Funkcja liniowa - podstawowe pojęcia i własności
Funkcja liniowa jest jednym z najważniejszych typów funkcji w matematyce. Jej wzór ogólny to y = ax + b, gdzie a i b są stałymi rzeczywistymi. Funkcja liniowa wzory są stosunkowo proste, ale mają szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach.
Definicja: Funkcja liniowa to funkcja, której wykresem jest linia prosta.
Współczynnik kierunkowy a określa nachylenie prostej, podczas gdy wyraz wolny b wskazuje punkt przecięcia prostej z osią Y. Co oznacza b w funkcji liniowej jest często pytaniem zadawanym przez uczniów - jest to wartość funkcji dla x = 0.
Highlight: Funkcja liniowa wzory na a i b są kluczowe dla zrozumienia jej właściwości i zachowania.
Monotoniczność funkcji liniowej zależy od wartości współczynnika a:
- Dla a > 0 funkcja jest rosnąca
- Dla a < 0 funkcja jest malejąca
- Dla a = 0 funkcja jest stała
Example: Jak określić monotoniczność funkcji liniowej: dla funkcji f(x) = 2x + 3, a = 2 > 0, więc funkcja jest rosnąca.
Miejsca zerowe funkcji liniowej to punkty, w których funkcja przyjmuje wartość zero. Dla funkcji liniowej możemy mieć trzy sytuacje:
- Jedno miejsce zerowe (dla a ≠ 0)
- Nieskończenie wiele miejsc zerowych (dla a = 0 i b = 0)
- Brak miejsc zerowych (dla a = 0 i b ≠ 0)
Vocabulary: Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty to sposób wyznaczenia wzoru funkcji liniowej na podstawie dwóch znanych punktów.
Wzór na współczynnik kierunkowy a dla prostej przechodzącej przez punkty (x₁, y₁) i (x₂, y₂) to:
a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
Example: Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej mając 2 punkty: Mając punkty A(1, 2) i B(3, 6), obliczamy a = (6 - 2) / (3 - 1) = 2, a następnie podstawiamy do wzoru y = 2x + b, aby znaleźć b.
Proste równoległe i prostopadłe mają specjalne właściwości:
- Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe
- Dla prostych prostopadłych iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1
Highlight: Własności funkcji liniowej obejmują również pojęcie układów równań liniowych, które mogą być oznaczone, nieoznaczone lub sprzeczne.
Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla rozwiązywania zadań z funkcji liniowej. Funkcja liniowa zadania i rozwiązania często wymagają zastosowania tych podstawowych wzorów i własności.
