Przedmioty
Język polski
Biologia
Chemia
Historia
Geografia
Aparat ruchu
Układ wydalniczy
Komórka
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Genetyka klasyczna
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Systematyka związków nieorganicznych
Węglowodory
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Świat substancji
Pochodne węglowodorów
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Gazy i ich mieszaniny
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
5
0
Ryża
11.12.2025
Matematyka
Matematyka, geometria płaska- okręgi i koła
124
•
11 gru 2025
•
Ryża
@ryza_malpa
Geometria płaska to fascynujący dział matematyki, który pomoże Ci zrozumieć... Pokaż więcej
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka, która dzieli go na dwie równe części. W trójkącie punkt przecięcia symetralnych to środek okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, dzieląca go na dwa równe kąty. Punkt przecięcia dwusiecznych w trójkącie wyznacza środek okręgu wpisanego. Pamiętaj o proporcji: c/d = b/a.
Twierdzenie Pitagorasa pozwala określić rodzaj trójkąta:
💡 Wskazówka: Środkowe trójkąta (odcinki łączące wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku) przecinają się w punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2 - to środek ciężkości trójkąta!
W geometrii okręgów ważne są też zależności między kątami. Kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie. Dodatkowo, w twierdzeniu o stycznej i siecznej: |PA|·|PB| = |PC|.
Twierdzenia o siecznych i cięciwach to kluczowe zależności w geometrii okręgów. Jeśli z punktu P poprowadzisz sieczne do okręgu, to iloczyn odległości tego punktu od punktów przecięcia siecznej z okręgiem jest stały: |PA|·|PB| = |PC|·|PD|.
Okrąg opisany na trójkącie ma różne właściwości w zależności od rodzaju trójkąta:
Podobnie okrąg wpisany w trójkąt ma specyficzne właściwości:
💡 Ciekawostka: W trójkącie równobocznym stosunek promienia okręgu opisanego do promienia okręgu wpisanego wynosi zawsze 2:1!
Wzajemne położenie okręgów to również ważny temat. Okręgi mogą być względem siebie:
Okręgi mogą znajdować się w różnych położeniach względem siebie:
Każda z tych sytuacji ma konkretne zastosowanie w rozwiązywaniu zadań geometrycznych. Zobaczysz je często na sprawdzianach!
Wzajemne położenie okręgu i prostej również podlega ścisłym zależnościom matematycznym:
💡 Zapamiętaj: Styczna do okręgu jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności!
Znajomość tych zależności znacznie ułatwi Ci rozwiązywanie zadań z geometrii. Zamiast uczyć się wzorów na pamięć, staraj się zrozumieć relacje między figurami.
W okręgu wyróżniamy różne rodzaje kątów:
Istnieje kilka ważnych twierdzeń dotyczących kątów w okręgu:
Twierdzenie 1: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku okręgu mają równe miary. To oznacza, że jeśli dwa kąty wpisane są oparte na tym samym łuku, to są sobie równe, niezależnie od położenia ich wierzchołków.
Twierdzenie 2: Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ma miarę dwukrotnie większą od kąta wpisanego. Matematycznie: β = 2α.
💡 Przydatna wskazówka: Kąt wpisany oparty na średnicy jest zawsze kątem prostym (90°). Ta właściwość często pomaga w rozwiązywaniu problemów związanych z okręgami!
Pamiętaj, że okrąg to zbiór punktów równoodległych od środka, a promień jest odcinkiem łączącym środek okręgu z dowolnym punktem okręgu.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Procenty
MatematykaApp Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Ryża
@ryza_malpa
Geometria płaska to fascynujący dział matematyki, który pomoże Ci zrozumieć relacje między figurami na płaszczyźnie. W tych notatkach znajdziesz najważniejsze informacje o okręgach, kołach i ich właściwościach, które z pewnością przydadzą Ci się na lekcjach i egzaminach.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka, która dzieli go na dwie równe części. W trójkącie punkt przecięcia symetralnych to środek okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, dzieląca go na dwa równe kąty. Punkt przecięcia dwusiecznych w trójkącie wyznacza środek okręgu wpisanego. Pamiętaj o proporcji: c/d = b/a.
Twierdzenie Pitagorasa pozwala określić rodzaj trójkąta:
💡 Wskazówka: Środkowe trójkąta (odcinki łączące wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku) przecinają się w punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2 - to środek ciężkości trójkąta!
W geometrii okręgów ważne są też zależności między kątami. Kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie. Dodatkowo, w twierdzeniu o stycznej i siecznej: |PA|·|PB| = |PC|.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Twierdzenia o siecznych i cięciwach to kluczowe zależności w geometrii okręgów. Jeśli z punktu P poprowadzisz sieczne do okręgu, to iloczyn odległości tego punktu od punktów przecięcia siecznej z okręgiem jest stały: |PA|·|PB| = |PC|·|PD|.
Okrąg opisany na trójkącie ma różne właściwości w zależności od rodzaju trójkąta:
Podobnie okrąg wpisany w trójkąt ma specyficzne właściwości:
💡 Ciekawostka: W trójkącie równobocznym stosunek promienia okręgu opisanego do promienia okręgu wpisanego wynosi zawsze 2:1!
Wzajemne położenie okręgów to również ważny temat. Okręgi mogą być względem siebie:
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Okręgi mogą znajdować się w różnych położeniach względem siebie:
Każda z tych sytuacji ma konkretne zastosowanie w rozwiązywaniu zadań geometrycznych. Zobaczysz je często na sprawdzianach!
Wzajemne położenie okręgu i prostej również podlega ścisłym zależnościom matematycznym:
💡 Zapamiętaj: Styczna do okręgu jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności!
Znajomość tych zależności znacznie ułatwi Ci rozwiązywanie zadań z geometrii. Zamiast uczyć się wzorów na pamięć, staraj się zrozumieć relacje między figurami.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
W okręgu wyróżniamy różne rodzaje kątów:
Istnieje kilka ważnych twierdzeń dotyczących kątów w okręgu:
Twierdzenie 1: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku okręgu mają równe miary. To oznacza, że jeśli dwa kąty wpisane są oparte na tym samym łuku, to są sobie równe, niezależnie od położenia ich wierzchołków.
Twierdzenie 2: Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ma miarę dwukrotnie większą od kąta wpisanego. Matematycznie: β = 2α.
💡 Przydatna wskazówka: Kąt wpisany oparty na średnicy jest zawsze kątem prostym (90°). Ta właściwość często pomaga w rozwiązywaniu problemów związanych z okręgami!
Pamiętaj, że okrąg to zbiór punktów równoodległych od środka, a promień jest odcinkiem łączącym środek okręgu z dowolnym punktem okręgu.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
5
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
Procenty
MatematykaApp Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
