Zacznij

Matematyka

Funkcje i tożsamości trygonometryczne

Tożsamości Pitagorejskie

Matematyka285Zaktualizowano 6 paź 20262 strony

Najważniejsze wzory matematyczne do egzaminu ósmoklasisty

Zgłoś
user profile picture
Magdalena Prokop@magdalenaprokop_kgqw
Dodaj do źródeł Google
Matematyka to królowa nauk, a znajomość podstawowych wzorów matematycznych to Twój klucz do sukcesu! Poniżej znajdziesz najważniejsze wzory i zależności, które pomogą Ci rozwiązać zadania z geometrii płaskiej i przestrzennej oraz działania na potęgach i pierwiastkach.
najważniejsze wzory i informacje do egzaminu ósmoklasisty z matematyki – strona 1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Najważniejsze wzory matematyczne - część I

Zacznijmy od podstawowych wzorów na pola figur płaskich, które musisz znać! Pole trójkąta obliczysz mnożąc długość podstawy przez wysokość i dzieląc przez 2: a⋅h2\frac{a \cdot h}{2}. Dla trapezu wzór jest podobny: (a+b)h2\frac{(a+b)h}{2}, gdzie a i b to długości podstaw.

Pole równoległoboku to po prostu iloczyn długości boku i wysokości: a⋅ha \cdot h, a pole rombu możesz obliczyć znając długości przekątnych: e⋅f2\frac{e \cdot f}{2}. Najprostsze figury mają najprostsze wzory: pole kwadratu to a2a^2, a prostokąta a⋅ba \cdot b.

Przyda Ci się też kilka specjalnych wzorów. Przekątna kwadratu to a2a\sqrt{2}, a wysokość trójkąta równobocznego o boku a wynosi a32\frac{a\sqrt{3}}{2}. Pole takiego trójkąta to a234\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.

💡 Wskazówka: Wzór na współrzędne środka odcinka AB to S=(xA+xB2,yA+yB2)S = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}) - zapamiętaj, że po prostu liczysz średnią współrzędnych końców odcinka!

W geometrii przestrzennej kluczowe są wzory: objętość graniastosłupa Pp⋅HP_p \cdot H (pole podstawy razy wysokość), pole powierzchni graniastosłupa 2Pp+Pb2P_p + P_b (dwa razy pole podstawy plus pole boczne), objętość sześcianu a3a^3 i jego pole powierzchni 6a26a^2.

najważniejsze wzory i informacje do egzaminu ósmoklasisty z matematyki – strona 2

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Najważniejsze wzory matematyczne - część II

Kontynuujmy naszą przygodę z bryłami! Pole powierzchni ostrosłupa obliczysz dodając pole podstawy i pole boczne: PbCa=Pp+PbP_{bCa} = P_p + P_b. Jego objętość to 13Pp⋅H\frac{1}{3}P_p \cdot H - zauważ, że jest trzy razy mniejsza niż objętość graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.

Z kolei w świecie kół i okręgów obwód okręgu to l=2πrl = 2\pi r lub l=πdl = \pi d, a pole koła wynosi P=πr2P = \pi r^2. Te wzory będziesz używać bardzo często!

Potęgi mają swoje zasady, które ułatwiają obliczenia. Najważniejsze z nich to: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} (przy mnożeniu potęgujemy tę samą podstawę dodając wykładniki) oraz (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} (potęgę podnosimy do potęgi mnożąc wykładniki).

💡 Zapamiętaj: Twierdzenie Pitagorasa a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 to jeden z najważniejszych wzorów w geometrii - pozwala obliczać długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym!

Przy działaniach na pierwiastkach pamiętaj o najważniejszych własnościach: a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} oraz ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} dla b≠0. Podobne zasady działają też dla pierwiastków sześciennych. Te wzory pozwolą Ci uprościć wiele skomplikowanych wyrażeń!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Matematyka

Funkcje Trygonometryczne: Równania

Odkryj kluczowe równania i tożsamości trygonometryczne dla kątów ostrych. Zrozum, jak sin, cos i tg są ze sobą powiązane oraz jak stosować te zależności w praktycznych przykładach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

1167831
Matematyka

Podstawy Trygonometrii

Zrozumienie funkcji trygonometrycznych, twierdzenia Pitagorasa oraz podstawowych tożsamości trygonometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kąty ostre i wypukłe oraz ich wartości.

26799105
Matematyka

Wzory i Twierdzenia w Planimetrii

Zbiór kluczowych wzorów i twierdzeń z planimetrii, w tym twierdzenie Pitagorasa, wzory skróconego mnożenia oraz zasady dotyczące podobieństwa wielokątów. Idealne materiały do nauki dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

49249
Matematyka

Rodzaje Przedziałów Liczbowych

Zrozumienie różnych typów przedziałów liczbowych, w tym przedziałów otwartych i domkniętych. Ta notatka zawiera definicje, przykłady oraz zastosowania przedziałów w matematyce. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z analizy matematycznej.

1130350
Matematyka

Rodzaje Przedziałów Liczbowych

Zrozumienie rodzajów przedziałów liczbowych, w tym przedziałów otwartych, zamkniętych oraz półotwartych. Dowiedz się, jak definiować przedziały oraz ich zastosowanie w matematyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z analizy matematycznej.

1284926
Matematyka

Rodzaje Przedziałów Liczbowych

Zrozumienie różnych rodzajów przedziałów liczbowych, w tym przedziałów otwartych, zamkniętych i nieograniczonych. Dowiedz się, jak poprawnie zapisywać przedziały oraz ich zastosowanie w matematyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

1117348
Zobacz więcej

Najpopularniejsze notatki: Tożsamości Pitagorejskie

Matematyka

Podstawy Trygonometrii

Zrozumienie funkcji trygonometrycznych, twierdzenia Pitagorasa oraz podstawowych tożsamości trygonometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kąty ostre i wypukłe oraz ich wartości.

26799105
Matematyka

Wzory i Twierdzenia w Planimetrii

Zbiór kluczowych wzorów i twierdzeń z planimetrii, w tym twierdzenie Pitagorasa, wzory skróconego mnożenia oraz zasady dotyczące podobieństwa wielokątów. Idealne materiały do nauki dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

49249

Najpopularniejsze notatki: Matematyka

Matematyka

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej, jej właściwości, miejsca zerowe oraz zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Materiał obejmuje przykłady, wzory oraz metody analizy funkcji kwadratowej w kontekście geometrii i algebraicznych równań. Typ: Podsumowanie.

173 5713232
Matematyka

Nwd i nww

Obliczanie i wyjasnienie nww oraz nwd

6 SP516498
Matematyka

Cechy Podzielności Liczb

Zrozum zasady podzielności liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych. Dowiedz się, jak rozpoznawać liczby parzyste i nieparzyste oraz zastosować reguły podzielności w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

7 SP248351
Matematyka

Funkcja liniowa

Zakres podstawowy

1141329
Matematyka

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie pierwiastków: definicje, wzory oraz metody obliczania. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pierwiastki, a także jak wyciągać czynniki przed pierwiastek. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

6 SP42 9772552
Matematyka

Nierówności i Równania Kwadratowe

Zgłębiaj nierówności i równania kwadratowe! Dowiedz się o własnościach funkcji kwadratowej, miejscach zerowych, oraz sposobach przekształcania postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Przykłady zadań tekstowych oraz szczegółowe omówienie delty i jej zastosowania w rozwiązywaniu równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

220 299429
Matematyka

Ułamki Dziesiętne: Operacje

Zrozumienie ułamków dziesiętnych: ich zapis, konwersja na ułamki zwykłe oraz podstawowe operacje matematyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Przykłady i szczegółowe wyjaśnienia dla uczniów. Typ: Podsumowanie.

6 SP22 300652
Matematyka

Liczby i działania

Notatka na sprawdzian z matematyki. Liczby i działania. wszystkie tematy z działu 1 z podręcznika Matematyka z plusem.

8 SP119423
Matematyka

Podstawy Pierwiastków

Zrozum definicję pierwiastków, ich właściwości oraz działania na pierwiastkach. Dowiedz się, jak dodawać i odejmować pierwiastki o tych samych stopniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

6 SP12 182263

Najpopularniejsze notatki

Język polski

Mity Greckie: Kluczowe Opowieści

Zanurz się w fascynujący świat mitologii greckiej. Odkryj kluczowe mity, takie jak historia Prometeusza, Demeter i Persefony, oraz Syzyfa. Poznaj bogów, herosów i ich niezwykłe przygody, które kształtowały wierzenia starożytnych Greków. Idealne dla studentów literatury i mitologii.

138 4311239
Język polski

Inny Świat: Wspomnienia z Jercewa

Odkryj 'Inny Świat' Gustawa Herlinga-Grudzińskiego, autobiograficzną powieść dokumentalną, która ukazuje brutalne realia życia w radzieckim obozie pracy. Autor, oskarżony o szpiegostwo, dzieli się swoimi przeżyciami, refleksjami na temat ludzkiej psychiki oraz relacjami z innymi więźniami. Poznaj głębokie analizy moralności, cierpienia i nadziei w nieludzkich warunkach. Idealne dla studentów literatury i historii, którzy pragną zrozumieć kontekst wojenny i totalitarny.

314 979347
Język polski

Mity Greckie i Bogowie

Zanurz się w fascynujący świat mitologii greckiej, odkrywając kluczowe mity, takie jak opowieści o Perseuszu, Edypie, Prometeuszu oraz bogach olimpijskich. Ta notatka zawiera szczegółowe opisy postaci, ich atrybutów oraz znaczenie mitów w kontekście kultury greckiej. Idealna dla studentów literatury i mitologii. Typ: streszczenie.

126 1321253
Język polski

Antyk / Starożytność

ramy czasowe, cywilizację, sztuka antyczna, cechy literatury, szkoły filozoficzne, filozofowie, wzorce osobowe, budowa teatru, budowa tragedii antycznej i jej cechy

112 374217
Język polski

Dżuma: Tematy i Motywy

Analiza powieści 'Dżuma' Alberta Camusa, obejmująca kluczowe tematy, takie jak dżuma jako symbol zła, absurd oraz wojny. Zawiera omówienie postaci, ich postaw wobec epidemii, znaczenie tytułu oraz kazania ojca Paneloux. Idealne dla studentów literatury i filozofii, poszukujących głębszego zrozumienia utworu.

346 9591202
Język angielski

Czasy w Języku Angielskim

Kompleksowe notatki dotyczące podstawowych czasów w języku angielskim, idealne dla maturzystów 2025. Zawierają szczegółowe omówienie Present Simple, Present Continuous, Past Simple, Past Perfect i innych, z przykładami i zasadami użycia. Przygotuj się skutecznie do egzaminu z tym 46-stronicowym materiałem!

425 6681272
Język polski

Antyk - notatka

Hejka! Oto krótka notatka z Antyku. Jest tu o filozofii, o teatrze, o Antygonie, Mitologii i Iliadzie.

111 076290
Język angielski

Czasy w języku angielskim na egzamin ósmoklasisty.

Wszystkie czasy na egzamin ósmoklasisty z języka angielskiego (2025)!<3

8 SP14 819393
Język polski

Edelman i Powstanie w Getcie

Analiza lektury 'Zdążyć przed Panem Bogiem' Hanny Krall, koncentrująca się na tematach takich jak etyka, cierpienie, oraz heroizm w kontekście powstania w warszawskim getcie. Opracowanie omawia genezę, problematykę oraz kluczowe postacie, w tym Marka Edelmana, ukazując złożoność wyborów moralnych w obliczu Holokaustu.

314 663352

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas, pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Stefan Sużytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Samantha Klichużytkownik Androida

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Annaużytkownik iOS

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.