Przedmioty

SchoolGPT

Kariera

SchoolAI

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Teoria Kombinatoryki Wyborowej

Kombinatoryka

Matematyka

22 lis 2025

3714

5 strony

Kombinatoryka: narzędzia i sposoby rozwiązywania

A

Aleksandra Kmiecik @aleksandrakmiecik_uqb3

Kombinatoryka to dział matematyki, który pomoże ci policzyć, na ile sposobów można coś wybierać lub ustawiać. Dzięki prostym... Pokaż więcej

# Kombinatoryka I. NARZĘDZIA silnia iloczyn liczb naturalnych dodatnich silnia n! = 1.2.3.4.... η 0! = 1 пр. 4! = 1-2-3-4 = 24 $ \frac{

Podstawowe narzędzia kombinatoryki

Silnia to twój pierwszy i najważniejszy tool w kombinatoryce. To po prostu iloczyn kolejnych liczb naturalnych - na przykład 4! = 1×2×3×4 = 24. Pamiętaj, że 0! = 1 (tak, to może wydawać się dziwne, ale tak jest z definicji).

Kluczowym pytaniem w kombinatoryce jest czy kolejność ma znaczenie? Jeśli tak - używasz metody mnożenia. Jeśli nie - sięgasz po dwumian Newtona symbol $\binom{n}{k}$, czytany "n nad k".

Dwumian Newtona obliczasz wzorem (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. To pokazuje, na ile sposobów możesz wybrać k elementów z n elementów, gdy kolejność nie jest ważna.

Wskazówka Gdy zastanawiasz się nad zadaniem, zawsze najpierw zadaj sobie pytanie o kolejność - to określi całą strategię rozwiązania!

# Kombinatoryka I. NARZĘDZIA silnia iloczyn liczb naturalnych dodatnich silnia n! = 1.2.3.4.... η 0! = 1 пр. 4! = 1-2-3-4 = 24 $ \frac{

Metody rozwiązywania zadań

W zadaniach z windą widzisz metodę mnożenia w działaniu. Gdy kolejność ma znaczenie, po prostu mnożysz liczbę możliwości dla każdej pozycji. Jeśli pasażerowie mogą wysiąść na dowolnych piętrach - każdy ma 8 możliwości, więc razem 8×8×8 = 512.

Metoda pudła sprawdza się przy zadaniach z delegacjami. Gdy wybierasz 3 kobiety z 10 i 2 mężczyzn z 5, obliczasz (103)×(52)\binom{10}{3} × \binom{5}{2}. Każdą grupę losujesz osobno, a potem mnożysz wyniki.

Metoda kwadratu to sposób na zadania z kostkami czy kartami. Rysujesz siatkę wszystkich możliwości i zaznaczasz te, które spełniają warunki zadania.

Pamiętaj Przy "co najwyżej" lub "co najmniej" często musisz zsumować kilka przypadków osobno!

# Kombinatoryka I. NARZĘDZIA silnia iloczyn liczb naturalnych dodatnich silnia n! = 1.2.3.4.... η 0! = 1 пр. 4! = 1-2-3-4 = 24 $ \frac{

Wzory teoretyczne - tabela ratunkowa

Masz sześć głównych typów zadań kombinatorycznych. Permutacje $P_n = n!$ to ustawianie wszystkich elementów w kolejności. Kombinacje $\binom{n}{k}$ to wybieranie bez znaczenia kolejności.

Wariacje $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ to wybieranie z zachowaniem kolejności. Gdy elementy mogą się powtarzać, masz permutacje z powtórzeniem, kombinacje z powtórzeniem $\binom{n+k-1}{k}$ i wariacje z powtórzeniem $n^k$.

Przykład z żołnierzami n=5, k=5, kolejność ważna, bez powtórzeń = permutacje = 5! = 120. Przykład z owocami n=3 rodzaje, k=5 owoców, kolejność nieważna, z powtórzeniami = kombinacje z powtórzeniem = (75)=21\binom{7}{5} = 21.

Trick Zawsze najpierw odpowiedz na dwa pytania kolejność ważna? powtórzenia możliwe? - to wskaże ci właściwy wzór!

# Kombinatoryka I. NARZĘDZIA silnia iloczyn liczb naturalnych dodatnich silnia n! = 1.2.3.4.... η 0! = 1 пр. 4! = 1-2-3-4 = 24 $ \frac{

Zastosowanie w geometrii

Kombinatorykę możesz stosować nawet do zadań z trójkątami! Z 6 odcinków o długościach 2,3,4,5,6,7 możesz utworzyć (63)=20\binom{6}{3} = 20 różnych trójek.

Ale nie każda trójka tworzy trójkąt - musisz sprawdzić nierówność trójkąta suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Z 20 możliwych kombinacji tylko część będzie prawidłowymi trójkątami.

Do klasyfikacji trójkątów używasz twierdzenia Pitagorasa w różnych wariantach a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2 (prostokątny), a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2 (rozwartokątny), a2<b2+c2a^2 < b^2 + c^2 (ostrokątny).

Praktyczna rada W zadaniach geometrycznych zawsze sprawdzaj najpierw, czy dana kombinacja w ogóle może istnieć!

# Kombinatoryka I. NARZĘDZIA silnia iloczyn liczb naturalnych dodatnich silnia n! = 1.2.3.4.... η 0! = 1 пр. 4! = 1-2-3-4 = 24 $ \frac{

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

61

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Permutacje i Kombinacje

Zgłębiaj zasady kombinatoryki, w tym regułę mnożenia, permutacje, wariacje oraz kombinacje. Dowiedz się, jak obliczać liczby permutacji i kombinacji oraz poznaj kluczowe definicje i wzory. Idealne dla studentów matematyki i osób przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
3

Kombinatoryka: Podstawy i Zastosowania

Zgłębiaj podstawowe pojęcia kombinatoryki, w tym permutacje, współczynniki dwumianowe oraz zastosowania silni. Materiał obejmuje kluczowe zagadnienia z matematyki i pre-calculus, idealny dla uczniów przygotowujących się do matury. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
4

Kombinatoryka i Prawdopodobieństwo

Zbiór zadań maturalnych z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Obejmuje obliczenia dotyczące liczb naturalnych, permutacji, prawdopodobieństwa zdarzeń oraz reguł podzielności. Idealne materiały do nauki dla uczniów przygotowujących się do matury.

MatematykaMatematyka
4

Prawdopodobieństwo w Rachunku

Zgłębiaj zasady rachunku prawdopodobieństwa z tego szczegółowego opracowania. Dowiedz się, jak obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń przy użyciu kostek i kul, oraz poznaj kluczowe pojęcia, takie jak zdarzenia sprzyjające, iloczyn i suma prawdopodobieństw. Idealne dla studentów matematyki i statystyki. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
4

Prawdopodobieństwo Zdarzeń

Zrozum podstawowe zasady prawdopodobieństwa z tej ściągi, idealnej dla uczniów 4 klasy liceum. Dowiedz się, jak obliczać prawdopodobieństwo zdarzeń, korzystając z przykładów dotyczących losowania kul oraz zestawiania posiłków. Kluczowe pojęcia: zdarzenia elementarne, moc zbioru, zasady mnożenia i dodawania. Typ: ściąga.

MatematykaMatematyka
4

Podstawy Kombinatoryki

Zrozumienie podstawowych pojęć kombinatoryki, w tym reguły mnożenia, wariacji, permutacji i kombinacji. Przykłady ilustrujące obliczenia silni oraz zastosowanie wzorów do rozwiązywania problemów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
3

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Teoria Kombinatoryki Wyborowej

Kombinatoryka

 

Matematyka

•

3714

•

22 lis 2025

•

5 strony

Kombinatoryka: narzędzia i sposoby rozwiązywania

A

Aleksandra Kmiecik

@aleksandrakmiecik_uqb3

Kombinatoryka to dział matematyki, który pomoże ci policzyć, na ile sposobów można coś wybierać lub ustawiać. Dzięki prostym metodom i wzorem będziesz mógł rozwiązać nawet skomplikowane zadania dotyczące losowań i permutacji.

# Kombinatoryka I. NARZĘDZIA silnia iloczyn liczb naturalnych dodatnich silnia n! = 1.2.3.4.... η 0! = 1 пр. 4! = 1-2-3-4 = 24 $ \frac{

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe narzędzia kombinatoryki

Silnia to twój pierwszy i najważniejszy tool w kombinatoryce. To po prostu iloczyn kolejnych liczb naturalnych - na przykład 4! = 1×2×3×4 = 24. Pamiętaj, że 0! = 1 (tak, to może wydawać się dziwne, ale tak jest z definicji).

Kluczowym pytaniem w kombinatoryce jest: czy kolejność ma znaczenie? Jeśli tak - używasz metody mnożenia. Jeśli nie - sięgasz po dwumian Newtona symbol $\binom{n}{k}$, czytany "n nad k".

Dwumian Newtona obliczasz wzorem: (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. To pokazuje, na ile sposobów możesz wybrać k elementów z n elementów, gdy kolejność nie jest ważna.

Wskazówka: Gdy zastanawiasz się nad zadaniem, zawsze najpierw zadaj sobie pytanie o kolejność - to określi całą strategię rozwiązania!

# Kombinatoryka I. NARZĘDZIA silnia iloczyn liczb naturalnych dodatnich silnia n! = 1.2.3.4.... η 0! = 1 пр. 4! = 1-2-3-4 = 24 $ \frac{

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Metody rozwiązywania zadań

W zadaniach z windą widzisz metodę mnożenia w działaniu. Gdy kolejność ma znaczenie, po prostu mnożysz liczbę możliwości dla każdej pozycji. Jeśli pasażerowie mogą wysiąść na dowolnych piętrach - każdy ma 8 możliwości, więc razem 8×8×8 = 512.

Metoda pudła sprawdza się przy zadaniach z delegacjami. Gdy wybierasz 3 kobiety z 10 i 2 mężczyzn z 5, obliczasz (103)×(52)\binom{10}{3} × \binom{5}{2}. Każdą grupę losujesz osobno, a potem mnożysz wyniki.

Metoda kwadratu to sposób na zadania z kostkami czy kartami. Rysujesz siatkę wszystkich możliwości i zaznaczasz te, które spełniają warunki zadania.

Pamiętaj: Przy "co najwyżej" lub "co najmniej" często musisz zsumować kilka przypadków osobno!

# Kombinatoryka I. NARZĘDZIA silnia iloczyn liczb naturalnych dodatnich silnia n! = 1.2.3.4.... η 0! = 1 пр. 4! = 1-2-3-4 = 24 $ \frac{

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory teoretyczne - tabela ratunkowa

Masz sześć głównych typów zadań kombinatorycznych. Permutacje $P_n = n!$ to ustawianie wszystkich elementów w kolejności. Kombinacje $\binom{n}{k}$ to wybieranie bez znaczenia kolejności.

Wariacje $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ to wybieranie z zachowaniem kolejności. Gdy elementy mogą się powtarzać, masz permutacje z powtórzeniem, kombinacje z powtórzeniem $\binom{n+k-1}{k}$ i wariacje z powtórzeniem $n^k$.

Przykład z żołnierzami: n=5, k=5, kolejność ważna, bez powtórzeń = permutacje = 5! = 120. Przykład z owocami: n=3 rodzaje, k=5 owoców, kolejność nieważna, z powtórzeniami = kombinacje z powtórzeniem = (75)=21\binom{7}{5} = 21.

Trick: Zawsze najpierw odpowiedz na dwa pytania: kolejność ważna? powtórzenia możliwe? - to wskaże ci właściwy wzór!

# Kombinatoryka I. NARZĘDZIA silnia iloczyn liczb naturalnych dodatnich silnia n! = 1.2.3.4.... η 0! = 1 пр. 4! = 1-2-3-4 = 24 $ \frac{

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zastosowanie w geometrii

Kombinatorykę możesz stosować nawet do zadań z trójkątami! Z 6 odcinków o długościach 2,3,4,5,6,7 możesz utworzyć (63)=20\binom{6}{3} = 20 różnych trójek.

Ale nie każda trójka tworzy trójkąt - musisz sprawdzić nierówność trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Z 20 możliwych kombinacji tylko część będzie prawidłowymi trójkątami.

Do klasyfikacji trójkątów używasz twierdzenia Pitagorasa w różnych wariantach: a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2 (prostokątny), a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2 (rozwartokątny), a2<b2+c2a^2 < b^2 + c^2 (ostrokątny).

Praktyczna rada: W zadaniach geometrycznych zawsze sprawdzaj najpierw, czy dana kombinacja w ogóle może istnieć!

# Kombinatoryka I. NARZĘDZIA silnia iloczyn liczb naturalnych dodatnich silnia n! = 1.2.3.4.... η 0! = 1 пр. 4! = 1-2-3-4 = 24 $ \frac{

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

61

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Permutacje i Kombinacje

Zgłębiaj zasady kombinatoryki, w tym regułę mnożenia, permutacje, wariacje oraz kombinacje. Dowiedz się, jak obliczać liczby permutacji i kombinacji oraz poznaj kluczowe definicje i wzory. Idealne dla studentów matematyki i osób przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
3

Kombinatoryka: Podstawy i Zastosowania

Zgłębiaj podstawowe pojęcia kombinatoryki, w tym permutacje, współczynniki dwumianowe oraz zastosowania silni. Materiał obejmuje kluczowe zagadnienia z matematyki i pre-calculus, idealny dla uczniów przygotowujących się do matury. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
4

Kombinatoryka i Prawdopodobieństwo

Zbiór zadań maturalnych z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Obejmuje obliczenia dotyczące liczb naturalnych, permutacji, prawdopodobieństwa zdarzeń oraz reguł podzielności. Idealne materiały do nauki dla uczniów przygotowujących się do matury.

MatematykaMatematyka
4

Prawdopodobieństwo w Rachunku

Zgłębiaj zasady rachunku prawdopodobieństwa z tego szczegółowego opracowania. Dowiedz się, jak obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń przy użyciu kostek i kul, oraz poznaj kluczowe pojęcia, takie jak zdarzenia sprzyjające, iloczyn i suma prawdopodobieństw. Idealne dla studentów matematyki i statystyki. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
4

Prawdopodobieństwo Zdarzeń

Zrozum podstawowe zasady prawdopodobieństwa z tej ściągi, idealnej dla uczniów 4 klasy liceum. Dowiedz się, jak obliczać prawdopodobieństwo zdarzeń, korzystając z przykładów dotyczących losowania kul oraz zestawiania posiłków. Kluczowe pojęcia: zdarzenia elementarne, moc zbioru, zasady mnożenia i dodawania. Typ: ściąga.

MatematykaMatematyka
4

Podstawy Kombinatoryki

Zrozumienie podstawowych pojęć kombinatoryki, w tym reguły mnożenia, wariacji, permutacji i kombinacji. Przykłady ilustrujące obliczenia silni oraz zastosowanie wzorów do rozwiązywania problemów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
3

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS