszybszy sposób weryfikacji!
9
of 9
Dodatkowe zadania z ilorazem
Znajdowanie ilorazu ciągu gdy znasz pierwszy i piąty wyraz wymaga rozwiązania równania a₅ = a₁ · q⁴. Wystarczy podzielić a₅ przez a₁ i wyciągnąć pierwiastek czwartego stopnia.
Czasem zadania mogą wyglądać na skomplikowane z powodu ułamków dziesiętnych lub zwykłych, ale zasada pozostaje ta sama - zawsze używaj wzoru ogólnego.
Pamiętaj, że iloraz może być dodatni, ujemny, większy lub mniejszy od 1 - każdy przypadek ma swoje konsekwencje dla zachowania ciągu.
Ostatnia rada: Ćwicz systematycznie różne typy zadań - ciągi geometryczne to podstawa matury!
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: szereg geometryczny
3MatematykaCiągi Liczbowe i Ich Właściwości
Zrozumienie ciągów liczbowych, w tym ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Dowiedz się o ich monotoniczności, wzorach oraz sumach szeregów geometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
310,879239
MatematykaCiągi Matematyczne
Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych, ich granic oraz zbieżności. Dowiedz się o wzorach na sumy ciągów oraz zastosowaniach w finansach, takich jak procent prosty i składany. Idealne dla studentów matematyki i ekonomii.
34,254128
MatematykaWzory Ciągu Geometrycznego
Odkryj kluczowe wzory i zasady dotyczące ciągów geometrycznych, w tym ogólną formułę, obliczanie sumy n początkowych wyrazów oraz zastosowanie procentu składanego. Idealne dla uczniów matematyki szukających zrozumienia tego tematu.
45,71053
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3840
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4190
MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
860,4115,675
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6560
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6300
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1470
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
51,8584
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
45,4063
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
44,0182
W
Język polskiWprowadzenie do lektury Zemsta
Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.
85,9840
Q
Język polskiQuiz-Dziady cz.2
Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!
83,6012
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8044
Język polskiPolski e8
Egzamin ósmoklasisty
88,681377
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0340
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS
Matematyka2723 wyświetleń·Zaktualizowano 22 lip 2026·9 stronyCiąg geometryczny: definicja, wzory i suma wyrazów
Patii 🌸@patiik
Ciąg geometryczny to jeden z najważniejszych typów ciągów matematycznych, w którym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę zwaną ilorazem. To podstawa wielu zadań maturalnych!
1
of 9
Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Wzory podstawowe ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny ma prosty wzór ogólny: an = a₁q^, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a q to iloraz ciągu. Ten wzór to twój klucz do rozwiązywania większości zadań.
Iloraz ciągu obliczasz dzieląc dowolny wyraz przez poprzedni: q = an+1/an. To stała wartość dla całego ciągu geometrycznego.
Bardzo przydatny jest wzór dla średnich wyrazów: (an)² = an-1 · an+1. Używaj go, gdy masz trzy kolejne wyrazy i musisz znaleźć jeden z nich.
Wskazówka: Zawsze sprawdzaj swoje obliczenia podstawiając wyniki z powrotem do wzoru!
2
of 9Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Obliczanie konkretnych wyrazów
Gdy masz podane pierwsze wyrazy ciągu, łatwo znajdziesz iloraz q dzieląc drugi przez pierwszy. Na przykład dla ciągu -1, 2, -4: q = 2/ = -2.
Siódmy wyraz obliczysz ze wzoru: a₇ = a₁ · q⁶ = · ⁶ = -64. Zwróć uwagę, że wykładnik to zawsze n-1!
Gdy iloraz wynosi -1, ciąg na przemian zmienia znaki. Dla n parzystego otrzymasz wartość dodatnią, dla nieparzystego - ujemną.
Ważne: Uważaj na znaki! Potęga nieparzysta liczby ujemnej daje wynik ujemny.
3
of 9Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Znajdowanie nieznanych wyrazów
Gdy szukasz środkowego wyrazu w trzech kolejnych wyrazach ciągu geometrycznego, użyj wzoru (an)² = an-1 · an+1. To najszybszy sposób!
Dla liczb ½, -3, x+10: ² = ½ · , więc 9 = ½x + 5, skąd x = 8.
Czasem równanie ma dwa rozwiązania - jak dla liczb 4, x-5, 36. Po rozłożeniu na równanie kwadratowe otrzymasz x = -7 lub x = 17.
Sprawdzaj: Podstaw znalezione wartości z powrotem do wzoru, żeby upewnić się, że są poprawne!
4
of 9Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Określanie numeru wyrazu i wzoru ogólnego
Żeby sprawdzić, którym wyrazem jest dana liczba, podstaw ją do wzoru ogólnego i rozwiąż równanie. Dla ciągu 48, 24, 12... i liczby 3/8 otrzymasz n = 8.
Gdy znasz dwa różne wyrazy (np. a₃ i a₆), możesz wyznaczyć wzór ogólny całego ciągu. Podziel jeden przez drugi, żeby znaleźć odpowiednią potęgę ilorazu.
Z równania a₆/a₃ = q³ łatwo obliczysz iloraz, a potem pierwszy wyraz podstawiając do dowolnego znanego wyrazu.
Tip: Zawsze sprawdzaj, czy twój wzór daje poprawne wartości dla znanych wyrazów!
5
of 9Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Suma wyrazów i własności ciągu
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego ma wzór: Sn = a₁/ dla q ≠ 1. Gdy q = 1, suma to po prostu n · a₁.
Ciąg geometryczny może być rosnący, malejący, stały lub niemonotoniczny - zależy to od znaku pierwszego wyrazu i wartości ilorazu.
Gdy q < 0, ciąg jest niemonotoniczny (na przemian rośnie i maleje). To ważne przy analizie zachowania ciągu.
Pamiętaj: Wzór na sumę działa tylko gdy q ≠ 1. Dla q = 1 wszystkie wyrazy są równe!
6
of 9Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Układy równań z ciągami geometrycznymi
Gdy masz układ równań z sumami różnych wyrazów, wyciągnij wspólny czynnik przed nawias. Na przykład: a₁ + a₃ = a₁.
Dzieląc odpowiednie równania przez siebie, często skracają się niewiadome i zostaje proste równanie na iloraz q.
Po znalezieniu q i a₁ możesz obliczyć dowolny wyraz ciągu oraz sprawdzić, które zdania o ciągu są prawdziwe lub fałszywe.
Strategia: Zawsze próbuj wyciągnąć wspólne czynniki - znacznie uprości to obliczenia!
7
of 9Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Zaawansowane obliczenia sum
Gdy znasz dwa niebędące obok siebie wyrazy (jak a₃ i a₅), musisz rozwiązać układ równań. Wyraź oba przez a₁ i odpowiednie potęgi q.
Z ilorazu równań otrzymasz potęgę ilorazu, a stamtąd sam iloraz. Czasem będziesz mieć dwa możliwe rozwiązania dla q.
Suma dziesięciu wyrazów może wyglądać skomplikowanie, ale po podstawieniu do wzoru Sn = a₁/ wszystko się ułoży.
Uwaga: Przy ułamkach i potęgach uważnie wykonuj obliczenia - łatwo o błąd rachunkowy!
8
of 9Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Praktyczne zastosowania i rozpoznawanie ciągów
Suma konkretnych wyrazów jak ¹⁄₇ + ²⁄₇ + ⁴⁄₇ + ... + ²⁵⁶⁄₇ to typowe zadanie maturalne. Znajdź iloraz, określ liczbę wyrazów, zastosuj wzór na sumę.
Żeby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, użyj wzoru (an)² = an-1 · an+1. Jeśli równość nie zachodzi, ciąg nie jest geometryczny.
Dla ciągu 1, 2, 6 mamy: 2² ≠ 1 · 6, więc to nie jest ciąg geometryczny. Proste sprawdzenie oszczędza czas!
Praktyczny tip: Zawsze sprawdzaj wzór dla środkowych wyrazów - to najszybszy sposób weryfikacji!
9
of 9Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Dodatkowe zadania z ilorazem
Znajdowanie ilorazu ciągu gdy znasz pierwszy i piąty wyraz wymaga rozwiązania równania a₅ = a₁ · q⁴. Wystarczy podzielić a₅ przez a₁ i wyciągnąć pierwiastek czwartego stopnia.
Czasem zadania mogą wyglądać na skomplikowane z powodu ułamków dziesiętnych lub zwykłych, ale zasada pozostaje ta sama - zawsze używaj wzoru ogólnego.
Pamiętaj, że iloraz może być dodatni, ujemny, większy lub mniejszy od 1 - każdy przypadek ma swoje konsekwencje dla zachowania ciągu.
Ostatnia rada: Ćwicz systematycznie różne typy zadań - ciągi geometryczne to podstawa matury!
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: szereg geometryczny
3MatematykaCiągi Liczbowe i Ich Właściwości
Zrozumienie ciągów liczbowych, w tym ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Dowiedz się o ich monotoniczności, wzorach oraz sumach szeregów geometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
310,879239
MatematykaCiągi Matematyczne
Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych, ich granic oraz zbieżności. Dowiedz się o wzorach na sumy ciągów oraz zastosowaniach w finansach, takich jak procent prosty i składany. Idealne dla studentów matematyki i ekonomii.
34,254128
MatematykaWzory Ciągu Geometrycznego
Odkryj kluczowe wzory i zasady dotyczące ciągów geometrycznych, w tym ogólną formułę, obliczanie sumy n początkowych wyrazów oraz zastosowanie procentu składanego. Idealne dla uczniów matematyki szukających zrozumienia tego tematu.
45,71053
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3840
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4190
MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
860,4115,675
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6560
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6300
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1470
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
51,8584
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
45,4063
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
44,0182
W
Język polskiWprowadzenie do lektury Zemsta
Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.
85,9840
Q
Język polskiQuiz-Dziady cz.2
Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!
83,6012
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8044
Język polskiPolski e8
Egzamin ósmoklasisty
88,681377
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0340
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS