Otwórz aplikację

Przedmioty

2009

8 gru 2025

25 strony

Matura Matematyka 2023: Notatki i Teoria, Cz. 1

O

ogierczynska

@otworzbuzie_

Poznajmy razem fundamentalne pojęcia matematyczne, które będą Twoim kluczem do... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
1 / 10
LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Liczby rzeczywiste i zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe to fundament całej matematyki - zrozumiesz je bez problemu! Liczby wymierne (Q) to wszystkie ułamki postaci p/q, gdzie p i q to liczby całkowite, a q≠0. Liczby rzeczywiste (R) obejmują zarówno wymierne, jak i niewymierne (jak π czy e).

Zbiór to podstawowe pojęcie matematyczne - może być skończony jakA=1,2,3,4jak A = {1,2,3,4} albo nieskończony (jak zbiór liczb naturalnych N). Pamiętaj o zbiorze pustym ∅ - nie zawiera żadnych elementów, ale jest bardzo użyteczny w dowodach!

Wskazówka: Zapisując przynależność do zbioru używamy symbolu ∈, np. 5 ∈ N oznacza, że 5 należy do liczb naturalnych.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Elementy logiki matematycznej

Logika matematyczna może wydawać się abstrakcyjna, ale to po prostu sposób precyzyjnego myślenia! Zdanie logiczne to wypowiedź, która jest albo prawdziwa (1), albo fałszywa (0).

Poznaj podstawowe spójniki logiczne: negacja (~p), koniunkcja pq"i"p∧q - "i", alternatywa pq"lub"p∨q - "lub", implikacja pq"jesˊli...to"p⟹q - "jeśli...to" oraz równoważność pq"wtedyitylkowtedygdy"p⟺q - "wtedy i tylko wtedy gdy". Implikacja jest fałszywa tylko gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

Prawa De Morgana to bardzo praktyczne reguły: zaprzeczenie alternatywy równa się koniunkcji zaprzeczeń, a zaprzeczenie koniunkcji równa się alternatywie zaprzeczeń. Te wzory często się przydają w rozwiązywaniu zadań!

Pamiętaj: Tautologia to zdanie zawsze prawdziwe - niezależnie od wartości logicznych składników.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Działania na zbiorach

Operacje na zbiorach są intuicyjne - wyobraź je sobie jako działania na kręgach! Suma zbiorów (A∪B) zawiera wszystkie elementy z obu zbiorów. Iloczyn zbiorów (A∩B) to część wspólna - elementy należące jednocześnie do A i B.

Różnica zbiorów A\BA\B to elementy z A, które nie należą do B. Gdy mówimy, że A⊂B (A zawiera się w B), oznacza to, że każdy element A należy też do B.

Dopełnienie zbioru A' to wszystkie elementy przestrzeni, które nie należą do A. Pamiętaj, że A∪A' daje całą przestrzeń, a A∩A' = ∅.

Tip: Rysuj diagramy Venna - wizualizacja bardzo ułatwia zrozumienie operacji na zbiorach!

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Potęgowanie i podstawowe wzory

Potęga aⁿ to po prostu n-krotne mnożenie liczby a przez siebie. Zapamiętaj kluczowe wzory działań na potęgach: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.

Potęga o wykładniku wymiernym a^m/nm/n = ⁿ√(aᵐ) łączy potęgowanie z pierwiastkowaniem. Warto zapamiętać podstawowe potęgi: 2¹⁰=1024, 3⁴=81, 5³=125.

Te wzory będą Twoimi najlepszymi przyjaciółmi w upraszczaniu wyrażeń algebraicznych!

Uwaga: a⁰ = 1 dla każdego a≠0, a a¹ = a zawsze.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Pierwiastki i logarytmy

Pierwiastek kwadratowy √a to liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje a. Dla pierwiastków obowiązują podobne reguły jak dla potęg: √(a·b) = √a·√b oraz √a/ba/b = √a/√b.

Pierwiastek sześcienny ³√a istnieje dla każdej liczby rzeczywistej, bo liczby ujemne też można podnosić do potęgi nieparzystej.

Logarytm log_a b = c oznacza, że aᶜ = b. Podstawowe wzory logarytmiczne: log_a(bc) = log_a b + log_a c, log_ab/cb/c = log_a b - log_a c, log_a(bᵖ) = p·log_a b. Logarytm dziesiętny oznaczamy lg, a naturalny - ln.

Pamiętaj: log_a 1 = 0 i log_a a = 1 dla każdego a > 0, a ≠ 1.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Przedziały i wartość bezwzględna

Przedziały liczbowe to elegant ki sposób zapisu zbiorów liczb. Przedział (a,b) jest otwarty - nie zawiera końców, a ⟨a,b⟩ jest domknięty i zawiera oba końce. Kombinacje dają przedziały półotwarte.

Wartość bezwzględna |a| to odległość liczby od zera na osi liczbowej. Dla a≥0 mamy |a|=a, dla a<0 mamy |a|=-a.

Środek odcinka między punktami AxAx_A i BxBx_B ma współrzędną x_s = xA+xBx_A + x_B/2. To bardzo przydatny wzór w geometrii analitycznej!

NWD i NWW to podstawowe narzędzia do działań na ułamkach - największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność.

Wskazówka: Na osi liczbowej kółko oznacza koniec otwarty (○), a kropka zamknięty (●).

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Błędy przybliżenia i procenty

Błąd bezwzględny Δ = |a - p| pokazuje, jak bardzo przybliżenie p różni się od prawdziwej wartości a. Błąd względny Δ_r = |a-p|/a wyrażamy często w procentach.

Procent to jedna setna część: 1% = 1/100. p% z liczby a to p/100p/100·a. To podstawa wszystkich obliczeń procentowych!

Procent prosty: odsetki nalicza się zawsze od początkowej kwoty. Procent składany: odsetki dopisuje się do kapitału i w kolejnym okresie nalicza odsetki od większej sumy. Wzór: K·1+p/1001 + p/100ⁿ po n okresach.

Praktyczne zastosowanie: Procent składany opisuje rzeczywisty wzrost oszczędności czy inflację!

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Wzory skróconego mnożenia i statystyka

Wzory skróconego mnożenia to must-have każdego ucznia! a+ba+b² = a² + 2ab + b², aba-b² = a² - 2ab + b², a+ba+baba-b = a² - b². Zapamiętaj je na całe życie!

W statystyce opisowej dane prezentujemy za pomocą wykresów: słupkowych, kołowych, histogramów. Mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych - dla nieparzystej liczby danych to element środkowy, dla parzystej - średnia dwóch środkowych.

Te narzędzia pomagają zrozumieć i opisać różne zjawiska liczbowe w otaczającym nas świecie.

Pamiętaj: Wzory skróconego mnożenia działają w obie strony - możesz nimi rozwijać i faktoryzować!

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Średnie i miary rozproszenia

Średnia arytmetyczna x̄ = x1+x2+...+xnx₁ + x₂ + ... + xₙ/n to podstawowa miara położenia danych. Średnia ważona uwzględnia różne "wagi" poszczególnych wartości.

Wariancja σ² i odchylenie standardowe σ mierzą, jak bardzo dane są rozrzucone wokół średniej. Im większe odchylenie, tym bardziej zróżnicowane dane. Współczynnik zmienności V wyrażony w procentach pozwala porównywać zmienność różnych zbiorów danych.

Te miary statystyczne pomagają zrozumieć nie tylko "typową" wartość, ale też jak bardzo dane się różnią.

Wskazówka: Odchylenie standardowe ma te same jednostki co dane pierwotne, więc łatwo je interpretować.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Równania, proporcje i podobieństwo

Równanie pierwszego stopnia ax + b = 0 może mieć jedno rozwiązanie (gdy a≠0), nieskończenie wiele gdya=0ib=0gdy a=0 i b=0 lub żadnego gdya=0ib0gdy a=0 i b≠0.

Proporcja a/b = c/d oznacza, że ad = bc (iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych). To podstawa wielu praktycznych obliczeń!

Figury podobne mają takie same kąty i proporcjonalne boki. Jeśli skala podobieństwa to k, to stosunek obwodów to k, a stosunek pól to k². Trójkąty podobne oznaczamy symbolem ~.

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich wartości, dla których funkcja ma sens - pamiętaj o ograniczeniach jak dzielenie przez zero czy pierwiastek z liczby ujemnej.

Praktyczne zastosowanie: Podobieństwo wykorzystuje się w mapach, planach architektonicznych i wszędzie tam, gdzie trzeba zachować proporcje!



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: funkcje trygonometryczne

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Najpopularniejsze notatki

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

2009

8 gru 2025

25 strony

Matura Matematyka 2023: Notatki i Teoria, Cz. 1

O

ogierczynska

@otworzbuzie_

Poznajmy razem fundamentalne pojęcia matematyczne, które będą Twoim kluczem do zrozumienia wyższej matematyki! Omówimy liczby rzeczywiste, logikę matematyczną, działania na zbiorach oraz podstawowe zagadnienia z algebry i statystyki.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Liczby rzeczywiste i zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe to fundament całej matematyki - zrozumiesz je bez problemu! Liczby wymierne (Q) to wszystkie ułamki postaci p/q, gdzie p i q to liczby całkowite, a q≠0. Liczby rzeczywiste (R) obejmują zarówno wymierne, jak i niewymierne (jak π czy e).

Zbiór to podstawowe pojęcie matematyczne - może być skończony jakA=1,2,3,4jak A = {1,2,3,4} albo nieskończony (jak zbiór liczb naturalnych N). Pamiętaj o zbiorze pustym ∅ - nie zawiera żadnych elementów, ale jest bardzo użyteczny w dowodach!

Wskazówka: Zapisując przynależność do zbioru używamy symbolu ∈, np. 5 ∈ N oznacza, że 5 należy do liczb naturalnych.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Elementy logiki matematycznej

Logika matematyczna może wydawać się abstrakcyjna, ale to po prostu sposób precyzyjnego myślenia! Zdanie logiczne to wypowiedź, która jest albo prawdziwa (1), albo fałszywa (0).

Poznaj podstawowe spójniki logiczne: negacja (~p), koniunkcja pq"i"p∧q - "i", alternatywa pq"lub"p∨q - "lub", implikacja pq"jesˊli...to"p⟹q - "jeśli...to" oraz równoważność pq"wtedyitylkowtedygdy"p⟺q - "wtedy i tylko wtedy gdy". Implikacja jest fałszywa tylko gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

Prawa De Morgana to bardzo praktyczne reguły: zaprzeczenie alternatywy równa się koniunkcji zaprzeczeń, a zaprzeczenie koniunkcji równa się alternatywie zaprzeczeń. Te wzory często się przydają w rozwiązywaniu zadań!

Pamiętaj: Tautologia to zdanie zawsze prawdziwe - niezależnie od wartości logicznych składników.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Działania na zbiorach

Operacje na zbiorach są intuicyjne - wyobraź je sobie jako działania na kręgach! Suma zbiorów (A∪B) zawiera wszystkie elementy z obu zbiorów. Iloczyn zbiorów (A∩B) to część wspólna - elementy należące jednocześnie do A i B.

Różnica zbiorów A\BA\B to elementy z A, które nie należą do B. Gdy mówimy, że A⊂B (A zawiera się w B), oznacza to, że każdy element A należy też do B.

Dopełnienie zbioru A' to wszystkie elementy przestrzeni, które nie należą do A. Pamiętaj, że A∪A' daje całą przestrzeń, a A∩A' = ∅.

Tip: Rysuj diagramy Venna - wizualizacja bardzo ułatwia zrozumienie operacji na zbiorach!

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Potęgowanie i podstawowe wzory

Potęga aⁿ to po prostu n-krotne mnożenie liczby a przez siebie. Zapamiętaj kluczowe wzory działań na potęgach: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.

Potęga o wykładniku wymiernym a^m/nm/n = ⁿ√(aᵐ) łączy potęgowanie z pierwiastkowaniem. Warto zapamiętać podstawowe potęgi: 2¹⁰=1024, 3⁴=81, 5³=125.

Te wzory będą Twoimi najlepszymi przyjaciółmi w upraszczaniu wyrażeń algebraicznych!

Uwaga: a⁰ = 1 dla każdego a≠0, a a¹ = a zawsze.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Pierwiastki i logarytmy

Pierwiastek kwadratowy √a to liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje a. Dla pierwiastków obowiązują podobne reguły jak dla potęg: √(a·b) = √a·√b oraz √a/ba/b = √a/√b.

Pierwiastek sześcienny ³√a istnieje dla każdej liczby rzeczywistej, bo liczby ujemne też można podnosić do potęgi nieparzystej.

Logarytm log_a b = c oznacza, że aᶜ = b. Podstawowe wzory logarytmiczne: log_a(bc) = log_a b + log_a c, log_ab/cb/c = log_a b - log_a c, log_a(bᵖ) = p·log_a b. Logarytm dziesiętny oznaczamy lg, a naturalny - ln.

Pamiętaj: log_a 1 = 0 i log_a a = 1 dla każdego a > 0, a ≠ 1.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przedziały i wartość bezwzględna

Przedziały liczbowe to elegant ki sposób zapisu zbiorów liczb. Przedział (a,b) jest otwarty - nie zawiera końców, a ⟨a,b⟩ jest domknięty i zawiera oba końce. Kombinacje dają przedziały półotwarte.

Wartość bezwzględna |a| to odległość liczby od zera na osi liczbowej. Dla a≥0 mamy |a|=a, dla a<0 mamy |a|=-a.

Środek odcinka między punktami AxAx_A i BxBx_B ma współrzędną x_s = xA+xBx_A + x_B/2. To bardzo przydatny wzór w geometrii analitycznej!

NWD i NWW to podstawowe narzędzia do działań na ułamkach - największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność.

Wskazówka: Na osi liczbowej kółko oznacza koniec otwarty (○), a kropka zamknięty (●).

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Błędy przybliżenia i procenty

Błąd bezwzględny Δ = |a - p| pokazuje, jak bardzo przybliżenie p różni się od prawdziwej wartości a. Błąd względny Δ_r = |a-p|/a wyrażamy często w procentach.

Procent to jedna setna część: 1% = 1/100. p% z liczby a to p/100p/100·a. To podstawa wszystkich obliczeń procentowych!

Procent prosty: odsetki nalicza się zawsze od początkowej kwoty. Procent składany: odsetki dopisuje się do kapitału i w kolejnym okresie nalicza odsetki od większej sumy. Wzór: K·1+p/1001 + p/100ⁿ po n okresach.

Praktyczne zastosowanie: Procent składany opisuje rzeczywisty wzrost oszczędności czy inflację!

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory skróconego mnożenia i statystyka

Wzory skróconego mnożenia to must-have każdego ucznia! a+ba+b² = a² + 2ab + b², aba-b² = a² - 2ab + b², a+ba+baba-b = a² - b². Zapamiętaj je na całe życie!

W statystyce opisowej dane prezentujemy za pomocą wykresów: słupkowych, kołowych, histogramów. Mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych - dla nieparzystej liczby danych to element środkowy, dla parzystej - średnia dwóch środkowych.

Te narzędzia pomagają zrozumieć i opisać różne zjawiska liczbowe w otaczającym nas świecie.

Pamiętaj: Wzory skróconego mnożenia działają w obie strony - możesz nimi rozwijać i faktoryzować!

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Średnie i miary rozproszenia

Średnia arytmetyczna x̄ = x1+x2+...+xnx₁ + x₂ + ... + xₙ/n to podstawowa miara położenia danych. Średnia ważona uwzględnia różne "wagi" poszczególnych wartości.

Wariancja σ² i odchylenie standardowe σ mierzą, jak bardzo dane są rozrzucone wokół średniej. Im większe odchylenie, tym bardziej zróżnicowane dane. Współczynnik zmienności V wyrażony w procentach pozwala porównywać zmienność różnych zbiorów danych.

Te miary statystyczne pomagają zrozumieć nie tylko "typową" wartość, ale też jak bardzo dane się różnią.

Wskazówka: Odchylenie standardowe ma te same jednostki co dane pierwotne, więc łatwo je interpretować.

LICZBY RZECZYWISTE
D21AŁANIA NA NICH
1. ZBIORY LICZBONE
N(Q)
17 MN (12)
13
eliczba evliera
C
4.
3
852,7
R
ZBIÓR - pojęcie pierwotne.
zbiory

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Równania, proporcje i podobieństwo

Równanie pierwszego stopnia ax + b = 0 może mieć jedno rozwiązanie (gdy a≠0), nieskończenie wiele gdya=0ib=0gdy a=0 i b=0 lub żadnego gdya=0ib0gdy a=0 i b≠0.

Proporcja a/b = c/d oznacza, że ad = bc (iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych). To podstawa wielu praktycznych obliczeń!

Figury podobne mają takie same kąty i proporcjonalne boki. Jeśli skala podobieństwa to k, to stosunek obwodów to k, a stosunek pól to k². Trójkąty podobne oznaczamy symbolem ~.

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich wartości, dla których funkcja ma sens - pamiętaj o ograniczeniach jak dzielenie przez zero czy pierwiastek z liczby ujemnej.

Praktyczne zastosowanie: Podobieństwo wykorzystuje się w mapach, planach architektonicznych i wszędzie tam, gdzie trzeba zachować proporcje!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

47

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

przesunięcie wykresu funkcji oś OX OY

Notatka o tematyce przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi OX i OY na podstawie podstawy programowej

MatematykaMatematyka
2

Matematyka Maturalna: Kluczowe Tematy

Zgłębiaj kluczowe zagadnienia matematyczne na poziomie podstawowym, w tym równania, funkcje, geometria trójkątów oraz symetrię. Idealne materiały do nauki przed maturą. Obejmuje m.in. równania z niewiadomymi, monotoniczność funkcji, przekształcenia funkcji oraz właściwości figur geometrycznych.

MatematykaMatematyka
4

Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna i zadania

MatematykaMatematyka
3

Przekształcenia funkcji i wektorów

Zrozumienie przekształceń wykresów funkcji oraz geometrii wektorowej. Obejmuje symetrię osiową, symetrię środkową, przesunięcia równoległe oraz ich wpływ na kształt i wielkość figur. Idealne dla uczniów klasy II szkoły średniej.

MatematykaMatematyka
1

Przekształcenia Wykresów Funkcji

Zrozumienie przekształceń wykresów funkcji, w tym symetrii względem osi OX i OY. Dowiedz się, jak uzyskać wykresy funkcji y = -f(x) oraz y = f(-x) poprzez symetryczne odbicia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Transformacje funkcji logarytmicznej

Zrozumienie przesunięć wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi OX i OY. Dowiedz się o dziedzinie, asymptotach, monotoniczności oraz właściwościach funkcji. Przykłady ilustrujące przesunięcia w prawo, lewo, w górę i w dół. Typ materiału: wykresy i analizy funkcji.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki: funkcje trygonometryczne

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Najpopularniejsze notatki

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS