Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Właściwości logarytmów

2404

•

10 sty 2026

•

3 strony

Logarytmy - zasady, przykłady, ćwiczenia

StarszaPani

@starszapani

Logarytmy to fascynująca część matematyki, która odwraca działanie potęgowania. W... Pokaż więcej

1 / 3

#MatematykaElementarna
Matematyka elementarna
Ⓡ
Funkcja logarytmiczna to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej
y = a*
log(b) = c, a = b
F

Podstawy funkcji logarytmicznych

Logarytm to odwrócenie funkcji wykładniczej. Gdy zapiszemy $log_a(b) = c$ , oznacza to, że $a^c = b$ . Funkcja logarytmiczna jest więc przeciwieństwem funkcji wykładniczej y = a^x.

Ważne własności logarytmów to: $log_a(a^x) = x$ oraz $a^{log_a(x)} = x$ . Funkcja logarytmiczna $y = log_a x$ ma różne zachowania zależne od podstawy:

Maleje gdy a ∈ (0; 1)
Rośnie gdy a ∈ (1; +∞)
Nie jest określona dla a < 0

Równania i nierówności można logarytmować stronami, ale należy uważać na znak nierówności. Dla a = b mamy $log_c a = log_c b$ . Natomiast dla nierówności a > b:

$log_c a > log_c b$ , gdy c > 1 (funkcja rosnąca)
$log_c a < log_c b$ , gdy 0 < c < 1 (funkcja malejąca)

⚠️ Uwaga! Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych trzeba zawsze sprawdzić, czy podstawa jest większa czy mniejsza od 1, ponieważ to wpływa na kierunek nierówności.

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Nierówność $log_a x > c$ oznacza, że x to taka liczba, którą otrzymamy podnosząc a do potęgi większej niż c. Sposób rozwiązania zależy od podstawy logarytmu:

Gdy a > 1, rozwiązaniem jest x > a^c
Gdy 0 < a < 1, rozwiązaniem jest x < a^c

Te różnice wynikają z monotoniczności funkcji logarytmicznej. Dla podstawy większej od 1 funkcja rośnie, a dla podstawy między 0 a 1 - maleje. Można to łatwiej zrozumieć przekształcając nierówność: $log_a x > log_a a^c$ implikuje x > a^c.

Zobaczmy to na przykładzie: $log_x 5 > 3$ . Tutaj szukamy takiej podstawy x, że podniesiona do potęgi większej niż 3 daje 5. Rozważmy przypadki:

Gdy 0 < x < 1: warunek 5 < x^3 nie może być spełniony
Gdy x > 1: warunek 5 > x^3 daje x ∈ (1; √³5)

💡 Warto pamiętać, że dla 0 < x < 1 żadna potęga większa od 3 nie da nam wyniku 5, ponieważ podnoszenie liczby mniejszej od 1 do coraz większej potęgi daje coraz mniejsze wyniki.

Zadania z logarytmów

Stosowanie logarytmów pozwala rozwiązywać różnorodne problemy matematyczne. W zadaniach często wykorzystujemy własności logarytmów, takie jak:

Logarytm iloczynu: log₍a₎(x·y) = log₍a₎(x) + log₍a₎(y)
Logarytm ilorazu: log₍a₎ $x/y$ = log₍a₎(x) - log₍a₎(y)
Logarytm potęgi: log₍a₎ $x^n$ = n·log₍a₎(x)

Przy obliczaniu wartości złożonych wyrażeń logarytmicznych, kluczowe jest stosowanie powyższych własności do uproszczenia wyrażeń. Czasem trzeba też wykorzystać zależności między logarytmami o różnych podstawach.

Rozwiązując zadanie typu "udowodnij, że...", warto zacząć od przekształcenia jednej strony równania przy użyciu własności logarytmów, aż dojdziemy do drugiej strony.

🔍 Zauważ, że wzory ciągów arytmetycznych często pojawiają się w zadaniach z logarytmami - warto znać wzór na sumę n pierwszych wyrazów: S₍n₎ = n $a₁+aₙ$ /2, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a aₙ to n-ty wyraz.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne

1151

Ogólne własności funkcji

2297

Nowe tablice maturalne

4684

279

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Właściwości logarytmów

Właściwości Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, podstawowe właściwości oraz przykłady obliczeń. Materiał przeznaczony dla uczniów liceum, idealny do powtórki przed egzaminem. Obejmuje logarytm iloczynu, ilorazu oraz potęgi.

Logarytmy - zasady, przykłady, ćwiczenia

Podstawy funkcji logarytmicznych

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Zadania z logarytmów

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne

Ogólne własności funkcji

Nowe tablice maturalne

Najpopularniejsze notatki: Właściwości logarytmów

Właściwości Logarytmów

1 klasa liceum - wyrażenia algebraiczne ( potęgi, pierwiastki, logarytmy )

Powtórzenie matematyka dział 1 liczby rzeczywiste

Matematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach

Potęgi i Logarytmy: Kluczowe Wzory

Logarytmy- wzory

Matematyka cz1

Własności Logarytmów

Własności Logarytmów

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Geometria Figur Płaszczyzny

Analiza Funkcji Kwadratowej

Analiza Funkcji Kwadratowej

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Stereoizomeria

Wzory Graniastosłupów

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Konflikty w Antygonie

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Analiza Dziadów III

Wesele - Stanisław Wyspiański

Dziady III: Mesjanizm i Konrad

Analiza Ksiąg Biblijnych

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Logarytmy - zasady, przykłady, ćwiczenia

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Podstawy funkcji logarytmicznych

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zadania z logarytmów

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Zadania z Liczb Rzeczywistych

Własności i Przekształcenia Funkcji

Tablice Maturalne Matematyki

Ciąg Arytmetyczny: Wzory i Zastosowania

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Analiza Ciągów Matematycznych

Podobne notatki

Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne

Ogólne własności funkcji

Nowe tablice maturalne

Najpopularniejsze notatki: Właściwości logarytmów

Właściwości Logarytmów

1 klasa liceum - wyrażenia algebraiczne ( potęgi, pierwiastki, logarytmy )

Powtórzenie matematyka dział 1 liczby rzeczywiste

Matematyka - prawa działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach

Potęgi i Logarytmy: Kluczowe Wzory

Logarytmy- wzory

Matematyka cz1

Własności Logarytmów

Własności Logarytmów

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów