Język polski
Biologia
Chemia
Historia
Geografia
Aparat ruchu
Układ wydalniczy
Komórka
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Genetyka klasyczna
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Systematyka związków nieorganicznych
Węglowodory
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Świat substancji
Pochodne węglowodorów
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Gazy i ich mieszaniny
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
7
0
axxz
7.12.2025
Matematyka
funkcja wykładnicza i logarytmiczna, Trygonometria, ciągi, granice
858
•
7 gru 2025
•
axxz
@axxz
Masz przed sobą kompletną ściągkę z najważniejszych wzorów matematycznych, które... Pokaż więcej
Funkcja wykładnicza f(x) = aˣ zachowuje się różnie w zależności od podstawy a. Gdy a > 1, funkcja rośnie (im większe x, tym większa wartość), a gdy 0 < a < 1, funkcja maleje.
Pamiętaj o podstawowych wzorach na potęgi: aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ oraz aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ. Te wzory to podstawa rozwiązywania równań wykładniczych, więc warto je zapamiętać na pamięć.
Funkcja logarytmiczna f(x) = log_a x to odwrotność funkcji wykładniczej. Najważniejsze wzory logarytmiczne to: log_a(xy) = log_a x + log_a y oraz log_a = log_a x - log_a y. Dzięki nim możesz przekształcać skomplikowane wyrażenia logarytmiczne w prostsze.
Wskazówka: Logarytm to pytanie "do jakiej potęgi muszę podnieść podstawę a, żeby otrzymać x?" Jeśli to zrozumiesz, reszta pójdzie z górki!
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym to sin α = a/c, cos α = b/c, tg α = a/b. Musisz znać na pamięć wartości dla kątów 30°, 45°, 60° - to podstawa każdego sprawdzianu z trygo.
Tożsamość podstawowa sin²x + cos²x = 1 to fundament całej trygonometrii. Z niej wyprowadzisz większość innych wzorów, więc jeśli ją zapamiętasz, reszta będzie łatwiejsza.
Wzory na sumę i różnicę kątów pozwalają ci rozłożyć sin(α + β) czy cos(α - β) na prostsze składniki. Szczególnie przydatne są wzory podwójnego kąta, jak sin 2α = 2sin α cos α.
Wzory redukcyjne pomagają przekształcić funkcje kątów większych niż 90° na funkcje kątów ostrych. Na przykład sin(90° - α) = cos α.
Ciąg arytmetyczny to taki, gdzie każdy następny wyraz otrzymujesz przez dodanie stałej liczby r (różnicy). Wzór ogólny to aₙ = a₁ + r, a suma pierwszych n wyrazów: Sₙ = /2 · n.
Ciąg geometryczny powstaje przez mnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę q (iloraz). Tu wzór ogólny to aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹, a suma: Sₙ = a₁/ dla q ≠ 1.
Procent składany K = K₀ⁿ to praktyczne zastosowanie ciągów geometrycznych w finansach. Jeśli |q| < 1, to suma szeregu geometrycznego wynosi S = a₁/.
Pamiętaj: W ciągu arytmetycznym dodajesz, w geometrycznym mnożysz!
Granice ciągów mówią ci, do jakiej wartości zmierza ciąg, gdy n dąży do nieskończoności. Jeśli |q| < 1, to qⁿ zmierza do 0, a jeśli q > 1, to qⁿ rośnie do nieskończoności.
Działania na granicach są intuicyjne: granica sumy to suma granic, granica iloczynu to iloczyn granic. Przy dzieleniu musisz tylko sprawdzić, czy mianownik nie zmierza do zera.
Szczególnie ważna jest granica ⁿ√A = 1 dla dowolnego A > 0. Ten wzór często ratuje sytuację w trudnych zadaniach z granicami.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
axxz
@axxz
Masz przed sobą kompletną ściągkę z najważniejszych wzorów matematycznych, które będziesz potrzebować w liceum. Funkcje wykładnicze, logarytmy, trygonometria, ciągi i granice - wszystko zebrane w jednym miejscu, żeby łatwiej ci było się przygotować do sprawdzianu czy matury.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Funkcja wykładnicza f(x) = aˣ zachowuje się różnie w zależności od podstawy a. Gdy a > 1, funkcja rośnie (im większe x, tym większa wartość), a gdy 0 < a < 1, funkcja maleje.
Pamiętaj o podstawowych wzorach na potęgi: aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ oraz aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ. Te wzory to podstawa rozwiązywania równań wykładniczych, więc warto je zapamiętać na pamięć.
Funkcja logarytmiczna f(x) = log_a x to odwrotność funkcji wykładniczej. Najważniejsze wzory logarytmiczne to: log_a(xy) = log_a x + log_a y oraz log_a = log_a x - log_a y. Dzięki nim możesz przekształcać skomplikowane wyrażenia logarytmiczne w prostsze.
Wskazówka: Logarytm to pytanie "do jakiej potęgi muszę podnieść podstawę a, żeby otrzymać x?" Jeśli to zrozumiesz, reszta pójdzie z górki!
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym to sin α = a/c, cos α = b/c, tg α = a/b. Musisz znać na pamięć wartości dla kątów 30°, 45°, 60° - to podstawa każdego sprawdzianu z trygo.
Tożsamość podstawowa sin²x + cos²x = 1 to fundament całej trygonometrii. Z niej wyprowadzisz większość innych wzorów, więc jeśli ją zapamiętasz, reszta będzie łatwiejsza.
Wzory na sumę i różnicę kątów pozwalają ci rozłożyć sin(α + β) czy cos(α - β) na prostsze składniki. Szczególnie przydatne są wzory podwójnego kąta, jak sin 2α = 2sin α cos α.
Wzory redukcyjne pomagają przekształcić funkcje kątów większych niż 90° na funkcje kątów ostrych. Na przykład sin(90° - α) = cos α.
Ciąg arytmetyczny to taki, gdzie każdy następny wyraz otrzymujesz przez dodanie stałej liczby r (różnicy). Wzór ogólny to aₙ = a₁ + r, a suma pierwszych n wyrazów: Sₙ = /2 · n.
Ciąg geometryczny powstaje przez mnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę q (iloraz). Tu wzór ogólny to aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹, a suma: Sₙ = a₁/ dla q ≠ 1.
Procent składany K = K₀ⁿ to praktyczne zastosowanie ciągów geometrycznych w finansach. Jeśli |q| < 1, to suma szeregu geometrycznego wynosi S = a₁/.
Pamiętaj: W ciągu arytmetycznym dodajesz, w geometrycznym mnożysz!
Granice ciągów mówią ci, do jakiej wartości zmierza ciąg, gdy n dąży do nieskończoności. Jeśli |q| < 1, to qⁿ zmierza do 0, a jeśli q > 1, to qⁿ rośnie do nieskończoności.
Działania na granicach są intuicyjne: granica sumy to suma granic, granica iloczynu to iloczyn granic. Przy dzieleniu musisz tylko sprawdzić, czy mianownik nie zmierza do zera.
Szczególnie ważna jest granica ⁿ√A = 1 dla dowolnego A > 0. Ten wzór często ratuje sytuację w trudnych zadaniach z granicami.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
7
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
Zgłębiaj właściwości trapezów, w tym trapezów równoramiennych i prostokątnych. Dowiedz się o wzorach na pole trapezu oraz o sumie kątów w trapezie. Idealne dla uczniów uczących się geometrii płaskiej. Typ: podsumowanie.
MatematykaZgłębiaj kluczowe informacje o czworokątach, w tym trapezach, deltoidach i ich właściwościach. Dowiedz się o sumie kątów, symetrii oraz wzorach na obliczanie pól. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.
MatematykaZrozumienie miary kąta w radianach i stopniach. Dowiedz się, jak przeliczać kąty między tymi jednostkami oraz poznaj podstawowe wzory i definicje związane z miarą łukową kąta. Idealne dla uczniów uczących się geometrii. Typ: Podsumowanie.
MatematykaZrozumienie mnożenia i dzielenia liczb do 150, w tym techniki dzielenia z resztą. Przykłady krok po kroku oraz praktyczne zastosowania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki.
MatematykaZrozumienie rodzajów kątów, ich miar oraz właściwości. Obejmuje kąty: prosty, ostry, rozwarty, wklęsły, wypukły, zerowy, półpełny i pełny. Dowiedz się o kątach przyległych, wierzchołkowych oraz odpowiadających. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.
MatematykaAnaliza wykresów funkcji wykładniczych i logarytmicznych, w tym asymptoty, monotoniczność oraz przesuwanie krzywych. Zawiera kluczowe informacje o typach funkcji i ich właściwościach. Idealne dla studentów matematyki.
MatematykaApp Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
