Przedmioty

Matematyka

Geometria

Geometria analityczna

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

929

•

25 lis 2025

•

2 strony

Pierwiastki i Potęgi – Kompletny Przewodnik Dla Uczniów

Zuzia Zatorska

@zuzia_zatorska

Matematyka bywa trudna, ale dzięki właściwościom pierwiastków i potęg możesz... Pokaż więcej

Pierwiastek kwadratowy
sxe scienny
⑥ = b. qady b* :e
²0.36 0.6
e
10器
:
:
(a) : al: 0
Q
aib.gay be
goly
tab=ab
:
.
fa
公公滑
:
:
沿
a la
: 0
Fe
.

Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy to taka liczba, która pomnożona przez samą siebie daje liczbę podpierwiastkową. Zapisujemy to jako $\sqrt[2]{a} = b$ , gdy $b^2 = a$ . Podobnie działa pierwiastek sześcienny - to taka liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje liczbę podpierwiastkową $\sqrt[3]{a} = b$, gdy $b^3 = a$ .

Przy mnożeniu pierwiastków tego samego stopnia wystarczy pomnożyć liczby podpierwiastkowe: $\sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[2]{b} = \sqrt[2]{a \cdot b}$ . Ta sama zasada działa dla pierwiastków sześciennych: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$ .

Dzielenie pierwiastków również jest proste - dzielimy liczby podpierwiastkowe: $\sqrt[2]{a} \div \sqrt[2]{b} = \frac{\sqrt[2]{a}}{\sqrt[2]{b}}$ . Pamiętaj też o ważnych zależnościach: $(\sqrt[2]{a})^2 = a$ i $\sqrt[2]{a^2} = a$ (to samo dotyczy pierwiastków sześciennych).

Wskazówka: Kiedy widzisz $\sqrt[2]{25}$ , pomyśl: jaka liczba pomnożona przez samą siebie daje 25? Odpowiedź to 5, więc $\sqrt[2]{25} = 5$ .

Potęga o wykładniku całkowitym i wymiernym

Potęgi ułatwiają zapisywanie wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ . Przy dzieleniu odejmujemy wykładniki: $a^n \div a^m = a^{n-m}$ .

Potęga potęgi to potęga o wykładniku będącym iloczynem wykładników: $(a^n)^m = a^{n\cdot m}$ . Mnożąc potęgi o tym samym wykładniku, możemy zapisać je jako potęgę iloczynu: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ . Podobnie przy dzieleniu: $\frac{a^n}{b^n} = (a \div b)^n$ .

Potęga o wykładniku wymiernym łączy potęgowanie z pierwiastkowaniem: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$ . Pamiętaj, że ujemny wykładnik oznacza odwrotność: $a^{-1} = \frac{1}{a}$ .

Ciekawostka: Każdą potęgę o wykładniku wymiernym, np. $2^{\frac{3}{2}}$ , możesz zapisać na dwa sposoby: jako $\sqrt[2]{2^3}$ lub jako $(\sqrt[2]{2})^3$ . Oba zapisy dają ten sam wynik!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

droga prędkość czas

7365

250

Proste i odcinki

397

Proste i odcinki

3350

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Geometria

Geometria analityczna

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Matematyka

•

929

•

25 lis 2025

•

2 strony

Pierwiastki i Potęgi – Kompletny Przewodnik Dla Uczniów

Zuzia Zatorska

@zuzia_zatorska

Matematyka bywa trudna, ale dzięki właściwościom pierwiastków i potęg możesz rozwiązywać nawet skomplikowane zadania. Poznaj proste reguły działań, które ułatwią Ci pracę z tymi ważnymi elementami matematyki.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Wskazówka: Kiedy widzisz $\sqrt[2]{25}$ , pomyśl: jaka liczba pomnożona przez samą siebie daje 25? Odpowiedź to 5, więc $\sqrt[2]{25} = 5$ .

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Potęga o wykładniku całkowitym i wymiernym

Ciekawostka: Każdą potęgę o wykładniku wymiernym, np. $2^{\frac{3}{2}}$ , możesz zapisać na dwa sposoby: jako $\sqrt[2]{2^3}$ lub jako $(\sqrt[2]{2})^3$ . Oba zapisy dają ten sam wynik!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Droga, Czas, Prędkość

Zrozumienie zależności między drogą, czasem i prędkością. Przykłady obliczeń oraz porównania prędkości różnych obiektów. Idealne dla uczniów matematyki. Typ: podsumowanie.

Matematyka

Geometria Prosta i Odcinki

Zrozumienie podstawowych pojęć geometrii, takich jak prosta, półprosta i odcinek. Dowiedz się, jak definiować te elementy oraz ich właściwości, w tym nieskończoną liczbę punktów na prostej i ograniczenia odcinka. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Odcinki i Proste

Zrozumienie podstawowych pojęć geometrii: proste, półproste i odcinki. Dowiedz się o ich właściwościach, różnicach oraz przykładach prostych równoległych i prostopadłych. Idealne dla uczniów klasy 7. Typ: podsumowanie.

Matematyka

Obliczenia Drogi i Prędkości

Zrozumienie podstawowych wzorów dotyczących drogi, prędkości i czasu. Przykłady obliczeń oraz jednostki miar, które pomogą w rozwiązywaniu zadań matematycznych. Idealne dla uczniów uczących się o ruchu i jego parametrach.

Matematyka

Formuły pól figur

Zrozumienie formuł obliczania pól dla kwadratu, prostokąta, trójkąta, rombu, równoległoboku i trapezu. Idealne dla uczniów matematyki, którzy chcą opanować podstawowe pojęcia geometrii płaskiej. Typ: podsumowanie.

Matematyka

Prędkość, Droga, Czas

Zrozumienie relacji między prędkością, drogą i czasem. Przykłady obliczeń dla uczniów klasy 6, w tym jak obliczyć prędkość, drogę i czas na podstawie danych. Idealne dla uczniów uczących się podstaw fizyki i matematyki.

Matematyka

Podobne notatki

droga prędkość czas

7365

250

Proste i odcinki

397

Proste i odcinki

3350

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS