Geometria płaska - poziom rozszerzony

Twierdzenia trygonometryczne i wzory na pole trójkąta

Jeśli chcesz rozwiązać dowolny trójkąt, twierdzenie sinusów będzie Twoim najlepszym przyjacielem. Mówi ono, że w każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta naprzeciwko tego boku jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie: $\frac{a}{sin\alpha} = \frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin\gamma} = 2R$.

Równie przydatne jest twierdzenie cosinusów, które pozwala obliczyć bok trójkąta, znając dwa pozostałe boki i kąt między nimi: $a^2 = b^2+c^2-2bc\cdot cos\alpha$. Możesz też przekształcić ten wzór, aby obliczyć cosinus kąta: $cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Do obliczania pól trójkątów masz kilka różnych wzorów do wyboru. Najczęściej używany to $P = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h$, ale gdy znasz dwa boki i kąt między nimi, możesz użyć $P = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\gamma$. Wzór Herona $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ przyda Ci się, gdy znasz tylko długości boków.

Wskazówka: Gdy rozwiązujesz zadania z trójkątami, najpierw zastanów się, jakie dane posiadasz, a następnie wybierz odpowiednie twierdzenie. Twierdzenie sinusów najlepiej działa, gdy znasz kąty i jeden bok, a twierdzenie cosinusów, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi.

Warto pamiętać, że pola trójkątów podobnych mają się do siebie jak kwadraty skali podobieństwa: $\frac{P_1}{P_2} = k^2$. To pozwala na rozwiązywanie problemów związanych z podobieństwem figur bez konieczności obliczania dokładnych wymiarów.