Funkcja homograficzna i jej podstawowe właściwości

Funkcja homograficzna ma postać kanoniczną $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, gdzie $c \neq 0$ oraz $ad - cb \neq 0$. Przykładem takiej funkcji może być $f(x) = \frac{3x-1}{x+5}$, gdzie $a = 3$, $b = -1$, $c = 1$ i $d = 5$.

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola. Najprostsza postać takiej funkcji to $y = \frac{a}{x}$. Bardziej ogólnie funkcję homograficzną możemy zapisać w postaci $f(x) = \frac{A}{x-p} + q$, gdzie:

• Dziedzina funkcji to $D_f = \mathbb{R} \setminus \{p\}$ (wszystkie liczby rzeczywiste poza punktem $p$)
• Zbiór wartości to $Z_u = \mathbb{R} \setminus \{q\}$ (wszystkie liczby rzeczywiste poza wartością $q$)

Aby narysować wykres funkcji homograficznej $f(x) = \frac{A}{x-p} + q$, należy wziąć podstawową hiperbolę $y = \frac{A}{x}$ i przesunąć ją o wektor $\vec{v} = [p, q]$. Znak współczynnika $A$ określa, w których ćwiartkach układu współrzędnych znajdzie się wykres.

💡 Wskazówka: Funkcję homograficzną zawsze można przekształcić do postaci $\frac{A}{x-p} + q$, co znacznie ułatwia analizę jej własności i rysowanie wykresu!

Przekształcanie funkcji homograficznej

Pracując z funkcjami homograficznymi, kluczową umiejętnością jest przekształcanie ich do postaci $f(x) = \frac{A}{x-p} + q$. Zobaczmy to na przykładach:

Przykład 1: $f(x) = \frac{2x+5}{x+3}$ Przekształcamy: $f(x) = \frac{2(x+3)-1}{x+3} = 2 + \frac{-1}{x+3}$ Zatem $A = -1$, $p = -3$ oraz $q = 2$. Dziedzina funkcji to $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

Przykład 2: $f(x) = \frac{-8x+6}{2x-1}$ Po przekształceniach otrzymujemy: $f(x) = -4 + \frac{-1}{x-\frac{1}{2}}$ Więc $A = -1$, $p = \frac{1}{2}$ oraz $q = -4$. Dziedzina funkcji to $D_f = \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\}$.

Pamiętaj, że znak współczynnika $A$ decyduje o położeniu gałęzi hiperboli - gdy $A < 0$, hiperbola znajduje się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

🔑 Ważne: Podczas przekształcania funkcji homograficznej stosuj metodę wyłączania wspólnego czynnika z licznika i mianownika, aby uzyskać składnik stały poza ułamkiem!