Przedmioty

Knowunity AI

Program dla Twórców

Więcej

Dla firm

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Działania na Wyrażeniach Wymiernych

Upraszczanie wyrażeń wymiernych

MatematykaMatematyka446 wyświetleń·Zaktualizowano 19 lip 2026·2 strony

Matematyka: Wyrażenia wymierne - kluczowe pojęcia

R
Ryża@ryza_malpa

Ułamki algebraiczne to wyrażenia zawierające zmienne w mianowniku, które możesz...

1
of 2
Matematyka, wyrażenia wymierne. – strona 1

Podstawy ułamków algebraicznych i równań wymiernych

Ułamek algebraiczny to po prostu ułamek, w którym w mianowniku (lub liczniku) masz zmienną, jak np. 3x+2x−1\frac{3x + 2}{x - 1}. Takie wyrażenia nazywamy też wyrażeniami wymiernymi.

Każde wyrażenie wymierne możesz zapisać jako W(x)=L(x)M(x)W(x) = \frac{L(x)}{M(x)}, gdzie Lxx i Mxx to wielomiany. Pamiętaj, że dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych, które zerują mianownik.

Z ułamkami algebraicznymi robisz dokładnie to samo co ze zwykłymi - mnożysz, dzielisz, dodajesz i odejmujesz. Równanie wymierne L(x)M(x)=0\frac{L(x)}{M(x)} = 0 rozwiązujesz, znajdując pierwiastki licznika (ale sprawdzając, czy nie zerują mianownika).

Wskazówka: Zawsze sprawdzaj dziedzinę - wartości, które zerują mianownik, nie mogą być rozwiązaniami!

W nierównościach wymiernych korzystasz z zasady, że ab>0\frac{a}{b} > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ab>0ab > 0 (oba wyrażenia mają ten sam znak).

2
of 2
Matematyka, wyrażenia wymierne. – strona 2

Funkcja homograficzna i jej właściwości

Funkcja homograficzna w najprostszej postaci to y=axy = \frac{a}{x}, gdzie jej wykres to hiperbola. Gdy a>0a > 0, ramiona hiperboli leżą w I i III ćwiartce, a gdy a<0a < 0 - w II i IV ćwiartce.

Możesz przekształcać funkcję homograficzną przez przesunięcia: y=ax−p+qy = \frac{a}{x-p} + q powstaje przez przesunięcie o wektor [p,q][p, q]. Ogólna postać funkcji homograficznej to F(x)=Ax+BCx+DF(x) = \frac{Ax+B}{Cx+D} z dziedziną R∖{−DC}R \setminus \{-\frac{D}{C}\}.

Funkcje z wartością bezwzględną działają według prostych zasad: ∣f(x)∣|f(x)| odbija część wykresu poniżej osi OX w górę, a f(∣x∣)f(|x|) tworzy wykres symetryczny względem osi OY (funkcja parzysta).

Pamiętaj: Wykresy funkcji parzystych są zawsze symetryczne względem osi OY - to ułatwia rysowanie!

W zadaniach tekstowych przydają się wzory na prędkość v=stv = \frac{s}{t}, średnią arytmetyczną Sa=a1+a2+...+annS_a = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} i średnią geometryczną Sg=a1⋅a2⋅...⋅annS_g = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Upraszczanie wyrażeń wymiernych

2
MatematykaMatematyka

Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna

371810
MatematykaMatematyka

Analiza Funkcji Homograficznej

Zrozumienie funkcji homograficznych, ich właściwości oraz zastosowanie w analizie matematycznej. Materiał obejmuje definicje, przykłady oraz warunki istnienia funkcji wymiernych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

31,34418

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080
O
MatematykaMatematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3840
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,4190
MatematykaMatematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,4115,675
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6560
P
MatematykaMatematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6300
Z
MatematykaMatematyka

Zapisywanie ułamków dziesiętnych

Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.

52,1470
M
MatematykaMatematyka

matematyka

tabliczka mnożenia

51,8584

Najpopularniejsze notatki

9
K
TechnikaTechnika

Karta rowerowa

UwU

45,4063
N
TechnikaTechnika

Nauka znaków drogowych

Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę

44,0182
W
Język polskiJęzyk polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9840
Q
Język polskiJęzyk polski

Quiz-Dziady cz.2

Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!

83,6012
B
BiologiaBiologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8044
Język polskiJęzyk polski

Polski e8

Egzamin ósmoklasisty

88,681377
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
C
Język angielskiJęzyk angielski

Czasowniki nieregularne w Past Simple

Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.

65,0340
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS

Matematyka

Działania na Wyrażeniach Wymiernych

Upraszczanie wyrażeń wymiernych

MatematykaMatematyka446 wyświetleń·Zaktualizowano 19 lip 2026·2 strony

Matematyka: Wyrażenia wymierne - kluczowe pojęcia

R
Ryża@ryza_malpa

Ułamki algebraiczne to wyrażenia zawierające zmienne w mianowniku, które możesz spotkać w równaniach i nierównościach wymiernych. Funkcje wymierne, w tym popularna funkcja homograficzna, są kluczowe w matematyce na poziomie liceum i przydatne w rozwiązywaniu zadań tekstowych.

1
of 2
Matematyka, wyrażenia wymierne. – strona 1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawy ułamków algebraicznych i równań wymiernych

Ułamek algebraiczny to po prostu ułamek, w którym w mianowniku (lub liczniku) masz zmienną, jak np. 3x+2x−1\frac{3x + 2}{x - 1}. Takie wyrażenia nazywamy też wyrażeniami wymiernymi.

Każde wyrażenie wymierne możesz zapisać jako W(x)=L(x)M(x)W(x) = \frac{L(x)}{M(x)}, gdzie Lxx i Mxx to wielomiany. Pamiętaj, że dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych, które zerują mianownik.

Z ułamkami algebraicznymi robisz dokładnie to samo co ze zwykłymi - mnożysz, dzielisz, dodajesz i odejmujesz. Równanie wymierne L(x)M(x)=0\frac{L(x)}{M(x)} = 0 rozwiązujesz, znajdując pierwiastki licznika (ale sprawdzając, czy nie zerują mianownika).

Wskazówka: Zawsze sprawdzaj dziedzinę - wartości, które zerują mianownik, nie mogą być rozwiązaniami!

W nierównościach wymiernych korzystasz z zasady, że ab>0\frac{a}{b} > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ab>0ab > 0 (oba wyrażenia mają ten sam znak).

2
of 2
Matematyka, wyrażenia wymierne. – strona 2

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcja homograficzna i jej właściwości

Funkcja homograficzna w najprostszej postaci to y=axy = \frac{a}{x}, gdzie jej wykres to hiperbola. Gdy a>0a > 0, ramiona hiperboli leżą w I i III ćwiartce, a gdy a<0a < 0 - w II i IV ćwiartce.

Możesz przekształcać funkcję homograficzną przez przesunięcia: y=ax−p+qy = \frac{a}{x-p} + q powstaje przez przesunięcie o wektor [p,q][p, q]. Ogólna postać funkcji homograficznej to F(x)=Ax+BCx+DF(x) = \frac{Ax+B}{Cx+D} z dziedziną R∖{−DC}R \setminus \{-\frac{D}{C}\}.

Funkcje z wartością bezwzględną działają według prostych zasad: ∣f(x)∣|f(x)| odbija część wykresu poniżej osi OX w górę, a f(∣x∣)f(|x|) tworzy wykres symetryczny względem osi OY (funkcja parzysta).

Pamiętaj: Wykresy funkcji parzystych są zawsze symetryczne względem osi OY - to ułatwia rysowanie!

W zadaniach tekstowych przydają się wzory na prędkość v=stv = \frac{s}{t}, średnią arytmetyczną Sa=a1+a2+...+annS_a = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} i średnią geometryczną Sg=a1⋅a2⋅...⋅annS_g = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Upraszczanie wyrażeń wymiernych

2
MatematykaMatematyka

Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna

371810
MatematykaMatematyka

Analiza Funkcji Homograficznej

Zrozumienie funkcji homograficznych, ich właściwości oraz zastosowanie w analizie matematycznej. Materiał obejmuje definicje, przykłady oraz warunki istnienia funkcji wymiernych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

31,34418

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080
O
MatematykaMatematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3840
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,4190
MatematykaMatematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,4115,675
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6560
P
MatematykaMatematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6300
Z
MatematykaMatematyka

Zapisywanie ułamków dziesiętnych

Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.

52,1470
M
MatematykaMatematyka

matematyka

tabliczka mnożenia

51,8584

Najpopularniejsze notatki

9
K
TechnikaTechnika

Karta rowerowa

UwU

45,4063
N
TechnikaTechnika

Nauka znaków drogowych

Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę

44,0182
W
Język polskiJęzyk polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9840
Q
Język polskiJęzyk polski

Quiz-Dziady cz.2

Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!

83,6012
B
BiologiaBiologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8044
Język polskiJęzyk polski

Polski e8

Egzamin ósmoklasisty

88,681377
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
C
Język angielskiJęzyk angielski

Czasowniki nieregularne w Past Simple

Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.

65,0340
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS