Język polski
Biologia
Chemia
Historia
Geografia
Aparat ruchu
Układ wydalniczy
Komórka
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Genetyka klasyczna
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Systematyka związków nieorganicznych
Węglowodory
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Świat substancji
Pochodne węglowodorów
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Gazy i ich mieszaniny
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
862
•
7 gru 2025
•
NAUKA DO MATURY
@matura.czas.start
Cześć! Dziś zajmiemy się liczbami rzeczywistymi - podstawą całej matematyki.... Pokaż więcej
Zbiór liczb naturalnych N to podstawowe liczby, których używamy do liczenia (1, 2, 3...). Gdy mamy dwie liczby naturalne, możemy znaleźć ich największy wspólny dzielnik (NWD) oraz najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW), co przydaje się w wielu zadaniach matematycznych.
Liczby całkowite (Z) to rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o zero i liczby ujemne (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...). Z kolei liczby wymierne (Q) to wszystkie liczby, które można zapisać jako ułamek dwóch liczb całkowitych .
Liczby niewymierne (IQ) to te, których nie da się zapisać jako ułamek - przykładami są π czy pierwiastek kwadratowy z liczb niebędących kwadratami doskonałymi (np. √5).
💡 Warto zapamiętać! Każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci dziesiętnej skończonej lub okresowej. Jeśli widzisz rozwinięcie okresowe, masz do czynienia z liczbą wymierną.
Pierwiastek kwadratowy (√a) to liczba, która pomnożona sama przez siebie daje a. Najważniejsze własności: √(a·b) = √a · √b oraz √ = √a/√b. Pamiętaj też, że √a² = a oraz a^(1/2) = √a.
Pierwiastek sześcienny (∛a) działa podobnie - to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje a. Dla pierwiastków nieparzystego stopnia (∛a, ⁵√a itd.) działają podobne reguły co przy pierwiastkach kwadratowych.
Przy potęgach o wykładniku całkowitym warto znać podstawowe zasady: a⁰ = 1, a¹ = a, a² = a·a. Główne działania to: a^n · a^m = a^, a^n : a^m = a^, ^m = a^(n·m).
🔢 Sprytna sztuczka! Potęgę o wykładniku wymiernym można zapisać na dwa sposoby: a^ = ᵐ√ lub a^ = (ᵐ√a)^n. Wykorzystaj to przy rozwiązywaniu trudniejszych zadań!
Pamiętaj też, że dla iloczynów i ilorazów: (a·b)^n = a^n · b^n oraz ^n = a^n/b^n.
Logarytm to potężne narzędzie matematyczne, które pomaga rozwiązywać równania wykładnicze. Logarytm o podstawie a z liczby b to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść a, aby otrzymać b.
Podstawowa definicja: log_a b = x wtedy i tylko wtedy, gdy a^x = b. Warto zapamiętać szczególne przypadki: log_a a = 1 oraz log_a 1 = 0.
Logarytmy mają bardzo przydatne własności, które pozwalają uprościć skomplikowane wyrażenia:
📝 Praktyczna wskazówka: Gdy masz do czynienia z równaniami wykładniczymi, spróbuj zlogarytmować obie strony - to często prowadzi do prostszego rozwiązania!
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
NAUKA DO MATURY
@matura.czas.start
Cześć! Dziś zajmiemy się liczbami rzeczywistymi - podstawą całej matematyki. Poznasz różne rodzaje liczb, działania na nich oraz pojęcia takie jak pierwiastki, potęgi i logarytmy, które są niezbędne do rozwiązywania zadań matematycznych.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Zbiór liczb naturalnych N to podstawowe liczby, których używamy do liczenia (1, 2, 3...). Gdy mamy dwie liczby naturalne, możemy znaleźć ich największy wspólny dzielnik (NWD) oraz najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW), co przydaje się w wielu zadaniach matematycznych.
Liczby całkowite (Z) to rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o zero i liczby ujemne (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...). Z kolei liczby wymierne (Q) to wszystkie liczby, które można zapisać jako ułamek dwóch liczb całkowitych .
Liczby niewymierne (IQ) to te, których nie da się zapisać jako ułamek - przykładami są π czy pierwiastek kwadratowy z liczb niebędących kwadratami doskonałymi (np. √5).
💡 Warto zapamiętać! Każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci dziesiętnej skończonej lub okresowej. Jeśli widzisz rozwinięcie okresowe, masz do czynienia z liczbą wymierną.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Pierwiastek kwadratowy (√a) to liczba, która pomnożona sama przez siebie daje a. Najważniejsze własności: √(a·b) = √a · √b oraz √ = √a/√b. Pamiętaj też, że √a² = a oraz a^(1/2) = √a.
Pierwiastek sześcienny (∛a) działa podobnie - to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje a. Dla pierwiastków nieparzystego stopnia (∛a, ⁵√a itd.) działają podobne reguły co przy pierwiastkach kwadratowych.
Przy potęgach o wykładniku całkowitym warto znać podstawowe zasady: a⁰ = 1, a¹ = a, a² = a·a. Główne działania to: a^n · a^m = a^, a^n : a^m = a^, ^m = a^(n·m).
🔢 Sprytna sztuczka! Potęgę o wykładniku wymiernym można zapisać na dwa sposoby: a^ = ᵐ√ lub a^ = (ᵐ√a)^n. Wykorzystaj to przy rozwiązywaniu trudniejszych zadań!
Pamiętaj też, że dla iloczynów i ilorazów: (a·b)^n = a^n · b^n oraz ^n = a^n/b^n.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Logarytm to potężne narzędzie matematyczne, które pomaga rozwiązywać równania wykładnicze. Logarytm o podstawie a z liczby b to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść a, aby otrzymać b.
Podstawowa definicja: log_a b = x wtedy i tylko wtedy, gdy a^x = b. Warto zapamiętać szczególne przypadki: log_a a = 1 oraz log_a 1 = 0.
Logarytmy mają bardzo przydatne własności, które pozwalają uprościć skomplikowane wyrażenia:
📝 Praktyczna wskazówka: Gdy masz do czynienia z równaniami wykładniczymi, spróbuj zlogarytmować obie strony - to często prowadzi do prostszego rozwiązania!
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
17
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
Notatka z matematyki 1 klasa szkoły ponadpodstawowej, dział 2
MatematykaLogarytmy podstawa i rozszerzenie. #logarytm #matma #matematyka #logarytmy #matura
MatematykaZrozumienie logarytmów: definicje, logarytm dziesiętny, zamiana podstaw oraz działania na logarytmach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaRozwiązywanie zadań dotyczących logarytmów, w tym obliczenia logarytmów, właściwości funkcji logarytmicznych oraz zastosowanie w równaniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaRozwiąż zadania dotyczące logarytmów, w tym obliczenia wartości logarytmów, zastosowanie reguł logarytmicznych oraz rozwiązywanie równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki.
MatematykaOdkryj kluczowe wzory logarytmiczne i przykłady ich zastosowania. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy oraz stosować zasady logarytmiczne, takie jak logarytm dziesiętny i operacje na logarytmach. Idealne dla uczniów i studentów matematyki.
MatematykaApp Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
