Podstawy Geometrii Płaskiej: Rozwiązywanie Trójkątów i Obliczanie Pól

Podstawowe wzory trygonometryczne i geometryczne

Twierdzenie sinusów to jeden z najważniejszych związków w trygonometrii. Mówi ono, że stosunek długości boku do sinusa kąta przeciwległego jest stały dla całego trójkąta:

$\frac{a}{sin\alpha} = \frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin\gamma} = 2R$

gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Z kolei twierdzenie cosinusów pozwala obliczyć długość boku, gdy znamy dwa pozostałe boki i kąt między nimi:

$b² = a²+c²-2ac cos\beta$

Wskazówka: Twierdzenie cosinusów to uogólnienie twierdzenia Pitagorasa - gdy kąt wynosi 90°, to cos90° = 0 i wzór upraszcza się do $b² = a²+c²$.

Istnieje kilka sposobów obliczania pola trójkąta:

• Z podstawy i wysokości: $P_Δ = \frac{a·h}{2}$
• Z dwóch boków i kąta między nimi: $P_Δ = \frac{1}{2}ab sin\gamma$
• Wykorzystując promień okręgu wpisanego: $P_Δ = \frac{(a+b+c)r}{2}$
• Wykorzystując promień okręgu opisanego: $P_Δ = \frac{abc}{4R}$

W przypadku trójkąta równobocznego o boku a, pole wynosi $P = \frac{a²\sqrt{3}}{4}$, a wysokość $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Promień okręgu opisanego to $R = \frac{2}{3}h$, a wpisanego $r = \frac{1}{3}h$.