Podstawowe informacje o funkcjach trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne możemy określić na dwa sposoby. W trójkącie prostokątnym sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do kąta i przeciwprostokątnej, cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, a tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.

Na okręgu jednostkowym funkcje są określone przez współrzędne punktu P: sin α = y/r, cos α = x/r, tg α = y/x (dla x≠0), ctg α = x/y (dla y≠0). Pamiętaj, że tangens nie istnieje dla kątów 90°+k·180°, a cotangens dla k·180°.

Warto zapamiętać wartości funkcji trygonometrycznych dla charakterystycznych kątów: 0°, 30°, 45°, 60° i 90°. Na przykład dla 45° wszystkie funkcje mają wartość 1 lub √2/2.

Pomocna wskazówka: Zapamiętaj znaki funkcji w ćwiartkach - pomoże Ci formuła "All Students Take Calculus" - w I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II tylko sinus, w III tangens i cotangens, w IV cosinus.

Podstawowa tożsamość trygonometryczna to sin²α + cos²α = 1, która wyraża związek między sinusem i cosinusem tego samego kąta. Inne ważne tożsamości to tgα = sinα/cosα i ctgα = cosα/sinα oraz tgα·ctgα = 1.

Wzory redukcyjne i miary kątów

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić funkcje dowolnych kątów do funkcji kątów z przedziału [0°, 90°]. Ogólna zasada jest prosta: jeśli we wzorze występuje parzysta wielokrotność kąta prostego (180°, 360°), funkcja nie zmienia nazwy, np. sin(180°±α) = ±sinα. Natomiast przy nieparzystej wielokrotności kąta prostego (90°, 270°) funkcja zmienia nazwę na cofunkcję, np. sin(90°±α) = cosα.

Kąt może być skierowany - dodatni, gdy mierzymy go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a ujemny w przeciwnym kierunku. Kąty możemy mierzyć nie tylko w stopniach, ale także w mierze łukowej (radianach). Pamiętaj podstawowe przeliczenia: 180° = π, 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4, 30° = π/6.

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej mają swoje okresy zasadnicze. Dla sinusa i cosinusa to 360° (2π), a dla tangensa i cotangensa 180° (π). Oznacza to, że wartości tych funkcji powtarzają się co taki okres.

Wśród funkcji trygonometrycznych tylko cosinus jest funkcją parzystą (cos$-x$ = cos$x$), natomiast sinus, tangens i cotangens są funkcjami nieparzystymi (np. sin$-x$ = -sin$x$).

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Wykres funkcji sinus przypomina regularną falę. Jego dziedzina to cały zbiór liczb rzeczywistych, a zbiór wartości to przedział $-1, 1$. Funkcja sinus przyjmuje wartość 0 dla x = π·k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Jest dodatnia w przedziałach (0+2kπ, π+2kπ), a ujemna w (π+2kπ, 2π+2kπ).

Funkcja cosinus również ma kształt fali, ale jest przesunięta względem sinusa o π/2. Jest to funkcja parzysta, co oznacza, że jej wykres jest symetryczny względem osi OY. Jej dziedzina to R, a zbiór wartości to przedział $-1, 1$. Cosinus rośnie dla x ∈ <-π+2kπ, 0+2kπ>, a maleje dla x ∈ <0+2kπ, π+2kπ>.

Wykres funkcji tangens ma charakterystyczne pionowe asymptoty w punktach x = π/2+kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Jej dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz punktów nieciągłości, a zbiorem wartości cały R. Tangens przyjmuje wartość 0 dla x = kπ.

Zapamiętaj: Gdy przekształcasz wykresy funkcji trygonometrycznych, współczynnik przy zmiennej (np. w sin 3x) zmienia okres funkcji - dzielisz podstawowy okres przez ten współczynnik. Natomiast współczynnik przed całą funkcją (np. 2sin x) rozciąga wykres wzdłuż osi OY.

Przekształcenia wykresów i funkcja cotangens

Funkcja cotangens ma asymptoty pionowe w punktach x = kπ (dla k całkowitego) i miejsca zerowe dla x = π/2+kπ. Jest dodatnia w przedziałach (0+kπ, π/2+kπ), a ujemna w (π/2+kπ, π+kπ). Cotangens maleje w całej swojej dziedzinie, czyli na przedziałach (0+kπ, π+kπ).

Przekształcenia wykresów funkcji trygonometrycznych podlegają określonym zasadom. Gdy masz funkcję typu y = sin(ax), współczynnik a wpływa na okres funkcji - dzielisz standardowy okres przez |a|. Na przykład dla y = sin(3x) okres wynosi 2π/3. Na wykresie wszystkie punkty charakterystyczne na osi OX "ściskają się" trzykrotnie.

Dla funkcji typu y = a·sin$x$ współczynnik a zmienia amplitudę. Na przykład y = 2sin$x$ ma amplitudę równą 2, więc wszystkie wartości na osi OY są dwukrotnie większe niż dla standardowego sinusa.

Ciekawostka: Funkcja y = |cos x| ma interesującą interpretację. Przyjmuje wartość 1 gdy cos x > 0 i wartość -1 gdy cos x < 0. Takie przekształcenie tworzy funkcję, która wygląda jak "wyprostowana" fala cosinusa.

Pamiętaj, że znajomość podstawowych własności i wykresów funkcji trygonometrycznych pozwoli Ci rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne oraz modelować zjawiska okresowe, takie jak fale dźwiękowe czy elektryczne.