Kombinatoryka

Kombinatoryka zajmuje się liczeniem możliwych układów elementów. Jest niezwykle przydatna przy rozwiązywaniu zadań, w których musimy określić liczbę możliwych przypadków lub kombinacji.

W tej sekcji nauczysz się, jak systematycznie podchodzić do zadań kombinatorycznych, rozbijając je na prostsze kroki i stosując regułę mnożenia.

💡 Pamiętaj, że w kombinatoryce kluczem do sukcesu jest metodyczne podejście - rozłóż problem na mniejsze części i analizuj je krok po kroku!

Liczby podzielne przez 25 i nieparzyste

Zadanie wymaga policzenia wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są jednocześnie nieparzyste i podzielne przez 25.

Musimy najpierw ustalić, jakie warunki muszą spełniać te liczby. Aby liczba była podzielna przez 25, jej dwie ostatnie cyfry muszą być 00, 25, 50 lub 75. Ponieważ liczba ma być też nieparzysta, ostatnia cyfra musi być nieparzysta - z wymienionych opcji pozostają nam tylko dwie możliwości: 25 lub 75.

Cztery cyfry naszej liczby musimy wybrać w następujący sposób:

• Na miejscu tysięcy: cyfry od 1 do 9 (9 możliwości)
• Na miejscu setek: cyfry od 0 do 9 (10 możliwości)
• Na miejscu dziesiątek: tylko 2 lub 7 (2 możliwości)
• Na miejscu jedności: tylko 5 (1 możliwość)

Rozwiązanie zadania 3

Aby rozwiązać zadanie, stosujemy regułę mnożenia - mnożymy liczbę możliwości dla każdej pozycji:

9 (możliwości dla cyfry tysięcy) × 10 (możliwości dla cyfry setek) × 2 (możliwości dla cyfry dziesiątek) × 1 (możliwość dla cyfry jedności) = 9 × 10 × 2 = 180

Mamy więc 180 różnych liczb spełniających warunki zadania. Odpowiedź to B: 9·10·2.

⚡ Zwróć uwagę, jak ważne jest precyzyjne określenie warunków podzielności! Liczba nieparzysta podzielna przez 25 musi kończyć się na 5, a przedostatnia cyfra musi być parzysta (2) lub nieparzysta (7).

To typowy przykład zadania, w którym musisz zacząć od dokładnego zrozumienia, jakie warunki muszą być spełnione, a następnie liczyć możliwości krok po kroku.

Liczby czterocyfrowe o różnych cyfrach

W tym zadaniu szukamy liczby wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie wszystkie cyfry są różne.

Liczba czterocyfrowa to taka, która ma co najmniej 1000, a mniej niż 10000. To ważne, bo pierwsza cyfra nie może być zerem (inaczej byłaby liczbą trzycyfrową).

W tym zadaniu musimy zwrócić szczególną uwagę na warunek, że wszystkie cyfry muszą być różne. To oznacza, że po wybraniu cyfry na daną pozycję, nie możemy jej już użyć na pozostałych pozycjach.

Podejdźmy do tego zadania metodycznie, analizując możliwości dla każdej pozycji w liczbie czterocyfrowej.

Rozwiązanie zadania 5

Rozwiązując to zadanie, rozważamy każdą pozycję po kolei:

• Cyfra tysięcy: możemy użyć cyfr 1-9 (nie może być 0), czyli mamy 9 możliwości
• Cyfra setek: możemy użyć dowolnej cyfry 0-9 oprócz tej, która jest już na pozycji tysięcy, czyli mamy 9 możliwości
• Cyfra dziesiątek: możemy użyć dowolnej cyfry 0-9 oprócz tych, które są już na pozycjach tysięcy i setek, czyli mamy 8 możliwości
• Cyfra jedności: możemy użyć dowolnej cyfry 0-9 oprócz tych, które są już na wcześniejszych pozycjach, czyli mamy 7 możliwości

Stosując regułę mnożenia, otrzymujemy: 9 × 9 × 8 × 7 = 4536 różnych liczb.

🔍 Zwróć uwagę, że dla każdej kolejnej cyfry mamy coraz mniej możliwości! To kluczowa koncepcja w zadaniach o permutacjach z ograniczeniami.

Odpowiedź B: 9·9·8·7 jest poprawna.