Pierwiastek kwadratowy, sześcienny, n-tego stopnia

Pierwiastek kwadratowy liczby to taka wartość, która po podniesieniu do kwadratu daje wyjściową liczbę. Zapisujemy go jako $\sqrt{a}=b$, gdzie $b^2=a$, a liczba $a$ musi być większa od zera. Przykładowo $\sqrt{144}=12$, bo $12^2=144$.

Pierwiastek sześcienny $\sqrt[3]{a}=b$ to liczba, która po podniesieniu do sześcianu daje $a$. Na przykład $\sqrt[3]{216}=6$, ponieważ $6^3=216$. Pierwiastek sześcienny może też być liczbą ujemną, np. $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Ogólnie pierwiastek n-tego stopnia $\sqrt[n]{a}=b$ oznacza, że $b^n=a$. Przykłady: $\sqrt[4]{16}=2$ bo $2^4=16$, $\sqrt[5]{-1}=-1$ bo $(-1)^5=-1$.

Pamiętaj! Przy pierwiastkach kwadratowych liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna, ale przy pierwiastkach nieparzystego stopnia (np. 3, 5, 7...) liczba pod pierwiastkiem może być dowolna.

Najważniejsze wzory to:

• $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
• $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
• $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$

Przykłady do ćwiczenia

Obliczanie pierwiastków wymaga nie tylko znajomości wzorów, ale też umiejętności szacowania i czasem sprytnego przekształcania wyrażeń. Zadania z pierwiastkami często pojawiają się na sprawdzianach i egzaminach!

Typowe zadania to obliczanie wartości pierwiastków np. $\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$, $\sqrt[5]{0,01024}$, zaokrąglanie wartości pierwiastków np. $\sqrt{2}$, $\sqrt{10}$, oraz ustalanie ile liczb naturalnych znajduje się między dwiema wyrażeniami z pierwiastkami.

Często trzeba też wyłączać czynnik przed pierwiastek, co znacznie upraszcza wyrażenia. Na przykład $\sqrt{50}$ można zapisać jako $5\sqrt{2}$, a $\sqrt{48}$ jako $4\sqrt{3}$.

Wskazówka: Przy wyłączaniu czynnika przed pierwiastek, szukaj największego kwadratu (przy pierwiastku kwadratowym) lub największego sześcianu (przy pierwiastku sześciennym), który jest dzielnikiem liczby pod pierwiastkiem.

Zadania z udowodnieniem równości wymagają przekształcenia obu stron równania do takiej samej postaci. Przykładowo, aby udowodnić, że $\sqrt{50} + \sqrt{2} = \sqrt{42}$, musisz pokazać, że obie strony są sobie równe po algebraicznych przekształceniach.

Trudniejsze zagadnienia z pierwiastkami

Potęgowanie pierwiastków to częste zagadnienie, które wymaga rozpisania potęgi na mnożenie i obliczenia wyniku. Na przykład, aby obliczyć $(\sqrt{5})^6$, trzeba rozpisać to jako $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot ... \cdot \sqrt{5}$ (sześć razy).

Przy obliczaniu wyrażeń typu $\sqrt{28\frac{4}{9}} \cdot \sqrt{9}$ czy $\sqrt[5]{-1,2} : \frac{\sqrt[5]{6}}{\sqrt[5]{5}}$ kluczowe jest stosowanie właściwości pierwiastków i zamiana działań na pierwiastkach na działania pod pierwiastkiem.

Złożone działania na pierwiastkach jak $\sqrt{80} : \sqrt{20} - \sqrt[3]{-8}$ wymagają wykonywania operacji krok po kroku. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem na pierwiastkach, a następnie pozostałe działania.

Sprytna metoda: Czasem pierwiastki można obliczyć "strzelając" - próbując kolejne liczby i sprawdzając, czy ich podniesienie do odpowiedniej potęgi daje liczbę pod pierwiastkiem. Na przykład dla $\sqrt[9]{-512}$ możemy sprawdzić, że $(-2)^9 = -512$, więc $\sqrt[9]{-512} = -2$.

Wyrażenia z pierwiastkami różnych stopni są szczególnie trudne i często wymagają przekształcania wszystkich pierwiastków do tego samego stopnia lub zamiany na potęgi o wykładnikach ułamkowych.

Rozwiązania zadań

Rozwiązania zadań pokazują różne strategie obliczania pierwiastków. Przy obliczaniu $\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$ należy najpierw upewnić się, czy można uprościć ułamek pod pierwiastkiem, a następnie obliczyć pierwiastek.

Zaokrąglanie wartości pierwiastków, jak $\sqrt{2} \approx 1,4$ czy $\sqrt{10} \approx 3,2$ (do jednej cyfry po przecinku), jest często potrzebne w praktycznych zastosowaniach. Dokładniejsze przybliżenia to $\sqrt{2} \approx 1,41$ i $\sqrt{10} \approx 3,16$ (do dwóch cyfr po przecinku).

Przy ustalaniu liczby liczb naturalnych między dwiema wyrażeniami np. między $\sqrt{55}$ a $\sqrt{111}$ najpierw obliczamy przybliżone wartości obu wyrażeń. Skoro $\sqrt{55} \approx 7,4$ i $\sqrt{111} \approx 10,5$, to między nimi są trzy liczby naturalne: 8, 9 i 10.

To Ci pomoże: W zadaniach typu "ile liczb naturalnych znajduje się między..." najpierw oblicz przybliżoną wartość wyrażeń, a następnie sprawdź, które liczby naturalne mieszczą się w tym przedziale.

Dla pierwiastków z większych liczb warto szukać rozkładu na czynniki - często ułatwia to obliczenia. Na przykład $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Przekształcenia wyrażeń z pierwiastkami

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek to bardzo przydatna technika, która upraszcza obliczenia. Na przykład $\sqrt{50}$ można zapisać jako $5\sqrt{2}$, bo $50 = 25 \cdot 2$, a $\sqrt{25} = 5$. Podobnie $\sqrt{42} = \sqrt{2 \cdot 21} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{21}$.

Przy uzasadnianiu równości typu $\sqrt{50} + \sqrt{2} = \sqrt{42}$ trzeba przekształcić lewą stronę: $\sqrt{50} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$, a prawą stronę: $\sqrt{42} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Widać, że obie strony są równe.

Dla równości $\sqrt{24} + \sqrt{54} = \sqrt{150}$ przekształcamy $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ i $\sqrt{54} = 3\sqrt{6}$, więc lewa strona to $2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} = 5\sqrt{6}$. Z kolei $\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$, więc równość jest prawdziwa.

Ważne: Przy udowadnianiu równości zawierających pierwiastki, kluczowym krokiem jest sprowadzenie obu stron do takiej samej postaci, najczęściej przez wyłączenie czynnika przed pierwiastek.

Przy pierwiastkach wyższych stopni, jak $\sqrt[3]{24}$ czy $\sqrt[3]{108}$, szukamy największej potęgi trójki (bo mamy pierwiastek sześcienny), która dzieli liczbę pod pierwiastkiem. Na przykład $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$.

Potęgowanie i złożone działania na pierwiastkach

Przy obliczaniu wyrażeń typu $(\sqrt[3]{5})^6$ rozkładamy potęgę na mnożenie: $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot ... \cdot \sqrt[3]{5}$ (sześć razy). Zauważ, że $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$, więc $(\sqrt[3]{5})^6 = 5^2 = 25$.

Dla wyrażenia $(2\sqrt{2})^4$ najpierw rozpisujemy jako $(2\sqrt{2})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{2})^4 = 16 \cdot 4 = 64$, ponieważ $(\sqrt{2})^4 = 2^2 = 4$.

Złożone obliczenia jak $\sqrt{80} : \sqrt{20} - \sqrt[3]{-8}$ wykonujemy krok po kroku. Najpierw $\sqrt{80} : \sqrt{20} = \sqrt{80:20} = \sqrt{4} = 2$. Wiemy, że $\sqrt[3]{-8} = -2$. Więc całość to $2 - (-2) = 4$.

Strategia sukcesu: Przy skomplikowanych wyrażeniach z pierwiastkami różnych stopni, rozbij problem na mniejsze części i obliczaj je po kolei, stosując odpowiednie wzory i przekształcenia.

Wyjątkowo złożone wyrażenia, jak $\sqrt[3]{1\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{4,8} + \sqrt[6]{-1}$, wymagają dokładnej analizy. Najpierw zamieniamy $1\frac{2}{3}$ na $\frac{5}{3}$ i $4,8$ na $\frac{48}{10}$, a następnie stosujemy właściwości pierwiastków: $\sqrt[3]{\frac{5}{3} \cdot \frac{48}{10}} = \sqrt[3]{8} = 2$. Dodatkowo $\sqrt[6]{-1} = -1$ bo $(-1)^6 = 1$. Więc całość to $2 + (-1) = 1$.