Matematyka

Klasyfikacja Liczb Rzeczywistych

Liczby rzeczywiste

704

•

1 sty 2026

•

6 strony

Liczby Rzeczywiste - Matematyka Klasa 1 Zakres Podstawowy

xciabo

@oliwka232

Zapoznaj się z podstawami teorii liczb, które pomogą Ci rozumieć... Pokaż więcej

1 / 6

$--- OCR Start --- LICIBY NATURALNE - N 0,1,2,3... 2in-licrby pamyste 2r+1-\underline{6a}by niepanyole Liczba pierwsza ma diwa dzielniki (1 i$

Zbiory liczbowe i ich właściwości

Zbiór liczb naturalnych (oznaczany jako N) zawiera liczby 0, 1, 2, 3... Możemy je podzielić na liczby parzyste (2n) i nieparzyste $2n+1$ .

W zbiorze liczb naturalnych wyróżniamy liczby pierwsze, które mają tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Każda inna liczba naturalna to liczba złożona.

Ważne pojęcia przy obliczeniach na liczbach to:

NWD - największy wspólny dzielnik
NWW - najmniejsza wspólna wielokrotność

💡 Pamiętaj! Aby znaleźć NWW dwóch liczb, możesz pomnożyć jedną liczbę przez niepowtarzające się czynniki drugiej liczby. Na przykład: NWW(30, 105) = 30 × 7 = 210.

Zbiór liczb całkowitych (Z) zawiera wszystkie liczby naturalne, ich przeciwności i zero. Zbiór liczb wymiernych (Q) obejmuje wszystkie ułamki, w tym liczby całkowite.

$--- OCR Start --- LICIBY NATURALNE - N 0,1,2,3... 2in-licrby pamyste 2r+1-\underline{6a}by niepanyole Liczba pierwsza ma diwa dzielniki (1 i$

Działania na liczbach wymiernych i rodzaje liczb

Operacje na ułamkach wymagają pamiętania kilku wzorów:

Dodawanie: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
Odejmowanie: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$
Mnożenie: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
Dzielenie: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

Liczby niewymierne (IQ) to liczby, które nie dają się zapisać w postaci ułamka. Razem z liczbami wymiernymi tworzą zbiór liczb rzeczywistych (R).

Rozwinięcie dziesiętne ułamka możemy uzyskać dzieląc licznik przez mianownik, np. $\frac{6}{25} = 0,24$ .

💡 Zapamiętaj hierarchię zbiorów liczbowych: liczby naturalne są podzbiorem liczb całkowitych, które są podzbiorem liczb wymiernych, a te wraz z niewymiernymi tworzą liczby rzeczywiste.

Pierwiastek kwadratowy liczby a to taka liczba b, że b² = a. Na przykład $\sqrt{36} = 6$ , ponieważ 6² = 36. Pamiętaj, że $\sqrt{(-5)^2} = 5$ , a nie -5!

$--- OCR Start --- LICIBY NATURALNE - N 0,1,2,3... 2in-licrby pamyste 2r+1-\underline{6a}by niepanyole Liczba pierwsza ma diwa dzielniki (1 i$

Własności pierwiastków

Pierwiastek możemy wyciągać zarówno z iloczynu jak i z ilorazu:

Z iloczynu: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
Z ilorazu: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Pierwiastek sześcienny z liczby a to taka liczba b, że b³ = a. Te same własności co dla pierwiastka kwadratowego stosują się również do sześciennego.

Aby usunąć niewymierność z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek: $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

💡 Trick: Żeby wyłączyć czynnik przed pierwiastek, szukaj liczb, które są pełnymi kwadratami (dla √) lub sześcianami (dla ∛). Na przykład: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ .

Dla dowolnej liczby nieujemnej a oraz parzystego n, $\sqrt[n]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy b^n = a. Dla nieparzystego n, warunek ten działa dla każdej liczby rzeczywistej a.

$--- OCR Start --- LICIBY NATURALNE - N 0,1,2,3... 2in-licrby pamyste 2r+1-\underline{6a}by niepanyole Liczba pierwsza ma diwa dzielniki (1 i$

Potęgi i logarytmy

Pierwiastki można zapisać jako potęgi o wykładniku ułamkowym:

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$

Liczby w mianowniku możemy zapisać jako potęgi o wykładniku ujemnym:

$\frac{1}{9} = 9^{-1}$
$\frac{1}{8} = 8^{-1}$

Logarytm liczby b przy podstawie a, zapisywany jako log_a(b), to taka liczba c, że a^c = b.

💡 Najważniejsze: logarytm to operacja odwrotna do potęgowania! Jeśli a^c = b, to log_a(b) = c.

Przykład obliczania logarytmu: log_2(√8) = x

Zapisujemy równanie: 2^x = √8
Przekształcamy: 2^x = $2^3$ ^(1/2) = 2^(3/2)
Porównujemy wykładniki: x = 3/2
Więc log_2(√8) = 3/2

$--- OCR Start --- LICIBY NATURALNE - N 0,1,2,3... 2in-licrby pamyste 2r+1-\underline{6a}by niepanyole Liczba pierwsza ma diwa dzielniki (1 i$

Potęgi i logarytmy - własności

Potęgi o wykładnikach ułamkowych reprezentują pierwiastki:

$2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
$5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}$

Potęgi o wykładnikach ujemnych oznaczają odwrotności:

$9^{-1} = \frac{1}{9}$
$8^{-1} = \frac{1}{8}$

Każdą liczbę można przedstawić jako potęgę innej liczby. Na przykład:

$\frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$
$\frac{1}{81} = 81^{-1} = (3^4)^{-1} = 3^{-4}$

💡 Praktyczna wskazówka: Jeśli chcesz obliczyć logarytm pierwiastka, zamień pierwiastek na potęgę o wykładniku ułamkowym i zastosuj właściwości logarytmów.

Podstawowe właściwości logarytmów:

log_a(1) = 0, ponieważ a^0 = 1
log_a(a) = 1, ponieważ a^1 = a
Jeśli log_a(b) = c, to a^c = b

$--- OCR Start --- LICIBY NATURALNE - N 0,1,2,3... 2in-licrby pamyste 2r+1-\underline{6a}by niepanyole Liczba pierwsza ma diwa dzielniki (1 i$

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: Liczby rzeczywiste

Operacje na zbiorach

Zrozum podstawowe operacje na zbiorach liczbowych, w tym sumę, różnicę i iloczyn zbiorów. Dowiedz się, jak oznaczać zbiory i ich elementy oraz jak stosować notację matematyczną. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Liczby Rzeczywiste - Matematyka Klasa 1 Zakres Podstawowy

Zbiory liczbowe i ich właściwości

Działania na liczbach wymiernych i rodzaje liczb

Własności pierwiastków

Potęgi i logarytmy

Potęgi i logarytmy - własności

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: Liczby rzeczywiste

Operacje na zbiorach

Zbiory Liczbowe i Rzeczywiste

Właściwości Liczb Rzeczywistych

Rodzaje Liczb Matematycznych

Rodzaje Liczb Rzeczywistych

Zbiór Liczb Rzeczywistych

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Geometria Figur Płaszczyzny

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Graniastosłupów

Operacje na Pierwiastkach

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Stereoizomeria

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Analiza Ksiąg Biblijnych

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza Dziadów III

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Liczby Rzeczywiste - Matematyka Klasa 1 Zakres Podstawowy

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zbiory liczbowe i ich właściwości

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Działania na liczbach wymiernych i rodzaje liczb

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Własności pierwiastków

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Potęgi i logarytmy

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Potęgi i logarytmy - własności

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: Liczby rzeczywiste

Operacje na zbiorach

Zbiory Liczbowe i Rzeczywiste

Właściwości Liczb Rzeczywistych

Rodzaje Liczb Matematycznych

Rodzaje Liczb Rzeczywistych

Zbiór Liczb Rzeczywistych

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Geometria Figur Płaszczyzny

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Graniastosłupów

Operacje na Pierwiastkach

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Stereoizomeria

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Analiza Ksiąg Biblijnych

Bohaterowie Zbrodni i Kary