Otwórz aplikację

Przedmioty

Graniastosłupy i Ostrosłupy: Rodzaje i Wzory

1248

16

user profile picture

__zuza__notatki

9.08.2025

Matematyka

Graniastosłupy i Ostrosłupy

32 671

9 sie 2025

2 strony

Graniastosłupy i Ostrosłupy: Rodzaje i Wzory

user profile picture

__zuza__notatki

@__zuza__

Graniastosłupy i ostrosłupy to podstawowe bryły w geometrii przestrzennej, które... Pokaż więcej


<p>Graniastosłup to wielościan, którego wszystkie wierzchołki leżą na równoległych płaszczyznach, a krawędzie nieleżące na tych płaszczyzna

Graniastosłupy

Graniastosłup to wielościan z dwiema równoległymi, przystającymi podstawami. Możesz go sobie wyobrazić jak pudełko czy słup - stąd nazwa. Ściany boczne graniastosłupa prostego to zawsze prostokąty.

Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny (np. kwadrat, trójkąt równoboczny), to mówimy o graniastosłupie prawidłowym. Na przykład pudełko w kształcie sześcianu to graniastosłup prawidłowy czworokątny.

Graniastosłup prosty n-kątny (gdzie n to liczba boków podstawy) ma:

  • (n+2) ściany (2 podstawy + n ścian bocznych)
  • 2n wierzchołków
  • 3n krawędzi

Wskazówka: Żeby obliczyć objętość graniastosłupa prostego, pomnóż pole podstawy przez wysokość: V = Pp × H. To trochę jak liczenie objętości pudełka!

Najważniejsze wzory:

  • Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2Pp + Pb (dwie podstawy + pole powierzchni bocznej)
  • Objętość: V = Pp × H (pole podstawy × wysokość)
  • Dla prostopadłościanu: V = a × b × c (długość × szerokość × wysokość)
  • Dla sześcianu: V = a³, a jego przekątna d = a√3

Rodzaje graniastosłupów to m.in. graniastosłup prosty trójkątny prostokątny, graniastosłup prosty o podstawie rombu czy graniastosłup prawidłowy sześciokątny - nazwa zawsze określa kształt podstawy.


<p>Graniastosłup to wielościan, którego wszystkie wierzchołki leżą na równoległych płaszczyznach, a krawędzie nieleżące na tych płaszczyzna

Ostrosłupy

Ostrosłup wygląda jak piramida - ma jedną podstawę i ściany boczne w kształcie trójkątów, które zbiegają się w jednym punkcie. Ten punkt to wierzchołek ostrosłupa, a odległość od niego do podstawy to wysokość ostrosłupa.

Rodzaje ostrosłupów określamy po kształcie podstawy - może być ostrosłup trójkątny, czworokątny itd. Ostrosłup n-kątny (gdzie n to liczba boków podstawy) ma:

  • (n+1) ścian (podstawa + n ścian bocznych)
  • (n+1) wierzchołków
  • 2n krawędzi

Ostrosłup prosty ma wszystkie krawędzie boczne równej długości. Jeśli dodatkowo jego podstawa to wielokąt foremny, a ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne, mówimy o ostrosłupie prawidłowym.

Ciekawostka: Ostrosłup zajmuje dokładnie 1/3 objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości! Dlatego V = (1/3) × Pp × H.

Najważniejsze wzory:

  • Objętość ostrosłupa: V = (1/3) × Pp × H
  • Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pb + Pp (pole podstawy + suma pól ścian bocznych)

Wyjątkowym przypadkiem jest czworościan foremny - ostrosłup, którego wszystkie ściany to przystające trójkąty równoboczne. Punkt, w którym spodek wysokości ostrosłupa dotyka podstawy, jest ważny przy obliczaniu jego wymiarów.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

32 671

9 sie 2025

2 strony

Graniastosłupy i Ostrosłupy: Rodzaje i Wzory

user profile picture

__zuza__notatki

@__zuza__

Graniastosłupy i ostrosłupy to podstawowe bryły w geometrii przestrzennej, które spotykasz wszędzie wokół siebie - od pudełek na prezenty po dachy budynków. Te wielościany różnią się budową, ale mają wspólne cechy, które pomogą Ci je zrozumieć i obliczyć ich objętość... Pokaż więcej


<p>Graniastosłup to wielościan, którego wszystkie wierzchołki leżą na równoległych płaszczyznach, a krawędzie nieleżące na tych płaszczyzna

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Graniastosłupy

Graniastosłup to wielościan z dwiema równoległymi, przystającymi podstawami. Możesz go sobie wyobrazić jak pudełko czy słup - stąd nazwa. Ściany boczne graniastosłupa prostego to zawsze prostokąty.

Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny (np. kwadrat, trójkąt równoboczny), to mówimy o graniastosłupie prawidłowym. Na przykład pudełko w kształcie sześcianu to graniastosłup prawidłowy czworokątny.

Graniastosłup prosty n-kątny (gdzie n to liczba boków podstawy) ma:

  • (n+2) ściany (2 podstawy + n ścian bocznych)
  • 2n wierzchołków
  • 3n krawędzi

Wskazówka: Żeby obliczyć objętość graniastosłupa prostego, pomnóż pole podstawy przez wysokość: V = Pp × H. To trochę jak liczenie objętości pudełka!

Najważniejsze wzory:

  • Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2Pp + Pb (dwie podstawy + pole powierzchni bocznej)
  • Objętość: V = Pp × H (pole podstawy × wysokość)
  • Dla prostopadłościanu: V = a × b × c (długość × szerokość × wysokość)
  • Dla sześcianu: V = a³, a jego przekątna d = a√3

Rodzaje graniastosłupów to m.in. graniastosłup prosty trójkątny prostokątny, graniastosłup prosty o podstawie rombu czy graniastosłup prawidłowy sześciokątny - nazwa zawsze określa kształt podstawy.


<p>Graniastosłup to wielościan, którego wszystkie wierzchołki leżą na równoległych płaszczyznach, a krawędzie nieleżące na tych płaszczyzna

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ostrosłupy

Ostrosłup wygląda jak piramida - ma jedną podstawę i ściany boczne w kształcie trójkątów, które zbiegają się w jednym punkcie. Ten punkt to wierzchołek ostrosłupa, a odległość od niego do podstawy to wysokość ostrosłupa.

Rodzaje ostrosłupów określamy po kształcie podstawy - może być ostrosłup trójkątny, czworokątny itd. Ostrosłup n-kątny (gdzie n to liczba boków podstawy) ma:

  • (n+1) ścian (podstawa + n ścian bocznych)
  • (n+1) wierzchołków
  • 2n krawędzi

Ostrosłup prosty ma wszystkie krawędzie boczne równej długości. Jeśli dodatkowo jego podstawa to wielokąt foremny, a ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne, mówimy o ostrosłupie prawidłowym.

Ciekawostka: Ostrosłup zajmuje dokładnie 1/3 objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości! Dlatego V = (1/3) × Pp × H.

Najważniejsze wzory:

  • Objętość ostrosłupa: V = (1/3) × Pp × H
  • Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pb + Pp (pole podstawy + suma pól ścian bocznych)

Wyjątkowym przypadkiem jest czworościan foremny - ostrosłup, którego wszystkie ściany to przystające trójkąty równoboczne. Punkt, w którym spodek wysokości ostrosłupa dotyka podstawy, jest ważny przy obliczaniu jego wymiarów.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS