Funkcja liniowa to podstawowy typ funkcji matematycznej, która ma szerokie...
Matematyka192 wyświetleń·Zaktualizowano 23 lip 2026·2 stronyFunkcja liniowa - wyjaśnienie i kluczowe pojęcia
Ola@la_olgin
1
of 2
Funkcja liniowa i jej właściwości
Funkcja liniowa jest zapisywana wzorem f = ax + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, a a nazywamy współczynnikiem kierunkowym. Współczynnik ten decyduje o charakterze funkcji - gdy a > 0, funkcja rośnie, gdy a < 0, funkcja maleje, a gdy a = 0, funkcja jest stała.
Wykresem funkcji liniowej jest zawsze prosta. Miejsca zerowe funkcji (czyli punkty, w których wykres przecina oś X) zależą od wartości współczynników. Jeśli a ≠ 0 i b ≠ 0, funkcja ma jedno miejsce zerowe: x₀ = -b/a. Gdy a = 0 i b ≠ 0, funkcja nie ma miejsc zerowych, a gdy a = b = 0, funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Szczególne przypadki funkcji liniowej to funkcja stała , której wykresem jest prosta równoległa do osi X, oraz funkcja zerowa , której wykresem jest oś X. Jeśli znamy dwa punkty należące do wykresu funkcji, możemy obliczyć współczynnik kierunkowy ze wzoru: a = (yₐ - yₐ)/(xₐ - xₐ).
Wskazówka: Aby szybko określić, czy dwie proste są równoległe, sprawdź ich współczynniki kierunkowe - muszą być równe . Dla prostych prostopadłych iloczyn współczynników kierunkowych daje -1 .
2
of 2
Układy równań liniowych
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych jest każda para liczb, która jednocześnie spełnia oba równania. Zrozumienie, jak rozwiązywać takie układy, pomoże ci poradzić sobie z wieloma zadaniami matematycznymi i problemami z życia codziennego.
Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może być oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny. Układ oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie i zachodzi gdy stosunek współczynników przy niewiadomych jest różny od stosunku wyrazów wolnych. Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy wszystkie stosunki współczynników są równe. Układ sprzeczny nie ma żadnych rozwiązań.
Do rozwiązywania układów równań możesz używać metody podstawiania lub metody przeciwnych współczynników. W metodzie podstawiania wyrażasz jedną zmienną przez drugą i podstawiasz do drugiego równania. Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu równań tak, aby po ich dodaniu jedna zmienna się zredukowała.
Pamiętaj: Aby sprawdzić, czy twoje rozwiązanie jest poprawne, zawsze podstaw otrzymane wartości x i y do oryginalnych równań - powinny je spełniać!
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3840
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4190
MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
860,4115,675
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6560
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6300
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1470
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
51,8584
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
45,4063
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
44,0182
W
Język polskiWprowadzenie do lektury Zemsta
Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.
85,9840
Q
Język polskiQuiz-Dziady cz.2
Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!
83,6012
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8044
Język polskiPolski e8
Egzamin ósmoklasisty
88,679377
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0340
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS
Matematyka192 wyświetleń·Zaktualizowano 23 lip 2026·2 stronyFunkcja liniowa - wyjaśnienie i kluczowe pojęcia
Ola@la_olgin
Funkcja liniowa to podstawowy typ funkcji matematycznej, która ma szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach. Jest opisana prostym wzorem, a jej wykresem jest zawsze linia prosta. Zrozumienie funkcji liniowych pomaga rozwiązywać wiele praktycznych problemów.
1
of 2
Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Funkcja liniowa i jej właściwości
Funkcja liniowa jest zapisywana wzorem f = ax + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, a a nazywamy współczynnikiem kierunkowym. Współczynnik ten decyduje o charakterze funkcji - gdy a > 0, funkcja rośnie, gdy a < 0, funkcja maleje, a gdy a = 0, funkcja jest stała.
Wykresem funkcji liniowej jest zawsze prosta. Miejsca zerowe funkcji (czyli punkty, w których wykres przecina oś X) zależą od wartości współczynników. Jeśli a ≠ 0 i b ≠ 0, funkcja ma jedno miejsce zerowe: x₀ = -b/a. Gdy a = 0 i b ≠ 0, funkcja nie ma miejsc zerowych, a gdy a = b = 0, funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Szczególne przypadki funkcji liniowej to funkcja stała , której wykresem jest prosta równoległa do osi X, oraz funkcja zerowa , której wykresem jest oś X. Jeśli znamy dwa punkty należące do wykresu funkcji, możemy obliczyć współczynnik kierunkowy ze wzoru: a = (yₐ - yₐ)/(xₐ - xₐ).
Wskazówka: Aby szybko określić, czy dwie proste są równoległe, sprawdź ich współczynniki kierunkowe - muszą być równe . Dla prostych prostopadłych iloczyn współczynników kierunkowych daje -1 .
2
of 2Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Układy równań liniowych
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych jest każda para liczb, która jednocześnie spełnia oba równania. Zrozumienie, jak rozwiązywać takie układy, pomoże ci poradzić sobie z wieloma zadaniami matematycznymi i problemami z życia codziennego.
Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może być oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny. Układ oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie i zachodzi gdy stosunek współczynników przy niewiadomych jest różny od stosunku wyrazów wolnych. Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy wszystkie stosunki współczynników są równe. Układ sprzeczny nie ma żadnych rozwiązań.
Do rozwiązywania układów równań możesz używać metody podstawiania lub metody przeciwnych współczynników. W metodzie podstawiania wyrażasz jedną zmienną przez drugą i podstawiasz do drugiego równania. Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu równań tak, aby po ich dodaniu jedna zmienna się zredukowała.
Pamiętaj: Aby sprawdzić, czy twoje rozwiązanie jest poprawne, zawsze podstaw otrzymane wartości x i y do oryginalnych równań - powinny je spełniać!
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3840
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4190
MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
860,4115,675
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6560
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6300
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1470
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
51,8584
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
45,4063
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
44,0182
W
Język polskiWprowadzenie do lektury Zemsta
Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.
85,9840
Q
Język polskiQuiz-Dziady cz.2
Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!
83,6012
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8044
Język polskiPolski e8
Egzamin ósmoklasisty
88,679377
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0340
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS