Knowunity AI

Więcej

Kariera

Program dla Twórców

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Systemy i Modele Geometryczne

geometria analityczna

2,184

•

Zaktualizowano Mar 22, 2026

•

3 strony

Podstawy Geometrii Analitycznej

user profile picture

Dusiaa

@clavdiaa

Geometria analityczna łączy algebrę z geometrią, pozwalając opisać figury geometryczne... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
1 / 3
# 10. GEOMETRIA ANALITYCZNA ## 10.1. Prosta a) Równanie kierunkowe prostej: y=ax+b, gdzie a,be R a- współczynnik kierunkowy, b- współczyn

Prosta w układzie współrzędnych

Prostą możesz zapisać na kilka sposobów. Najczęściej używane jest równanie kierunkowe y=ax+by = ax + b, gdzie aa to współczynnik kierunkowy określający nachylenie prostej, a bb to wyraz wolny. Prosta przecina oś OY w punkcie (0,b)(0,b).

Wartość współczynnika aa mówi nam o nachyleniu prostej:

  • Gdy a>0a > 0, prosta tworzy kąt ostry z osią OX $\alpha \in (0°,90°)$ i rośnie
  • Gdy a<0a < 0, prosta tworzy kąt rozwarty z osią OX $\alpha \in (90°,180°)$ i maleje
  • Gdy a=0a = 0, prosta jest pozioma $y = b$

💡 Uwaga! Prostej pionowej (równoległej do osi OY) nie możemy zapisać równaniem kierunkowym. Taką prostą opisujemy wzorem x=cx = c, gdzie cc to miejsce przecięcia z osią OX.

Każdą prostą możemy też zapisać równaniem ogólnym: Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, gdzie co najmniej jeden z współczynników AA lub BB musi być różny od zera.

# 10. GEOMETRIA ANALITYCZNA ## 10.1. Prosta a) Równanie kierunkowe prostej: y=ax+b, gdzie a,be R a- współczynnik kierunkowy, b- współczyn

Równania prostej i relacje między prostymi

Gdy znasz dwa punkty A(xA,yA)A(x_A,y_A) i B(xB,yB)B(x_B,y_B), przez które przechodzi prosta, możesz wyznaczyć jej równanie: (y−yA)(xB−xA)=(x−xA)(yB−yA)(y - y_A)(x_B - x_A) = (x - x_A)(y_B - y_A)

Jeśli potrzebujesz obliczyć odległość punktu P(xP,yP)P(x_P,y_P) od prostej Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, użyj wzoru: d(P,l)=∣AxP+ByP+C∣A2+B2d(P,l) = \frac{|Ax_P + By_P + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Ważne są też relacje między prostymi. Dla prostych k:y=akx+bkk: y = a_kx + b_k i l:y=alx+bll: y = a_lx + b_l:

  • Proste są równoległe $l \parallel k$, gdy ak=ala_k = a_l - ich współczynniki kierunkowe są równe
  • Proste są prostopadłe $l \perp k$, gdy ak=−1ala_k = -\frac{1}{a_l} - ich współczynniki kierunkowe są przeciwne i odwrotne

⚠️ Pamiętaj, że wszystkie relacje między prostymi możesz sprawdzić analizując ich współczynniki kierunkowe - to szybszy sposób niż rysowanie prostych!

# 10. GEOMETRIA ANALITYCZNA ## 10.1. Prosta a) Równanie kierunkowe prostej: y=ax+b, gdzie a,be R a- współczynnik kierunkowy, b- współczyn

Odcinek i okrąg w układzie współrzędnych

Mając punkty A(xA,yA)A(x_A,y_A) i B(xB,yB)B(x_B,y_B), możesz obliczyć długość odcinka AB: ∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Środek odcinka ABAB ma współrzędne: S=(xA+xB2,yA+yB2)S = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek. Jest to zbiór punktów równo oddalonych od końców odcinka, czyli dla każdego punktu XX na symetralnej zachodzi: ∣AX∣=∣BX∣|AX| = |BX|.

Okrąg o środku S(a,b)S(a,b) i promieniu rr ma równanie: (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

🔍 Ciekawostka: Symetralna odcinka ma praktyczne zastosowanie - jeśli chcesz znaleźć punkt, z którego dwa obiekty są tak samo oddalone, szukasz punktu na symetralnej odcinka łączącego te obiekty!



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: geometria analityczna

Wzory Geometrii Analitycznej

Zbiór kluczowych wzorów i równań z geometrii analitycznej, obejmujący proste, okręgi, symetrię oraz obliczanie pól. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Równania prostych i geometria

Zrozumienie równań prostych w geometrii analitycznej, w tym wyznaczanie współczynników kierunkowych, równoległości i prostopadłości prostych, a także obliczanie kątów nachylenia. Materiał obejmuje przykłady i zadania dotyczące prostych, trójkątów oraz układów równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Równania Prostej i Okręgu

Zrozumienie równań prostych i okręgów w geometrii analitycznej. Dowiedz się, jak obliczać współczynniki kierunkowe, odległość między punktami, pole trójkąta oraz właściwości prostych prostopadłych i równoległych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Równania Okręgów - Przykłady

Zbiór zadań dotyczących wyznaczania równań okręgów w geometrii analitycznej. Obejmuje przykłady z obliczania promienia, środka oraz równań okręgów przechodzących przez dane punkty. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Geometria Analityczna: Kluczowe Wzory

Zrozum podstawowe wzory geometrii analitycznej, w tym długość odcinka, współczynnik kierunkowy, równania prostych i okręgów oraz metody wyznaczania symetralnej. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
3

Równania Prostej i Odległość

Zrozumienie równań prostych w geometrii analitycznej, w tym równanie kierunkowe, ogólne oraz metody obliczania odległości punktu od prostej. Przykłady i ćwiczenia pomagające w przyswojeniu kluczowych koncepcji. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
2

Wzory Geometrii Analitycznej

Zbiór kluczowych wzorów z geometrii analitycznej, obejmujący współrzędne wektora, długość odcinka, współrzędne środka, równania prostych równoległych i prostopadłych, oraz równania okręgu. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Geometria Analityczna: Wektory i Proste

Zrozumienie geometrii analitycznej z naciskiem na wektory, proste, okręgi oraz ich wzajemne położenie. Obejmuje kluczowe wzory, takie jak odległość punktu od prostej, pole trójkąta oraz analizy kątów między prostymi. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Geometria Analityczna: Proste i Punkty

Zrozumienie geometrii analitycznej poprzez kluczowe wzory i zasady dotyczące prostych, odległości między punktami oraz środków odcinków. Dowiedz się, jak obliczać długości odcinków, środek ciężkości trójkątów oraz przekształcać równania prostych w układzie współrzędnych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.

MatematykaMatematyka
8

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Notatka ciągi, ciąg arytmetyczny i geometryczny - najważniejsze wzory i informacje

MatematykaMatematyka
1

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - NOTATKA POWTARZAJĄCA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

MatematykaMatematyka
8

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Zrozumienie jednomianów, redukcji wyrazów podobnych oraz mnożenia sum algebraicznych. Przykłady obliczeń i zastosowań wyrażeń algebraicznych dla uczniów klasy 7. Idealne dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
8

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

MatematykaMatematyka
8

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Zanurz się w szczegółową analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj genezę utworu, znaczenie tytułu oraz kluczowe wątki i postacie. Dowiedz się, jak Żeromski przedstawia przemiany społeczne i polityczne w Polsce po odzyskaniu niepodległości. Idealne dla studentów literatury i miłośników klasyki.

Język polskiJęzyk polski
4

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Odkryj istotne cechy i motywy epoki Młodej Polski, w tym dekadentyzm, sztukę dla sztuki oraz wpływ filozofii Nietzschego i Schopenhauera. Analiza najważniejszych twórców, ich dzieł oraz typów bohaterów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
1

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza Dziadów III

Szczegółowa analiza III części 'Dziadów' Adama Mickiewicza, koncentrująca się na tematach buntu, mesjanizmu oraz przemiany bohatera Konrada. Obejmuje omówienie gatunku dramat romantyczny, psychomachii, oraz roli Księdza Piotra. Idealne dla studentów literatury polskiej i romantyzmu. Typ: opracowanie.

Język polskiJęzyk polski
4

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Systemy i Modele Geometryczne

geometria analityczna

 

Matematyka

•

2,184

•

Zaktualizowano Mar 22, 2026

•

3 strony

Podstawy Geometrii Analitycznej

user profile picture

Dusiaa

@clavdiaa

Geometria analityczna łączy algebrę z geometrią, pozwalając opisać figury geometryczne za pomocą równań. Dzięki niej możesz wyznaczyć równania prostych, obliczyć odległości między punktami czy opisać okrąg za pomocą współrzędnych. Te umiejętności są kluczowe zarówno na lekcjach matematyki, jak i w... Pokaż więcej

# 10. GEOMETRIA ANALITYCZNA ## 10.1. Prosta a) Równanie kierunkowe prostej: y=ax+b, gdzie a,be R a- współczynnik kierunkowy, b- współczyn

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Prosta w układzie współrzędnych

Prostą możesz zapisać na kilka sposobów. Najczęściej używane jest równanie kierunkowe y=ax+by = ax + b, gdzie aa to współczynnik kierunkowy określający nachylenie prostej, a bb to wyraz wolny. Prosta przecina oś OY w punkcie (0,b)(0,b).

Wartość współczynnika aa mówi nam o nachyleniu prostej:

  • Gdy a>0a > 0, prosta tworzy kąt ostry z osią OX $\alpha \in (0°,90°)$ i rośnie
  • Gdy a<0a < 0, prosta tworzy kąt rozwarty z osią OX $\alpha \in (90°,180°)$ i maleje
  • Gdy a=0a = 0, prosta jest pozioma $y = b$

💡 Uwaga! Prostej pionowej (równoległej do osi OY) nie możemy zapisać równaniem kierunkowym. Taką prostą opisujemy wzorem x=cx = c, gdzie cc to miejsce przecięcia z osią OX.

Każdą prostą możemy też zapisać równaniem ogólnym: Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, gdzie co najmniej jeden z współczynników AA lub BB musi być różny od zera.

# 10. GEOMETRIA ANALITYCZNA ## 10.1. Prosta a) Równanie kierunkowe prostej: y=ax+b, gdzie a,be R a- współczynnik kierunkowy, b- współczyn

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Równania prostej i relacje między prostymi

Gdy znasz dwa punkty A(xA,yA)A(x_A,y_A) i B(xB,yB)B(x_B,y_B), przez które przechodzi prosta, możesz wyznaczyć jej równanie: (y−yA)(xB−xA)=(x−xA)(yB−yA)(y - y_A)(x_B - x_A) = (x - x_A)(y_B - y_A)

Jeśli potrzebujesz obliczyć odległość punktu P(xP,yP)P(x_P,y_P) od prostej Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, użyj wzoru: d(P,l)=∣AxP+ByP+C∣A2+B2d(P,l) = \frac{|Ax_P + By_P + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Ważne są też relacje między prostymi. Dla prostych k:y=akx+bkk: y = a_kx + b_k i l:y=alx+bll: y = a_lx + b_l:

  • Proste są równoległe $l \parallel k$, gdy ak=ala_k = a_l - ich współczynniki kierunkowe są równe
  • Proste są prostopadłe $l \perp k$, gdy ak=−1ala_k = -\frac{1}{a_l} - ich współczynniki kierunkowe są przeciwne i odwrotne

⚠️ Pamiętaj, że wszystkie relacje między prostymi możesz sprawdzić analizując ich współczynniki kierunkowe - to szybszy sposób niż rysowanie prostych!

# 10. GEOMETRIA ANALITYCZNA ## 10.1. Prosta a) Równanie kierunkowe prostej: y=ax+b, gdzie a,be R a- współczynnik kierunkowy, b- współczyn

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Odcinek i okrąg w układzie współrzędnych

Mając punkty A(xA,yA)A(x_A,y_A) i B(xB,yB)B(x_B,y_B), możesz obliczyć długość odcinka AB: ∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Środek odcinka ABAB ma współrzędne: S=(xA+xB2,yA+yB2)S = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek. Jest to zbiór punktów równo oddalonych od końców odcinka, czyli dla każdego punktu XX na symetralnej zachodzi: ∣AX∣=∣BX∣|AX| = |BX|.

Okrąg o środku S(a,b)S(a,b) i promieniu rr ma równanie: (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

🔍 Ciekawostka: Symetralna odcinka ma praktyczne zastosowanie - jeśli chcesz znaleźć punkt, z którego dwa obiekty są tak samo oddalone, szukasz punktu na symetralnej odcinka łączącego te obiekty!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

21

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny egzamin próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Własności Funkcji Liniowej

Odkryj kluczowe własności funkcji liniowej oraz ich zastosowania w matematyce. Ten materiał zawiera szczegółowe omówienie równań liniowych, ich graficznych reprezentacji oraz praktycznych przykładów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Wzory Geometrii Analitycznej

Zbiór kluczowych wzorów i równań z geometrii analitycznej, obejmujący proste, okręgi, symetrię oraz obliczanie pól. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Równania Prostej i Odległość

Zrozumienie równań prostych w geometrii analitycznej, w tym równanie kierunkowe, ogólne oraz metody obliczania odległości punktu od prostej. Przykłady i ćwiczenia pomagające w przyswojeniu kluczowych koncepcji. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
2

Równania Prostej w Geometrii

Zrozumienie równań prostych w geometrii: odkryj wzory na równanie kierunkowe, proste równoległe i prostopadłe, oraz jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Geometria Analityczna: Kluczowe Wzory

Odkryj podstawowe zasady geometrii analitycznej, w tym wzory na długość odcinka, środek odcinka, równania prostych oraz okręgów. Zrozum, jak obliczać kąty nachylenia prostych i rozpoznawać prostopadłość oraz równoległość linii. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Zadania z funkcji liniowej

Rozwiązywanie zadań maturalnych dotyczących funkcji liniowej, w tym obliczanie współczynników kierunkowych, równań prostych oraz ich właściwości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury. Zawiera przykłady i szczegółowe rozwiązania.

MatematykaMatematyka
5

Najpopularniejsze notatki: geometria analityczna

Wzory Geometrii Analitycznej

Zbiór kluczowych wzorów i równań z geometrii analitycznej, obejmujący proste, okręgi, symetrię oraz obliczanie pól. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Równania prostych i geometria

Zrozumienie równań prostych w geometrii analitycznej, w tym wyznaczanie współczynników kierunkowych, równoległości i prostopadłości prostych, a także obliczanie kątów nachylenia. Materiał obejmuje przykłady i zadania dotyczące prostych, trójkątów oraz układów równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Równania Prostej i Okręgu

Zrozumienie równań prostych i okręgów w geometrii analitycznej. Dowiedz się, jak obliczać współczynniki kierunkowe, odległość między punktami, pole trójkąta oraz właściwości prostych prostopadłych i równoległych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Równania Okręgów - Przykłady

Zbiór zadań dotyczących wyznaczania równań okręgów w geometrii analitycznej. Obejmuje przykłady z obliczania promienia, środka oraz równań okręgów przechodzących przez dane punkty. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Geometria Analityczna: Kluczowe Wzory

Zrozum podstawowe wzory geometrii analitycznej, w tym długość odcinka, współczynnik kierunkowy, równania prostych i okręgów oraz metody wyznaczania symetralnej. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
3

Równania Prostej i Odległość

Zrozumienie równań prostych w geometrii analitycznej, w tym równanie kierunkowe, ogólne oraz metody obliczania odległości punktu od prostej. Przykłady i ćwiczenia pomagające w przyswojeniu kluczowych koncepcji. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
2

Wzory Geometrii Analitycznej

Zbiór kluczowych wzorów z geometrii analitycznej, obejmujący współrzędne wektora, długość odcinka, współrzędne środka, równania prostych równoległych i prostopadłych, oraz równania okręgu. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Geometria Analityczna: Wektory i Proste

Zrozumienie geometrii analitycznej z naciskiem na wektory, proste, okręgi oraz ich wzajemne położenie. Obejmuje kluczowe wzory, takie jak odległość punktu od prostej, pole trójkąta oraz analizy kątów między prostymi. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Geometria Analityczna: Proste i Punkty

Zrozumienie geometrii analitycznej poprzez kluczowe wzory i zasady dotyczące prostych, odległości między punktami oraz środków odcinków. Dowiedz się, jak obliczać długości odcinków, środek ciężkości trójkątów oraz przekształcać równania prostych w układzie współrzędnych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.

MatematykaMatematyka
8

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Notatka ciągi, ciąg arytmetyczny i geometryczny - najważniejsze wzory i informacje

MatematykaMatematyka
1

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - NOTATKA POWTARZAJĄCA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

MatematykaMatematyka
8

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Zrozumienie jednomianów, redukcji wyrazów podobnych oraz mnożenia sum algebraicznych. Przykłady obliczeń i zastosowań wyrażeń algebraicznych dla uczniów klasy 7. Idealne dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
8

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

MatematykaMatematyka
8

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Zanurz się w szczegółową analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj genezę utworu, znaczenie tytułu oraz kluczowe wątki i postacie. Dowiedz się, jak Żeromski przedstawia przemiany społeczne i polityczne w Polsce po odzyskaniu niepodległości. Idealne dla studentów literatury i miłośników klasyki.

Język polskiJęzyk polski
4

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Odkryj istotne cechy i motywy epoki Młodej Polski, w tym dekadentyzm, sztukę dla sztuki oraz wpływ filozofii Nietzschego i Schopenhauera. Analiza najważniejszych twórców, ich dzieł oraz typów bohaterów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
1

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza Dziadów III

Szczegółowa analiza III części 'Dziadów' Adama Mickiewicza, koncentrująca się na tematach buntu, mesjanizmu oraz przemiany bohatera Konrada. Obejmuje omówienie gatunku dramat romantyczny, psychomachii, oraz roli Księdza Piotra. Idealne dla studentów literatury polskiej i romantyzmu. Typ: opracowanie.

Język polskiJęzyk polski
4

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS