Poznajemy logarytmy - matematyczne narzędzie, które pomoże Ci rozwiązywać równania...
Matematyka416 wyświetleń·Zaktualizowano 11 sie 2026·2 stronyLogarytmy – Podstawowe informacje i właściwości
Natalia Maj@nataliamaj
1
of 2
Definicja logarytmu
Logarytm to sposób zapisu odpowiedzi na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę, aby otrzymać inną liczbę? Zapisujemy to jako , co oznacza, że . Liczba to podstawa logarytmu (zawsze większa od zera), to liczba logarytmowana, a to wynik.
Przykładowo, , bo . Podobnie , bo . Warto zapamiętać, że (bo ) oraz (bo ).
Istnieją też inne ważne reguły jak (np. ). Wykorzystujemy te zasady przy rozwiązywaniu zadań, takich jak (ponieważ ) czy (bo ).
💡 Wskazówka: Zawsze, gdy widzisz logarytm, pomyśl o nim jako o potędze, którą szukasz! Pytasz: „Ile razy muszę pomnożyć podstawę przez siebie, aby dostać liczbę logarytmowaną?"
2
of 2
Właściwości logarytmów
Logarytmy mają kilka kluczowych właściwości, które pozwalają nam uprościć skomplikowane obliczenia. Najważniejsze z nich to: oraz .
Te reguły umożliwiają zamianę mnożenia na dodawanie i dzielenia na odejmowanie. Istnieje też wzór na logarytm potęgi: . Dzięki temu możemy wyciągnąć wykładnik potęgi przed logarytm.
Przykłady zastosowania: (bo ), (bo ), (bo ), a (bo ).
🔑 Zapamiętaj: Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie i dzielenie na odejmowanie! To dlatego logarytmy są tak przydatne w praktycznych obliczeniach.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Właściwości logarytmów
9MatematykaPowtórzenie matematyka dział 1 liczby rzeczywiste
W tej notatce jest przypominanie całego działu mam nadzieję że tobie też pomoże w nauce☺️
11,1469
MatematykaPotęgi i Logarytmy: Kluczowe Wzory
Zrozumienie potęg i logarytmów jest kluczowe w matematyce. Ten materiał omawia podstawowe wzory, właściwości logarytmów oraz ich zastosowania. Idealny dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Typ: Podsumowanie.
14178
MatematykaWłaściwości Logarytmów
Zrozumienie logarytmów: definicje, podstawowe właściwości oraz przykłady obliczeń. Materiał przeznaczony dla uczniów liceum, idealny do powtórki przed egzaminem. Obejmuje logarytm iloczynu, ilorazu oraz potęgi.
110,045295
MatematykaMatematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach
Matematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach, liceum i technikum
11,37620
Matematyka1 klasa liceum - wyrażenia algebraiczne ( potęgi, pierwiastki, logarytmy )
Notatka z matematyki 1 klasa szkoły ponadpodstawowej, dział 2
17848
MatematykaLogarytmy- wzory
Wzory logarytmów klasa 1 technikum/ liceum
13641
MatematykaWzory matematyczne do matury
Kompleksowy zbiór wzorów matematycznych niezbędnych do przygotowania się do matury. Obejmuje logarytmy, ciągi, objętości brył, funkcje trygonometryczne oraz wiele innych kluczowych zagadnień. Idealny materiał dla uczniów technikum i liceum.
13,424135
MatematykaWłasności logarytmów i nierówności
Zgłębiaj kluczowe aspekty funkcji logarytmicznych, w tym ich własności, równania oraz nierówności. Dowiedz się, jak rozwiązywać nierówności logarytmiczne oraz zrozumieć zachowanie funkcji w różnych przedziałach. Idealne dla studentów matematyki i osób przygotowujących się do egzaminów.
42,45822
MatematykaWłasności Logarytmów
Zrozumienie podstawowych i zaawansowanych właściwości logarytmów, w tym definicji, wzorów na zmianę podstawy oraz kluczowych praw logarytmicznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
11,83136
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,9992
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9270
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3950
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4710
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
52,1824
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1510
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6620
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6400
P
MatematykaProsta zamiana jednostek długości
Ćwiczenia w przeliczaniu jednostek w zakresie liczb całkowitych, np. zamiana metrów na centymetry.
51,8310
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
55,4103
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
54,0222
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,9992
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8134
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9270
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0900
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3950
K
BiologiaKorzeń- organ podziemny rośliny
prawie wszystko w temacie "korzeń- organ podziemny rośliny "
54,4072
Język polskiAnaliza Makbeta
Szczegółowa analiza dramatu 'Makbet' Williama Szekspira, obejmująca plan wydarzeń, charakterystykę bohaterów, kluczowe motywy oraz kontekst historyczny. Idealne dla studentów literatury i miłośników dramatu. Zawiera omówienie zbrodni, władzy, ambicji oraz konsekwencji moralnych w utworze.
135,982887
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS
Matematyka416 wyświetleń·Zaktualizowano 11 sie 2026·2 stronyLogarytmy – Podstawowe informacje i właściwości
Natalia Maj@nataliamaj
Poznajemy logarytmy - matematyczne narzędzie, które pomoże Ci rozwiązywać równania wykładnicze. W tych notatkach dowiesz się, czym jest logarytm, jak go obliczać i jakie ma podstawowe właściwości, które ułatwią Ci obliczenia.
1
of 2
Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Definicja logarytmu
Logarytm to sposób zapisu odpowiedzi na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę, aby otrzymać inną liczbę? Zapisujemy to jako , co oznacza, że . Liczba to podstawa logarytmu (zawsze większa od zera), to liczba logarytmowana, a to wynik.
Przykładowo, , bo . Podobnie , bo . Warto zapamiętać, że (bo ) oraz (bo ).
Istnieją też inne ważne reguły jak (np. ). Wykorzystujemy te zasady przy rozwiązywaniu zadań, takich jak (ponieważ ) czy (bo ).
💡 Wskazówka: Zawsze, gdy widzisz logarytm, pomyśl o nim jako o potędze, którą szukasz! Pytasz: „Ile razy muszę pomnożyć podstawę przez siebie, aby dostać liczbę logarytmowaną?"
2
of 2Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Właściwości logarytmów
Logarytmy mają kilka kluczowych właściwości, które pozwalają nam uprościć skomplikowane obliczenia. Najważniejsze z nich to: oraz .
Te reguły umożliwiają zamianę mnożenia na dodawanie i dzielenia na odejmowanie. Istnieje też wzór na logarytm potęgi: . Dzięki temu możemy wyciągnąć wykładnik potęgi przed logarytm.
Przykłady zastosowania: (bo ), (bo ), (bo ), a (bo ).
🔑 Zapamiętaj: Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie i dzielenie na odejmowanie! To dlatego logarytmy są tak przydatne w praktycznych obliczeniach.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Właściwości logarytmów
9MatematykaPowtórzenie matematyka dział 1 liczby rzeczywiste
W tej notatce jest przypominanie całego działu mam nadzieję że tobie też pomoże w nauce☺️
11,1469
MatematykaPotęgi i Logarytmy: Kluczowe Wzory
Zrozumienie potęg i logarytmów jest kluczowe w matematyce. Ten materiał omawia podstawowe wzory, właściwości logarytmów oraz ich zastosowania. Idealny dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Typ: Podsumowanie.
14178
MatematykaWłaściwości Logarytmów
Zrozumienie logarytmów: definicje, podstawowe właściwości oraz przykłady obliczeń. Materiał przeznaczony dla uczniów liceum, idealny do powtórki przed egzaminem. Obejmuje logarytm iloczynu, ilorazu oraz potęgi.
110,045295
MatematykaMatematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach
Matematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach, liceum i technikum
11,37620
Matematyka1 klasa liceum - wyrażenia algebraiczne ( potęgi, pierwiastki, logarytmy )
Notatka z matematyki 1 klasa szkoły ponadpodstawowej, dział 2
17848
MatematykaLogarytmy- wzory
Wzory logarytmów klasa 1 technikum/ liceum
13641
MatematykaWzory matematyczne do matury
Kompleksowy zbiór wzorów matematycznych niezbędnych do przygotowania się do matury. Obejmuje logarytmy, ciągi, objętości brył, funkcje trygonometryczne oraz wiele innych kluczowych zagadnień. Idealny materiał dla uczniów technikum i liceum.
13,424135
MatematykaWłasności logarytmów i nierówności
Zgłębiaj kluczowe aspekty funkcji logarytmicznych, w tym ich własności, równania oraz nierówności. Dowiedz się, jak rozwiązywać nierówności logarytmiczne oraz zrozumieć zachowanie funkcji w różnych przedziałach. Idealne dla studentów matematyki i osób przygotowujących się do egzaminów.
42,45822
MatematykaWłasności Logarytmów
Zrozumienie podstawowych i zaawansowanych właściwości logarytmów, w tym definicji, wzorów na zmianę podstawy oraz kluczowych praw logarytmicznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
11,83136
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,9992
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9270
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3950
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4710
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
52,1824
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1510
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6620
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6400
P
MatematykaProsta zamiana jednostek długości
Ćwiczenia w przeliczaniu jednostek w zakresie liczb całkowitych, np. zamiana metrów na centymetry.
51,8310
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
55,4103
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
54,0222
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,9992
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8134
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9270
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0900
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3950
K
BiologiaKorzeń- organ podziemny rośliny
prawie wszystko w temacie "korzeń- organ podziemny rośliny "
54,4072
Język polskiAnaliza Makbeta
Szczegółowa analiza dramatu 'Makbet' Williama Szekspira, obejmująca plan wydarzeń, charakterystykę bohaterów, kluczowe motywy oraz kontekst historyczny. Idealne dla studentów literatury i miłośników dramatu. Zawiera omówienie zbrodni, władzy, ambicji oraz konsekwencji moralnych w utworze.
135,982887
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS