Przedmioty
Język polski
Biologia
Chemia
Historia
Geografia
Aparat ruchu
Układ wydalniczy
Komórka
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Genetyka klasyczna
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Systematyka związków nieorganicznych
Węglowodory
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Świat substancji
Pochodne węglowodorów
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Gazy i ich mieszaniny
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
1660
•
1 gru 2025
•
Patrix Patryk
@patrix_son.1369
Funkcja wykładnicza to jeden z najważniejszych typów funkcji matematycznych, z... Pokaż więcej
Funkcja wykładnicza ma wzór f(x) = aˣ, gdzie a jest liczbą dodatnią różną od 1. To bardzo ważne ograniczenie - podstawa musi być większa od zera i nie może być równa jedności.
Kształt wykresu zależy od wartości podstawy a. Gdy a > 1, funkcja jest rosnąca - im większe x, tym większe y. Gdy 0 < a < 1, funkcja jest malejąca - im większe x, tym mniejsze y.
Funkcja ma kilka kluczowych właściwości. Dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych R, ale zbiorem wartości są tylko liczby dodatnie (0; ∞). Wykres zawsze przecina oś OY w punkcie (0; 1), ale nigdy nie przecina osi OX.
Zapamiętaj: Każda funkcja wykładnicza przechodzi przez punkt (0; 1), niezależnie od wartości podstawy a!
Wykres funkcji wykładniczej możesz przesuwać w różnych kierunkach, co zmienia jej właściwości. Przesunięcie w prawo o 3 jednostki zmienia f(x) = 2ˣ na g(x) = 2ˣ⁻³. Przesunięcie w górę o 1 jednostkę daje h(x) = 2ˣ + 1.
Możesz też łączyć przesunięcia. Funkcja p(x) = 2ˣ⁺⁴ - 2 powstaje przez przesunięcie o 4 jednostki w lewo i 2 w dół. Takie przekształcenia zmieniają zbiór wartości i punkty przecięcia z osiami.
Najważniejszą zmianą jest pojawienie się asymptoty poziomej. Przesunięcie pionowe powoduje, że asymptota przesuwa się z y = 0 na inną wysokość. Dla p(x) = 2ˣ⁺⁴ - 2 asymptotą jest y = -2.
Uwaga: Przesunięcia pionowe mogą utworzyć miejsca zerowe funkcji, czego nie ma podstawowa funkcja wykładnicza!
Odbicie względem osi OX zmienia funkcję f(x) = 2ˣ na g(x) = -2ˣ. Wykres "przewraca się" do góry nogami - zbiór wartości staje się (-∞; 0), a funkcja rosnąca zmienia się w malejącą.
Odbicie względem osi OY daje funkcję g(x) = 2⁻ˣ. Tu też funkcja rosnąca staje się malejąca, ale zbiór wartości pozostaje (0; ∞). Punkt przecięcia z osią OY nie zmienia się.
Dodanie wartości bezwzględnej tworzy ciekawe efekty. Funkcja g(x) = |2ˣ - 1| "odbija" część wykresu poniżej osi OX na górę. Z kolei g(x) = 2|ˣ| tworzy wykres symetryczny względem osi OY.
Wskazówka: Wartość bezwzględna zawsze sprawia, że funkcja ma nieujemne wartości!
Funkcja g(x) = (½)|ˣ| powstaje przez dodanie wartości bezwzględnej do wykładnika. Taki wykres jest symetryczny względem osi OY i ma kształt litery V odwróconej do góry.
Monotonność takiej funkcji jest specjalna - funkcja jest malejąca dla x < 0 i rosnąca dla x > 0 (lub odwrotnie, w zależności od podstawy). Minimum znajduje się zawsze w punkcie x = 0.
Zbiór wartości zmienia się znacząco. Dla g(x) = 2|ˣ| jest to <1; ∞), bo funkcja nigdy nie spadnie poniżej wartości 1. Asymptota pozioma może zniknąć lub pojawić się w innym miejscu.
Pamiętaj: Funkcje z |x| w wykładniku są zawsze symetryczne względem osi OY i mają ekstremum w x = 0!
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Patrix Patryk
@patrix_son.1369
Funkcja wykładnicza to jeden z najważniejszych typów funkcji matematycznych, z którym spotkasz się na maturze. To funkcja postaci f(x) = aˣ, która ma charakterystyczne właściwości i może być przekształcana na różne sposoby.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Funkcja wykładnicza ma wzór f(x) = aˣ, gdzie a jest liczbą dodatnią różną od 1. To bardzo ważne ograniczenie - podstawa musi być większa od zera i nie może być równa jedności.
Kształt wykresu zależy od wartości podstawy a. Gdy a > 1, funkcja jest rosnąca - im większe x, tym większe y. Gdy 0 < a < 1, funkcja jest malejąca - im większe x, tym mniejsze y.
Funkcja ma kilka kluczowych właściwości. Dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych R, ale zbiorem wartości są tylko liczby dodatnie (0; ∞). Wykres zawsze przecina oś OY w punkcie (0; 1), ale nigdy nie przecina osi OX.
Zapamiętaj: Każda funkcja wykładnicza przechodzi przez punkt (0; 1), niezależnie od wartości podstawy a!
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Wykres funkcji wykładniczej możesz przesuwać w różnych kierunkach, co zmienia jej właściwości. Przesunięcie w prawo o 3 jednostki zmienia f(x) = 2ˣ na g(x) = 2ˣ⁻³. Przesunięcie w górę o 1 jednostkę daje h(x) = 2ˣ + 1.
Możesz też łączyć przesunięcia. Funkcja p(x) = 2ˣ⁺⁴ - 2 powstaje przez przesunięcie o 4 jednostki w lewo i 2 w dół. Takie przekształcenia zmieniają zbiór wartości i punkty przecięcia z osiami.
Najważniejszą zmianą jest pojawienie się asymptoty poziomej. Przesunięcie pionowe powoduje, że asymptota przesuwa się z y = 0 na inną wysokość. Dla p(x) = 2ˣ⁺⁴ - 2 asymptotą jest y = -2.
Uwaga: Przesunięcia pionowe mogą utworzyć miejsca zerowe funkcji, czego nie ma podstawowa funkcja wykładnicza!
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Odbicie względem osi OX zmienia funkcję f(x) = 2ˣ na g(x) = -2ˣ. Wykres "przewraca się" do góry nogami - zbiór wartości staje się (-∞; 0), a funkcja rosnąca zmienia się w malejącą.
Odbicie względem osi OY daje funkcję g(x) = 2⁻ˣ. Tu też funkcja rosnąca staje się malejąca, ale zbiór wartości pozostaje (0; ∞). Punkt przecięcia z osią OY nie zmienia się.
Dodanie wartości bezwzględnej tworzy ciekawe efekty. Funkcja g(x) = |2ˣ - 1| "odbija" część wykresu poniżej osi OX na górę. Z kolei g(x) = 2|ˣ| tworzy wykres symetryczny względem osi OY.
Wskazówka: Wartość bezwzględna zawsze sprawia, że funkcja ma nieujemne wartości!
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Funkcja g(x) = (½)|ˣ| powstaje przez dodanie wartości bezwzględnej do wykładnika. Taki wykres jest symetryczny względem osi OY i ma kształt litery V odwróconej do góry.
Monotonność takiej funkcji jest specjalna - funkcja jest malejąca dla x < 0 i rosnąca dla x > 0 (lub odwrotnie, w zależności od podstawy). Minimum znajduje się zawsze w punkcie x = 0.
Zbiór wartości zmienia się znacząco. Dla g(x) = 2|ˣ| jest to <1; ∞), bo funkcja nigdy nie spadnie poniżej wartości 1. Asymptota pozioma może zniknąć lub pojawić się w innym miejscu.
Pamiętaj: Funkcje z |x| w wykładniku są zawsze symetryczne względem osi OY i mają ekstremum w x = 0!
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
52
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Matematyka