Zbiory liczbowe i działania na pierwiastkach

Matematyka operuje na różnych zbiorach liczbowych: liczby naturalne (N), całkowite (Z), wymierne (Q) i rzeczywiste (R). Pamiętaj o zależnościach między nimi: N⊂Z⊂Q⊂R. Liczby wymierne to te, które da się zapisać w postaci ułamka.

Przy działaniach na pierwiastkach stosujemy kilka podstawowych zasad. Pierwiastki dodajemy i odejmujemy tylko wtedy, gdy mają ten sam stopień i tę samą liczbę pod pierwiastkiem. Na przykład: 2√7 + √7 = 3√7.

Przy mnożeniu pierwiastków mnożymy osobno współczynniki i pierwiastki: 7√2 · 3√3 = 21√6. Gdy usuwamy niewymierność z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek: $\frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Wskazówka: Przy wyciąganiu przed pierwiastek szukaj liczb, które są kwadratami (np. 9, 36, 144). Na przykład $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

Zapamiętaj podstawowe wzory potęgowe:

• $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
• $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
• $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• $a^0 = 1$

Wzory skróconego mnożenia i logarytmy

Wzory skróconego mnożenia to prawdziwy skarb, który oszczędza czas przy rozwiązywaniu zadań. Zapamiętaj te najważniejsze:

• Kwadrat sumy: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Kwadrat różnicy: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
• Różnica kwadratów: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

Logarytmy to sposób na uproszczenie skomplikowanych obliczeń. Podstawowa definicja: $log_a b = c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c = b$. Szczególnym przypadkiem jest logarytm dziesiętny (przy podstawie 10).

Najważniejsze własności logarytmów:

• $log_a x + log_a y = log_a (x \cdot y)$
• $log_a x - log_a y = log_a (\frac{x}{y})$
• $log_a x^n = n \cdot log_a x$
• $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$
• $log_a 1 = 0$

Zapamiętaj! Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1, a logarytmowana liczba musi być większa od zera.

Przy operacjach na zbiorach używamy symboli: U (suma), ∩ (iloczyn, część wspólna), \ (różnica). Na przykład dla zbiorów A={a,b,c} i B={c,d,e,f}, suma to A∪B={a,b,c,d,e,f}, a część wspólna to A∩B={c}.

Nierówności i równania pierwszego stopnia

Nierówności rozwiązujemy podobnie jak równania - przenosimy wyrazy z x na lewą stronę, a wyrazy bez x na prawą. Pamiętaj, że gdy mnożysz lub dzielisz obie strony nierówności przez liczbę ujemną, musisz zmienić znak nierówności na przeciwny!

Przykład rozwiązania nierówności: 2x+1 < 3x -x < -1 x > 1 x∈(1,∞)

Przy rozwiązywaniu równań pierwszego stopnia stosujesz podobne zasady - gromadzisz x na jednej stronie, a liczby na drugiej. Rozwiązaniem jest wartość x, dla której obie strony równania są sobie równe.

Wartość bezwzględna liczby x to jej odległość na osi liczbowej od zera. Zapisujemy ją jako |x|. Pamiętaj, że:

• |a| = a, gdy a ≥ 0
• |a| = -a, gdy a < 0

Przykład rozwiązania równania z wartością bezwzględną: |x| = 3 x = 3 lub x = -3

Rada: Równania z wartością bezwzględną rozwiązuj rozważając dwa przypadki: gdy wyrażenie w środku jest dodatnie lub ujemne.

Gdy masz nierówność z wartością bezwzględną, np. |x| < 2, rozwiązaniem jest przedział (-2,2), czyli wszystkie liczby oddalone od zera o mniej niż 2 jednostki.

Układy równań i wartość bezwzględna

Układy równań to potężne narzędzie do rozwiązywania problemów z wieloma niewiadomymi. Istnieją trzy rodzaje układów równań:

• układ oznaczony (jedno rozwiązanie)
• układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań)
• układ sprzeczny (brak rozwiązań)

Metodą podstawiania rozwiązujemy układ, wyrażając jedną niewiadomą przez drugą. Następnie wstawiamy to wyrażenie do drugiego równania i rozwiązujemy.

Przykład: $\begin{cases} x=1-y \ 2x-3y=-1 \end{cases}$

Wstawiamy wyrażenie na x do drugiego równania: $2(1-y)-3y=-1$ $2-2y-3y=-1$ $2-5y=-1$ $-5y=-3$ $y=\frac{3}{5}$

Następnie obliczamy x: $x=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$

Rozwiązaniem jest para $(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$.

Wskazówka: Przy układach sprzecznych otrzymasz fałsz $np. 0=5$, a przy układach nieoznaczonych - tożsamość $np. 0=0$.

Przy równaniach z wartością bezwzględną typu |wyrażenie| = liczba, rozważ dwa przypadki: wyrażenie = liczba lub wyrażenie = -liczba.

Przykład: |3-x|=2 Przypadek 1: 3-x=2, więc x=1 Przypadek 2: 3-x=-2, więc x=5 Rozwiązaniem są x=1 lub x=5.

Układy równań z trzema niewiadomymi

Rozwiązując układy równań z trzema niewiadomymi, zwykle wybieramy jedną niewiadomą i wyrażamy ją przez pozostałe. Następnie wstawiamy to wyrażenie do pozostałych równań, redukując układ do dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Przykład: $\begin{cases} x+y+z=10 \ x+y=z \ x-z=3 \end{cases}$

Z trzeciego równania: x=z+3 Wstawiamy do drugiego: z+3+y=z Upraszczając: y=-3

Teraz wstawiamy do pierwszego: z+3+(-3)+z=10 Po uproszczeniu: 2z=10, więc z=5

Znając z i y, obliczamy x: x=z+3=5+3=8

Rozwiązaniem jest trójka (8, -3, 5).

W niektórych przypadkach pomocne jest dodawanie równań stronami. Jeśli dwa równania mają te same współczynniki przy jednej zmiennej (z przeciwnymi znakami), możemy je dodać, aby tę zmienną wyeliminować.

Pamiętaj: Aby sprawdzić poprawność rozwiązania, podstaw otrzymane wartości do wszystkich równań wyjściowego układu.

Podobnie jak w przypadku układów z dwiema niewiadomymi, układy z trzema niewiadomymi mogą być oznaczone, nieoznaczone lub sprzeczne.

Funkcje i ich własności

Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru X (dziedziny) przypisuje dokładnie jeden element ze zbioru Y (przeciwdziedziny). Funkcję możemy przedstawić na różne sposoby:

• za pomocą opisu słownego
• grafu (zbioru par uporządkowanych)
• tabelki wartości
• wykresu
• wzoru

Jeśli funkcja jest określona wzorem, możemy obliczyć jej wartości podstawiając argumenty do wzoru. Na przykład dla funkcji f(x)=x², mamy f(2)=4, f(5)=25.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy wartość argumentu x, dla której funkcja przyjmuje wartość 0. Dla funkcji f(x)=x², miejscem zerowym jest x=0.

Ważne! Na wykresie funkcji oś X to oś argumentów, a oś Y to oś wartości funkcji. Dziedzinę odczytujemy z osi X, a zbiór wartości z osi Y.

Przy rysowaniu wykresu funkcji przydatne jest sporządzenie tabelki z kilkoma wartościami, a następnie połączenie otrzymanych punktów zgodnie z charakterem funkcji.

Przekształcenia i monotoniczność funkcji

Przekształcenia wykresu funkcji pozwalają uzyskać nowe funkcje z już znanych. Najważniejsze z nich to:

• y=f(x)+a - przesunięcie wykresu o a jednostek w górę
• y=f(x)-a - przesunięcie wykresu o a jednostek w dół
• y=f$x+a$ - przesunięcie wykresu o a jednostek w lewo
• y=f$x-a$ - przesunięcie wykresu o a jednostek w prawo

Wykresy podstawowych funkcji warto znać na pamięć:

• funkcja liniowa: y=x
• funkcja kwadratowa: y=x²
• funkcja logarytmiczna: y=log x

Monotoniczność funkcji opisuje jak zmienia się jej wartość wraz ze wzrostem argumentu:

• Funkcja rosnąca: jeśli x₁<x₂, to f(x₁)<f(x₂)
• Funkcja malejąca: jeśli x₁<x₂, to f(x₁)>f(x₂)
• Funkcja stała: jeśli x₁<x₂, to f(x₁)=f(x₂)

Wskazówka: Funkcja może być monotoniczna (rosnąca, malejąca lub stała) w całej dziedzinie lub niemonotoniczna (w niektórych przedziałach rośnie, a w innych maleje).

Przy przekształcaniu wykresu przydaje się też symetria:

• Symetria względem OY: g(x)=f$-x$
• Symetria względem OX: g(x)=-f(x)
• Symetria względem początku układu: g(x)=-f$-x$

Dziedzina funkcji i monotoniczność

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja przyjmuje jakieś wartości. Dla standardowych funkcji liniowych czy kwadratowych dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Jednak w niektórych funkcjach musimy wykluczyć pewne wartości argumentu:

• Gdy x występuje w mianowniku ułamka (mianownik nie może być zerem)
• Gdy x jest pod pierwiastkiem parzystego stopnia (wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne)
• Gdy x występuje w logarytmie (liczba logarytmowana musi być dodatnia)

Przykład: Dla funkcji f(x)=$\frac{3}{x^2-4}$ wykluczamy wartości x=2 i x=-2, ponieważ dla nich mianownik jest równy zero. Dziedziną jest więc zbiór: x∈R\{-2,2}.

Monotoniczność funkcji to własność opisująca jak zmieniają się wartości funkcji wraz ze wzrostem argumentu:

• Funkcja rosnąca przyjmuje coraz większe wartości
• Funkcja malejąca przyjmuje coraz mniejsze wartości
• Funkcja stała przyjmuje zawsze tę samą wartość

Funkcje nierosnące i niemalejące to takie, które w pewnych przedziałach mogą być stałe, a w innych odpowiednio maleć lub rosnąć.

Rada: Badając monotoniczność funkcji, warto podzielić dziedzinę na przedziały i sprawdzić zachowanie funkcji w każdym z nich.

Funkcje niemonotoiczne w jednych przedziałach rosną, a w innych maleją. Typowym przykładem jest funkcja kwadratowa y=x², która maleje dla x<0 i rośnie dla x>0.