Monotoniczność, różnowartościowość, parzystość i nieparzystość funkcji — definicje i przykłady

Własności funkcji

Monotoniczność i różnowartościowość

• Monotoniczność: funkcja może być rosnąca, malejąca, stała lub monotoniczna przedziałami.
• Różnowartościowość: funkcja przyjmuje każdą wartość tylko raz; dla $x_1 \neq x_2$ zachodzi $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Parzystość i nieparzystość

• Funkcja parzysta: symetryczna względem osi OY, spełnia warunek $f(-x) = f(x)$.
• Funkcja nieparzysta: symetryczna względem początku układu współrzędnych, spełnia warunek $f(-x) = -f(x)$.

💡 Wskazówka: Wykres funkcji parzystej złożysz na pół wzdłuż osi pionowej, a nieparzystej obrócisz o $180^\circ$ wokół punktu $(0,0)$.

Badanie własności w praktyce

Różnowartościowość i monotoniczność

Badamy znak różnicy $f(x_1) - f(x_2)$ dla argumentów $x_1 < x_2$.

Beispiel: Dla $f(x) = -4x + 8$: $f(x_1) - f(x_2) = -4(x_1 - x_2) \neq 0$ (bo $x_1 \neq x_2$). Funkcja jest różnowartościowa.

Badanie parzystości i nieparzystości

Wstawiamy $-x$ w miejsce każdego $x$ we wzorze funkcji.

• Parzysta: $f(x) = \frac{5x^2}{x^2+3} \rightarrow f(-x) = \frac{5(-x)^2}{(-x)^2+3} = f(x)$.
• Nieparzysta: jeśli po uproszczeniu otrzymasz $-f(x)$.

💡 Krok po kroku: Zawsze zaczynaj od wyznaczenia dziedziny – musi być symetryczna względem zera.