Matematyka

Twierdzenia o przystawaniu i podobieństwie trójkątów

prawo sinusów

993

•

24 lis 2025

•

2 strony

Geometria płaska - jak obliczać pole trójkąta i koła, rozwiązywanie trójkątów

ktoś

@cyprian_2404

Geometria płaska to nieodłączna część matematyki, która ma szerokie zastosowanie... Pokaż więcej

Geometria płaska - trójkąty, koła, pola
6
a
ha
5
Twierdzenie Dinusów
OR
2
W dowolnym trójkącie stosunele dł. bolev do sinusa
leżącego naproa

Twierdzenia i wzory dla trójkątów

Znasz już różne wzory na pole trójkąta, ale czy wiesz, jak wykorzystać kąty i boki do rozwiązania trudniejszych zadań? Twierdzenie sinusów jest tutaj kluczowe: w każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta przeciwległego jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

Równie ważne jest twierdzenie cosinusów, które pozwala obliczyć długość jednego boku, znając dwa pozostałe boki i kąt między nimi:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

Ten wzór można przekształcić, aby obliczyć cosinus dowolnego kąta w trójkącie: $\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Wskazówka: Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa! Dla kąta prostego $\cos 90° = 0$ otrzymujemy dokładnie $a^2 = b^2 + c^2$ .

Pole trójkąta możemy obliczyć na kilka sposobów:

Klasycznie jako połowę iloczynu podstawy i wysokości: $P = \frac{1}{2}a \cdot h_a$
Wykorzystując dwa boki i kąt między nimi: $P = \frac{1}{2}ab \cdot \sin \gamma$
Za pomocą wzoru Herona: $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , gdzie $p$ to połowa obwodu
Z użyciem promienia okręgu wpisanego: $P = p \cdot r$
Lub promienia okręgu opisanego: $P = \frac{abc}{4R}$

Podobieństwo i pola figur

Czy wiesz, że pola figur podobnych są ze sobą powiązane? Stosunek pól trójkątów podobnych równa się kwadratowi skali podobieństwa. Jeśli jeden trójkąt jest dwa razy większy od drugiego, jego pole będzie cztery razy większe!

Aby sprawdzić, czy trójkąty są podobne, możemy użyć trzech cech podobieństwa:

bbb (proporcjonalne boki)
bkb (proporcjonalne dwa boki i równy kąt między nimi)
kbk (równe dwa kąty i proporcjonalne boki między nimi)

Dla koła podstawowe wzory to:

Obwód: $L = 2\pi r$
Pole: $P = \pi r^2$

Pole wycinka koła możemy obliczyć jako część pola całego koła proporcjonalną do kąta środkowego: $P_w = \frac{\alpha}{360°} \pi r^2$ lub $P_w = \frac{\alpha}{360°} P$

Ciekawostka: Środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równych polach, a wszystkie trzy środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o takim samym polu!

Warto zapamiętać również, że:

Najdłuższa wysokość trójkąta wychodzi z najkrótszego boku
Jeśli trójkąty są podobne w skali K, to stosunek ich pól wynosi K²
Środkowe mają szczególną własność dzielenia trójkąta na równe części

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

geometria płaska

136

Ostrosłupy

2018

pole trójkąta

1576

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Twierdzenia o przystawaniu i podobieństwie trójkątów

prawo sinusów

Matematyka

•

993

•

24 lis 2025

•

2 strony

Geometria płaska - jak obliczać pole trójkąta i koła, rozwiązywanie trójkątów

ktoś

@cyprian_2404

Geometria płaska to nieodłączna część matematyki, która ma szerokie zastosowanie w życiu codziennym i nauce. W tej notatce znajdziesz najważniejsze wzory i twierdzenia dotyczące trójkątów i kół, które pomogą Ci rozwiązywać zadania geometryczne i zrozumieć relacje między figurami płaskimi.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Twierdzenia i wzory dla trójkątów

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

Równie ważne jest twierdzenie cosinusów, które pozwala obliczyć długość jednego boku, znając dwa pozostałe boki i kąt między nimi:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

Ten wzór można przekształcić, aby obliczyć cosinus dowolnego kąta w trójkącie: $\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Wskazówka: Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa! Dla kąta prostego $\cos 90° = 0$ otrzymujemy dokładnie $a^2 = b^2 + c^2$ .

Pole trójkąta możemy obliczyć na kilka sposobów:

Klasycznie jako połowę iloczynu podstawy i wysokości: $P = \frac{1}{2}a \cdot h_a$
Wykorzystując dwa boki i kąt między nimi: $P = \frac{1}{2}ab \cdot \sin \gamma$
Za pomocą wzoru Herona: $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , gdzie $p$ to połowa obwodu
Z użyciem promienia okręgu wpisanego: $P = p \cdot r$
Lub promienia okręgu opisanego: $P = \frac{abc}{4R}$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podobieństwo i pola figur

Aby sprawdzić, czy trójkąty są podobne, możemy użyć trzech cech podobieństwa:

bbb (proporcjonalne boki)
bkb (proporcjonalne dwa boki i równy kąt między nimi)
kbk (równe dwa kąty i proporcjonalne boki między nimi)

Dla koła podstawowe wzory to:

Obwód: $L = 2\pi r$
Pole: $P = \pi r^2$

Pole wycinka koła możemy obliczyć jako część pola całego koła proporcjonalną do kąta środkowego: $P_w = \frac{\alpha}{360°} \pi r^2$ lub $P_w = \frac{\alpha}{360°} P$

Ciekawostka: Środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równych polach, a wszystkie trzy środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o takim samym polu!

Warto zapamiętać również, że:

Najdłuższa wysokość trójkąta wychodzi z najkrótszego boku
Jeśli trójkąty są podobne w skali K, to stosunek ich pól wynosi K²
Środkowe mają szczególną własność dzielenia trójkąta na równe części

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Geometria Trójkątów

Zgłębiaj zasady geometrii trójkątów, w tym wysokości, rodzaje trójkątów (równoboczny, prostokątny, rozwartokątny) oraz twierdzenia Pitagorasa. Materiał obejmuje kluczowe pojęcia, takie jak miary kątów i kongruencja trójkątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Wzory Ostrosłupów

Zrozumienie wzorów na pole całkowite i objętość ostrosłupów, w tym ostrosłupów prawidłowych trójkątnych. Dowiedz się, jak obliczać pole i objętość, korzystając z kluczowych wzorów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Wzory na Pole Trójkąta

Odkryj kluczowe wzory na pole różnych typów trójkątów, w tym trójkątów równobocznych, równoramiennych i prostokątnych. Zrozum zasady dotyczące wysokości, promieni okręgów opisanych oraz zastosowanie wzoru Herona. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Wzory Brył Geometrycznych

Odkryj kluczowe wzory na objętość i pole powierzchni różnych brył geometrycznych, w tym sześcianu, prostopadłościanu, ostrosłupów, kuli, stożka i walca. Zawiera szczegółowe obliczenia oraz ilości ścian, krawędzi i wierzchołków. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Wzory Brył Obrotowych

Zbiór wzorów dotyczących objętości i pola powierzchni brył obrotowych, takich jak walec i kula. Omówienie właściwości prostych w przestrzeni, w tym prostych równoległych i prostopadłych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Miarowe Związki w Trójkątach

Zgłębiaj związki miarowe w trójkątach, w tym wysokości, obwody, pola oraz cechy trójkątów równobocznych i prostokątnych. Dowiedz się o okręgach wpisanych i opisanych oraz o symetralnych boków. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii. Typ: wykład.

Matematyka

Podobne notatki

geometria płaska

136

Ostrosłupy

2018

pole trójkąta

1576

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS