Matematyka

Działania na Wyrażeniach Wymiernych

Upraszczanie wyrażeń wymiernych

483

•

3 gru 2025

•

3 strony

Funkcja Homograficzna: Przewodnik Dla Początkujących

Patii 🌸

@patiik

Funkcje homograficzne to fascynujący dział matematyki z wykresem w kształcie... Pokaż więcej

1 / 3

$FUNKCJA HOMOGRAFICZNA wykresem f. homograficznej jest hiperbola, która przecina oś: y = \frac{Ax + B}{Cx + D} - OX w punkcie ( -\frac{D}{C},$

Charakterystyka funkcji homograficznej

Funkcja homograficzna ma postać y = $Ax + B$ / $Cx + D$ i jej wykresem jest hiperbola. Przecina ona oś OX w punkcie $-D/C, 0$ , a oś OY w punkcie $0, B/D$ . Co ciekawe, funkcja ta nie ma miejsc zerowych, chyba że przesuniemy ją o wektor.

Warto zapamiętać, że funkcja homograficzna jest malejąca gdy a > 0, a rosnąca gdy a < 0. Nie posiada wartości największej ani najmniejszej, bo jej wykres rozciąga się w nieskończoność!

Po przesunięciu funkcji homograficznej o wektor $p, q$ , otrzymujemy funkcję postaci y = a/ $x - p$ + q. Jej dziedzina to R{p}, a zbiór wartości to R{q}. Przy przekształceniach pamiętaj o zmianie znaku w wektorze, np. przy x - 3 - 7 wektor to $3, -7$ .

💡 Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań najpierw sprowadź funkcję do postaci y = a/ $x - p$ + q, a następnie odczytaj współczynniki i wektor przesunięcia!

Przykładowo, dla funkcji g(x) = $x + 4$ / $x + 4$ możemy przekształcić ją do g(x) = $x + 4 - 4$ / $x + 4$ + 1 = 1, gdzie a = -5, p = -1, q = 1, więc wektor przesunięcia to $-1, 1$ .

$FUNKCJA HOMOGRAFICZNA wykresem f. homograficznej jest hiperbola, która przecina oś: y = \frac{Ax + B}{Cx + D} - OX w punkcie ( -\frac{D}{C},$

Zadania z przesunięciami funkcji homograficznych

Kiedy mamy funkcję i informację o jej przesunięciu o wektor, możemy znaleźć nową funkcję. Na przykład, funkcja y = 1/x przesunięta o wektor $-4, 3$ daje funkcję h(x) = 1/ $x + 4$ + 3.

Dziedzina i zbiór wartości nowej funkcji wynikają z przesunięcia. Dla powyższego przykładu dziedzina to R{-4}, a zbiór wartości to R{3}. Funkcja jest malejąca w przedziałach (-∞,-4) i (-4,∞).

Przy sprawdzaniu czy punkt należy do wykresu funkcji, podstaw jego współrzędne do wzoru i sprawdź czy równość jest spełniona. Na przykład, dla punktu A(-9, 2⅔) i funkcji h(x) = 1/ $x + 4$ + 3, obliczamy: h(-9) = 1/(-9 + 4) + 3 = 1/(-5) + 3 = -1/5 + 3 = 2⅔.

🔍 Ważne: Aby znaleźć punkty wspólne wykresu funkcji homograficznej z inną funkcją (np. liniową), przyrównaj ich wzory i rozwiąż równanie, często kwadratowe!

Na przykład, aby znaleźć punkty wspólne h(x) = 1/ $x + 4$ + 3 i y = x + 7, rozwiązujemy równanie 1/ $x + 4$ + 3 = x + 7, co po przekształceniach daje x² + 8x + 15 = 0 i punkty (-5, 2) oraz (-3, 4).

$FUNKCJA HOMOGRAFICZNA wykresem f. homograficznej jest hiperbola, która przecina oś: y = \frac{Ax + B}{Cx + D} - OX w punkcie ( -\frac{D}{C},$

Rozwiązywanie zadań z funkcją homograficzną

Kiedy masz funkcję f(x) = -x + b/ $x - 5$ i wiesz, że przez jej wykres przechodzi punkt P(-3, 2), możesz obliczyć współczynnik b. Podstaw współrzędne punktu do wzoru funkcji:

f(-3) = -(-3) + b/(-3 - 5) = 3 + b/(-8) = 2

Po rozwiązaniu otrzymujesz: 3 - b/8 = 2, więc b = -8, a funkcja to f(x) = -x - 2/ $x - 5$ .

Funkcję homograficzną możemy przekształcić do postaci f(x) = -x - 2/ $x - 5$ = -x + $x - 5 - x + 3$ / $x - 5$ = -x + 1 - 2/ $x - 5$ . To pokazuje, że została ona przesunięta o wektor $5, -1$ .

🌟 Rada: Aby szybciej analizować funkcję homograficzną, sprowadź ją do postaci "bazowej" y = a/ $x - p$ + q - od razu zobaczysz asymptoty i przesunięcie!

Możesz narysować wykres takiej funkcji zaznaczając asymptoty $x = 5 i y = -1$ , kilka charakterystycznych punktów i szkicując dwie gałęzie hiperboli. Pamiętaj, że dla ujemnego współczynnika a funkcja jest rosnąca w swoich przedziałach dziedziny.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: Upraszczanie wyrażeń wymiernych

Analiza Funkcji Homograficznej

Zrozumienie funkcji homograficznych, ich właściwości oraz zastosowanie w analizie matematycznej. Materiał obejmuje definicje, przykłady oraz warunki istnienia funkcji wymiernych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Funkcja Homograficzna: Przewodnik Dla Początkujących

Charakterystyka funkcji homograficznej

Zadania z przesunięciami funkcji homograficznych

Rozwiązywanie zadań z funkcją homograficzną

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: Upraszczanie wyrażeń wymiernych

Analiza Funkcji Homograficznej

Matematyka, wyrażenia wymierne.

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Geometria Figur Płaszczyzny

Nierówności i Równania Kwadratowe

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Antyk: Filozofia i Mitologia

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Funkcja Homograficzna: Przewodnik Dla Początkujących

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Charakterystyka funkcji homograficznej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zadania z przesunięciami funkcji homograficznych

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Rozwiązywanie zadań z funkcją homograficzną

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: Upraszczanie wyrażeń wymiernych

Analiza Funkcji Homograficznej

Matematyka, wyrażenia wymierne.

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Geometria Figur Płaszczyzny

Nierówności i Równania Kwadratowe

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Antyk: Filozofia i Mitologia

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5