Podstawy Geometrii Analitycznej

Prosta w układzie współrzędnych

Prostą możesz zapisać na kilka sposobów. Najczęściej używane jest równanie kierunkowe $y = ax + b$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy określający nachylenie prostej, a $b$ to wyraz wolny. Prosta przecina oś OY w punkcie $(0,b)$.

Wartość współczynnika $a$ mówi nam o nachyleniu prostej:

• Gdy $a > 0$, prosta tworzy kąt ostry z osią OX ($\alpha \in (0°,90°)$) i rośnie
• Gdy $a < 0$, prosta tworzy kąt rozwarty z osią OX ($\alpha \in (90°,180°)$) i maleje
• Gdy $a = 0$, prosta jest pozioma ($y = b$)

💡 Uwaga! Prostej pionowej (równoległej do osi OY) nie możemy zapisać równaniem kierunkowym. Taką prostą opisujemy wzorem $x = c$, gdzie $c$ to miejsce przecięcia z osią OX.

Każdą prostą możemy też zapisać równaniem ogólnym: $Ax + By + C = 0$, gdzie co najmniej jeden z współczynników $A$ lub $B$ musi być różny od zera.

Równania prostej i relacje między prostymi

Gdy znasz dwa punkty $A(x_A,y_A)$ i $B(x_B,y_B)$, przez które przechodzi prosta, możesz wyznaczyć jej równanie: $(y - y_A)(x_B - x_A) = (x - x_A)(y_B - y_A)$

Jeśli potrzebujesz obliczyć odległość punktu $P(x_P,y_P)$ od prostej $Ax + By + C = 0$, użyj wzoru: $d(P,l) = \frac{|Ax_P + By_P + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Ważne są też relacje między prostymi. Dla prostych $k: y = a_kx + b_k$ i $l: y = a_lx + b_l$:

• Proste są równoległe ($l \parallel k$), gdy $a_k = a_l$ - ich współczynniki kierunkowe są równe
• Proste są prostopadłe ($l \perp k$), gdy $a_k = -\frac{1}{a_l}$ - ich współczynniki kierunkowe są przeciwne i odwrotne

⚠️ Pamiętaj, że wszystkie relacje między prostymi możesz sprawdzić analizując ich współczynniki kierunkowe - to szybszy sposób niż rysowanie prostych!

Odcinek i okrąg w układzie współrzędnych

Mając punkty $A(x_A,y_A)$ i $B(x_B,y_B)$, możesz obliczyć długość odcinka AB: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Środek odcinka $AB$ ma współrzędne: $S = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})$

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek. Jest to zbiór punktów równo oddalonych od końców odcinka, czyli dla każdego punktu $X$ na symetralnej zachodzi: $|AX| = |BX|$.

Okrąg o środku $S(a,b)$ i promieniu $r$ ma równanie: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

🔍 Ciekawostka: Symetralna odcinka ma praktyczne zastosowanie - jeśli chcesz znaleźć punkt, z którego dwa obiekty są tak samo oddalone, szukasz punktu na symetralnej odcinka łączącego te obiekty!