Przedmioty

SchoolGPT

Kariera

SchoolAI

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

2382

•

30 lis 2025

•

3 strony

Logarytmy - zasady, przykłady, ćwiczenia

S

StarszaPani

@starszapani

Logarytmy to fascynująca część matematyki, która odwraca działanie potęgowania. W... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
1 / 3
#MatematykaElementarna Matematyka elementarna Ⓡ Funkcja logarytmiczna to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej y = a* log(b) = c, a = b F

Podstawy funkcji logarytmicznych

Logarytm to odwrócenie funkcji wykładniczej. Gdy zapiszemy loga(b)=clog_a(b) = c, oznacza to, że ac=ba^c = b. Funkcja logarytmiczna jest więc przeciwieństwem funkcji wykładniczej y = a^x.

Ważne własności logarytmów to: loga(ax)=xlog_a(a^x) = x oraz aloga(x)=xa^{log_a(x)} = x. Funkcja logarytmiczna y=logaxy = log_a x ma różne zachowania zależne od podstawy:

  • Maleje gdy a ∈ (0; 1)
  • Rośnie gdy a ∈ (1; +∞)
  • Nie jest określona dla a < 0

Równania i nierówności można logarytmować stronami, ale należy uważać na znak nierówności. Dla a = b mamy logca=logcblog_c a = log_c b. Natomiast dla nierówności a > b:

  • logca>logcblog_c a > log_c b, gdy c > 1 (funkcja rosnąca)
  • logca<logcblog_c a < log_c b, gdy 0 < c < 1 (funkcja malejąca)

⚠️ Uwaga! Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych trzeba zawsze sprawdzić, czy podstawa jest większa czy mniejsza od 1, ponieważ to wpływa na kierunek nierówności.

#MatematykaElementarna Matematyka elementarna Ⓡ Funkcja logarytmiczna to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej y = a* log(b) = c, a = b F

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Nierówność logax>clog_a x > c oznacza, że x to taka liczba, którą otrzymamy podnosząc a do potęgi większej niż c. Sposób rozwiązania zależy od podstawy logarytmu:

  • Gdy a > 1, rozwiązaniem jest x > a^c
  • Gdy 0 < a < 1, rozwiązaniem jest x < a^c

Te różnice wynikają z monotoniczności funkcji logarytmicznej. Dla podstawy większej od 1 funkcja rośnie, a dla podstawy między 0 a 1 - maleje. Można to łatwiej zrozumieć przekształcając nierówność: logax>logaaclog_a x > log_a a^c implikuje x > a^c.

Zobaczmy to na przykładzie: logx5>3log_x 5 > 3. Tutaj szukamy takiej podstawy x, że podniesiona do potęgi większej niż 3 daje 5. Rozważmy przypadki:

  • Gdy 0 < x < 1: warunek 5 < x^3 nie może być spełniony
  • Gdy x > 1: warunek 5 > x^3 daje x ∈ (1; √³5)

💡 Warto pamiętać, że dla 0 < x < 1 żadna potęga większa od 3 nie da nam wyniku 5, ponieważ podnoszenie liczby mniejszej od 1 do coraz większej potęgi daje coraz mniejsze wyniki.

#MatematykaElementarna Matematyka elementarna Ⓡ Funkcja logarytmiczna to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej y = a* log(b) = c, a = b F

Zadania z logarytmów

Stosowanie logarytmów pozwala rozwiązywać różnorodne problemy matematyczne. W zadaniach często wykorzystujemy własności logarytmów, takie jak:

  • Logarytm iloczynu: log₍a₎(x·y) = log₍a₎(x) + log₍a₎(y)
  • Logarytm ilorazu: log₍a₎x/yx/y = log₍a₎(x) - log₍a₎(y)
  • Logarytm potęgi: log₍a₎xnx^n = n·log₍a₎(x)

Przy obliczaniu wartości złożonych wyrażeń logarytmicznych, kluczowe jest stosowanie powyższych własności do uproszczenia wyrażeń. Czasem trzeba też wykorzystać zależności między logarytmami o różnych podstawach.

Rozwiązując zadanie typu "udowodnij, że...", warto zacząć od przekształcenia jednej strony równania przy użyciu własności logarytmów, aż dojdziemy do drugiej strony.

🔍 Zauważ, że wzory ciągów arytmetycznych często pojawiają się w zadaniach z logarytmami - warto znać wzór na sumę n pierwszych wyrazów: S₍n₎ = na1+ana₁+aₙ/2, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a aₙ to n-ty wyraz.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: Właściwości logarytmów

Matematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach

Matematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach, liceum i technikum

MatematykaMatematyka
1

Właściwości Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, podstawowe właściwości oraz przykłady obliczeń. Materiał przeznaczony dla uczniów liceum, idealny do powtórki przed egzaminem. Obejmuje logarytm iloczynu, ilorazu oraz potęgi.

MatematykaMatematyka
1

Powtórzenie matematyka dział 1 liczby rzeczywiste

W tej notatce jest przypominanie całego działu mam nadzieję że tobie też pomoże w nauce☺️

MatematykaMatematyka
1

1 klasa liceum - wyrażenia algebraiczne ( potęgi, pierwiastki, logarytmy )

Notatka z matematyki 1 klasa szkoły ponadpodstawowej, dział 2

MatematykaMatematyka
1

Potęgi i Logarytmy: Kluczowe Wzory

Zrozumienie potęg i logarytmów jest kluczowe w matematyce. Ten materiał omawia podstawowe wzory, właściwości logarytmów oraz ich zastosowania. Idealny dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Własności Logarytmów

Zrozumienie podstawowych i zaawansowanych właściwości logarytmów, w tym definicji, wzorów na zmianę podstawy oraz kluczowych praw logarytmicznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Matematyka cz1

Zbiory liczbowe, pierwiastki, potęgi, wzór skróconego mnożenia, logarytmy, zbiory, działania na przedziałach, nierówności pierwszego stopnia, równania pierwszego stopnia, mnożenie*, wartość bezwzględna, układ równań st1 z 2n, funkcje, układ z 3n

MatematykaMatematyka
1

Własności Logarytmów

Zrozum definicję logarytmu oraz kluczowe własności logarytmów, w tym zasady działania i zastosowania. Materiał obejmuje przykłady obliczeń logarytmicznych oraz ich zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Właściwości Logarytmów

Zgłębiaj właściwości logarytmów, w tym zasady i zastosowania. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy oraz ich podstawowe reguły, takie jak log(a*b) = log(a) + log(b). Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, przykłady obliczeń oraz kluczowe wzory. Dowiedz się, jak rozwiązywać działania z logarytmami, w tym logarytmy z ułamkami i pierwiastkami. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, zasady, kluczowe wzory oraz praktyczne przykłady. Dowiedz się, jak wykonywać operacje na logarytmach, zamieniać podstawy oraz rozwiązywać równania logarytmiczne. Idealne dla uczniów i studentów matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej, jej właściwości, miejsca zerowe oraz zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Materiał obejmuje przykłady, wzory oraz metody analizy funkcji kwadratowej w kontekście geometrii i algebraicznych równań. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie pierwiastków: definicje, wzory oraz metody obliczania. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pierwiastki, a także jak wyciągać czynniki przed pierwiastek. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Procenty

Procenty

MatematykaMatematyka
4

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Nierówności i Równania Kwadratowe

Zgłębiaj nierówności i równania kwadratowe! Dowiedz się o własnościach funkcji kwadratowej, miejscach zerowych, oraz sposobach przekształcania postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Przykłady zadań tekstowych oraz szczegółowe omówienie delty i jej zastosowania w rozwiązywaniu równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
4

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Konflikty w Antygonie

Analiza konfliktów tragicznych w 'Antygonie' Sofoklesa, obejmująca zderzenie praw boskich i państwowych, oraz dylematy moralne bohaterów. Zawiera streszczenie, kluczowe motywy, oraz charakterystykę postaci. Idealne dla uczniów przygotowujących się do lekcji lub egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza postaci i kluczowych motywów w 'Zbrodni i karze' Fiodora Dostojewskiego. Zawiera szczegółowe opisy bohaterów, ich relacji oraz wpływu zbrodni na psychikę Raskolnikowa. Idealne dla studentów literatury i analizy psychologicznej. Typ: streszczenie i charakterystyka.

Język polskiJęzyk polski
4

Analiza Ksiąg Biblijnych

Zgłębiaj kluczowe Księgi Biblii, w tym Księgę Rodzaju, Pieśń nad Pieśniami, Księgę Hioba, Księgę Koheleta, Księgę Psalmów oraz Apokalipsę św. Jana. Odkryj ich przesłania, relacje między Bogiem a człowiekiem oraz znaczenie w kontekście chrześcijańskim. Idealne dla studentów teologii i miłośników literatury biblijnej.

Język polskiJęzyk polski
4

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza postaw bohaterów w powieści 'Dżuma' Alberta Camusa. Zawiera omówienie kluczowych postaci, ich motywacji oraz cytatów ilustrujących walkę ze złem. Idealne dla studentów literatury i filozofii. Typ: podsumowanie.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Antyk: Filozofia i Mitologia

Odkryj kluczowe koncepcje antyku, w tym filozofię stoicyzmu, sceptycyzmu, epikureizmu oraz archetypy mitologiczne. Ta notatka zawiera przegląd najważniejszych idei, postaci i dzieł literackich, które kształtowały myślenie w starożytności. Idealna dla studentów historii i literatury, oferuje zrozumienie wpływu antyku na współczesną kulturę.

Język polskiJęzyk polski
1

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

 

Matematyka

•

2382

•

30 lis 2025

•

3 strony

Logarytmy - zasady, przykłady, ćwiczenia

S

StarszaPani

@starszapani

Logarytmy to fascynująca część matematyki, która odwraca działanie potęgowania. W notatkach poznasz definicję, właściwości oraz praktyczne zastosowanie logarytmów w rozwiązywaniu równań i nierówności logarytmicznych.

#MatematykaElementarna Matematyka elementarna Ⓡ Funkcja logarytmiczna to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej y = a* log(b) = c, a = b F

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawy funkcji logarytmicznych

Logarytm to odwrócenie funkcji wykładniczej. Gdy zapiszemy loga(b)=clog_a(b) = c, oznacza to, że ac=ba^c = b. Funkcja logarytmiczna jest więc przeciwieństwem funkcji wykładniczej y = a^x.

Ważne własności logarytmów to: loga(ax)=xlog_a(a^x) = x oraz aloga(x)=xa^{log_a(x)} = x. Funkcja logarytmiczna y=logaxy = log_a x ma różne zachowania zależne od podstawy:

  • Maleje gdy a ∈ (0; 1)
  • Rośnie gdy a ∈ (1; +∞)
  • Nie jest określona dla a < 0

Równania i nierówności można logarytmować stronami, ale należy uważać na znak nierówności. Dla a = b mamy logca=logcblog_c a = log_c b. Natomiast dla nierówności a > b:

  • logca>logcblog_c a > log_c b, gdy c > 1 (funkcja rosnąca)
  • logca<logcblog_c a < log_c b, gdy 0 < c < 1 (funkcja malejąca)

⚠️ Uwaga! Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych trzeba zawsze sprawdzić, czy podstawa jest większa czy mniejsza od 1, ponieważ to wpływa na kierunek nierówności.

#MatematykaElementarna Matematyka elementarna Ⓡ Funkcja logarytmiczna to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej y = a* log(b) = c, a = b F

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Nierówność logax>clog_a x > c oznacza, że x to taka liczba, którą otrzymamy podnosząc a do potęgi większej niż c. Sposób rozwiązania zależy od podstawy logarytmu:

  • Gdy a > 1, rozwiązaniem jest x > a^c
  • Gdy 0 < a < 1, rozwiązaniem jest x < a^c

Te różnice wynikają z monotoniczności funkcji logarytmicznej. Dla podstawy większej od 1 funkcja rośnie, a dla podstawy między 0 a 1 - maleje. Można to łatwiej zrozumieć przekształcając nierówność: logax>logaaclog_a x > log_a a^c implikuje x > a^c.

Zobaczmy to na przykładzie: logx5>3log_x 5 > 3. Tutaj szukamy takiej podstawy x, że podniesiona do potęgi większej niż 3 daje 5. Rozważmy przypadki:

  • Gdy 0 < x < 1: warunek 5 < x^3 nie może być spełniony
  • Gdy x > 1: warunek 5 > x^3 daje x ∈ (1; √³5)

💡 Warto pamiętać, że dla 0 < x < 1 żadna potęga większa od 3 nie da nam wyniku 5, ponieważ podnoszenie liczby mniejszej od 1 do coraz większej potęgi daje coraz mniejsze wyniki.

#MatematykaElementarna Matematyka elementarna Ⓡ Funkcja logarytmiczna to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej y = a* log(b) = c, a = b F

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zadania z logarytmów

Stosowanie logarytmów pozwala rozwiązywać różnorodne problemy matematyczne. W zadaniach często wykorzystujemy własności logarytmów, takie jak:

  • Logarytm iloczynu: log₍a₎(x·y) = log₍a₎(x) + log₍a₎(y)
  • Logarytm ilorazu: log₍a₎x/yx/y = log₍a₎(x) - log₍a₎(y)
  • Logarytm potęgi: log₍a₎xnx^n = n·log₍a₎(x)

Przy obliczaniu wartości złożonych wyrażeń logarytmicznych, kluczowe jest stosowanie powyższych własności do uproszczenia wyrażeń. Czasem trzeba też wykorzystać zależności między logarytmami o różnych podstawach.

Rozwiązując zadanie typu "udowodnij, że...", warto zacząć od przekształcenia jednej strony równania przy użyciu własności logarytmów, aż dojdziemy do drugiej strony.

🔍 Zauważ, że wzory ciągów arytmetycznych często pojawiają się w zadaniach z logarytmami - warto znać wzór na sumę n pierwszych wyrazów: S₍n₎ = na1+ana₁+aₙ/2, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a aₙ to n-ty wyraz.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

21

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Wzory Matematyczne na Maturę

Kompleksowy zbiór wzorów matematycznych niezbędnych do przygotowania się do matury. Obejmuje wzory dotyczące objętości i pól powierzchni brył, równań kwadratowych, ciągów, funkcji, geometrii oraz statystyki. Idealny materiał do nauki i powtórek przed egzaminem.

MatematykaMatematyka
3

Ciągi Arytmetyczne: Wzory i Przykłady

Zgłębiaj zasady ciągów arytmetycznych, w tym wzory na n-ty wyraz oraz sumę ciągu. Odkryj przykłady zadań, które pomogą Ci zrozumieć różnice i właściwości ciągów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych: wzory ogólne, sumy, wzory rekurencyjne oraz monotoniczność. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kluczowe pojęcia, takie jak różnica, iloraz oraz wzory na trzy kolejne wyrazy ciągu.

MatematykaMatematyka
3

Matura Matematyka 2020

Kompletny arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym z 2020 roku. Zawiera zadania dotyczące równań, funkcji, geometrii oraz ciągów. Idealny materiał do nauki i powtórki przed egzaminem.

MatematykaMatematyka
4

Ciągi Liczbowe i Ich Właściwości

Zrozumienie ciągów liczbowych, w tym ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Dowiedz się o ich monotoniczności, wzorach oraz sumach szeregów geometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
3

Usuwanie Niewymierności Mianownika

Zrozumienie technik usuwania niewymierności z mianownika. Ta prezentacja omawia metody, takie jak skrócone mnożenie oraz przykłady zastosowania, aby uprościć wyrażenia algebraiczne. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki: Właściwości logarytmów

Matematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach

Matematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach, liceum i technikum

MatematykaMatematyka
1

Właściwości Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, podstawowe właściwości oraz przykłady obliczeń. Materiał przeznaczony dla uczniów liceum, idealny do powtórki przed egzaminem. Obejmuje logarytm iloczynu, ilorazu oraz potęgi.

MatematykaMatematyka
1

Powtórzenie matematyka dział 1 liczby rzeczywiste

W tej notatce jest przypominanie całego działu mam nadzieję że tobie też pomoże w nauce☺️

MatematykaMatematyka
1

1 klasa liceum - wyrażenia algebraiczne ( potęgi, pierwiastki, logarytmy )

Notatka z matematyki 1 klasa szkoły ponadpodstawowej, dział 2

MatematykaMatematyka
1

Potęgi i Logarytmy: Kluczowe Wzory

Zrozumienie potęg i logarytmów jest kluczowe w matematyce. Ten materiał omawia podstawowe wzory, właściwości logarytmów oraz ich zastosowania. Idealny dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Własności Logarytmów

Zrozumienie podstawowych i zaawansowanych właściwości logarytmów, w tym definicji, wzorów na zmianę podstawy oraz kluczowych praw logarytmicznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Matematyka cz1

Zbiory liczbowe, pierwiastki, potęgi, wzór skróconego mnożenia, logarytmy, zbiory, działania na przedziałach, nierówności pierwszego stopnia, równania pierwszego stopnia, mnożenie*, wartość bezwzględna, układ równań st1 z 2n, funkcje, układ z 3n

MatematykaMatematyka
1

Własności Logarytmów

Zrozum definicję logarytmu oraz kluczowe własności logarytmów, w tym zasady działania i zastosowania. Materiał obejmuje przykłady obliczeń logarytmicznych oraz ich zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Właściwości Logarytmów

Zgłębiaj właściwości logarytmów, w tym zasady i zastosowania. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy oraz ich podstawowe reguły, takie jak log(a*b) = log(a) + log(b). Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, przykłady obliczeń oraz kluczowe wzory. Dowiedz się, jak rozwiązywać działania z logarytmami, w tym logarytmy z ułamkami i pierwiastkami. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, zasady, kluczowe wzory oraz praktyczne przykłady. Dowiedz się, jak wykonywać operacje na logarytmach, zamieniać podstawy oraz rozwiązywać równania logarytmiczne. Idealne dla uczniów i studentów matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej, jej właściwości, miejsca zerowe oraz zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Materiał obejmuje przykłady, wzory oraz metody analizy funkcji kwadratowej w kontekście geometrii i algebraicznych równań. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie pierwiastków: definicje, wzory oraz metody obliczania. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pierwiastki, a także jak wyciągać czynniki przed pierwiastek. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
8

Procenty

Procenty

MatematykaMatematyka
4

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: definicje, wzory na objętość i pole powierzchni, oraz szczegółowe obliczenia dla różnych typów graniastosłupów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
4

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Nierówności i Równania Kwadratowe

Zgłębiaj nierówności i równania kwadratowe! Dowiedz się o własnościach funkcji kwadratowej, miejscach zerowych, oraz sposobach przekształcania postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Przykłady zadań tekstowych oraz szczegółowe omówienie delty i jej zastosowania w rozwiązywaniu równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
4

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Konflikty w Antygonie

Analiza konfliktów tragicznych w 'Antygonie' Sofoklesa, obejmująca zderzenie praw boskich i państwowych, oraz dylematy moralne bohaterów. Zawiera streszczenie, kluczowe motywy, oraz charakterystykę postaci. Idealne dla uczniów przygotowujących się do lekcji lub egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza postaci i kluczowych motywów w 'Zbrodni i karze' Fiodora Dostojewskiego. Zawiera szczegółowe opisy bohaterów, ich relacji oraz wpływu zbrodni na psychikę Raskolnikowa. Idealne dla studentów literatury i analizy psychologicznej. Typ: streszczenie i charakterystyka.

Język polskiJęzyk polski
4

Analiza Ksiąg Biblijnych

Zgłębiaj kluczowe Księgi Biblii, w tym Księgę Rodzaju, Pieśń nad Pieśniami, Księgę Hioba, Księgę Koheleta, Księgę Psalmów oraz Apokalipsę św. Jana. Odkryj ich przesłania, relacje między Bogiem a człowiekiem oraz znaczenie w kontekście chrześcijańskim. Idealne dla studentów teologii i miłośników literatury biblijnej.

Język polskiJęzyk polski
4

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza postaw bohaterów w powieści 'Dżuma' Alberta Camusa. Zawiera omówienie kluczowych postaci, ich motywacji oraz cytatów ilustrujących walkę ze złem. Idealne dla studentów literatury i filozofii. Typ: podsumowanie.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Antyk: Filozofia i Mitologia

Odkryj kluczowe koncepcje antyku, w tym filozofię stoicyzmu, sceptycyzmu, epikureizmu oraz archetypy mitologiczne. Ta notatka zawiera przegląd najważniejszych idei, postaci i dzieł literackich, które kształtowały myślenie w starożytności. Idealna dla studentów historii i literatury, oferuje zrozumienie wpływu antyku na współczesną kulturę.

Język polskiJęzyk polski
1

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS