Podstawy pierwiastków i zasady obliczeń

Pierwiastek to liczba, która pomnożona sama przez siebie daje liczbę pod znakiem pierwiastka. Na przykład, $\sqrt{16} = 4$, bo $4 \cdot 4 = 16$. Podobnie $\sqrt{49} = 7$, bo $7 \cdot 7 = 49$.

Podczas obliczania pierwiastków możesz korzystać z kilku ważnych wzorów:

• $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ - pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków
• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ - pierwiastek z ułamka to ułamek z pierwiastków

Gdy masz pierwiastek z liczby, która nie jest kwadratem liczby naturalnej, możesz ją rozłożyć. Na przykład $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Podobnie $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Wskazówka: Zawsze szukaj "ukrytych" kwadratów w liczbie pod pierwiastkiem! Gdy znajdziesz kwadrat (np. 25, 36, 49), możesz go wyciągnąć przed znak pierwiastka.

Pierwiastkować możemy też ułamki: $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ oraz liczby dziesiętne: $\sqrt{0,36} = \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Pierwiastki trzeciego stopnia

Pierwiastek trzeciego stopnia (oznaczany jako $^3\sqrt{}$) to liczba, która pomnożona trzykrotnie przez siebie daje liczbę pod znakiem pierwiastka. Na przykład $^3\sqrt{8} = 2$, bo $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Pamiętaj, że pierwiastki trzeciego stopnia z liczb ujemnych też są możliwe! Na przykład $^3\sqrt{-125} = -5$, bo $(-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$. Trzy minusy dają nam minus (nieparzysta liczba).

Podobnie jak z pierwiastkami kwadratowymi, możemy pierwiastkować ułamki: $^3\sqrt{\frac{8}{27}} = \frac{^3\sqrt{8}}{^3\sqrt{27}} = \frac{2}{3}$, ponieważ $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ oraz $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Ważne! Niektóre liczby pod pierwiastkiem nie dają się dokładnie obliczyć - na przykład $^3\sqrt{7}$ czy $^3\sqrt{11}$ - nazywamy je liczbami niewymiernymi.

Możemy też wyłączać liczby przed pierwiastek. Na przykład $^3\sqrt{20} = ^3\sqrt{5 \cdot 4} = ^3\sqrt{5} \cdot ^3\sqrt{4} = ^3\sqrt{5} \cdot 2 = 2^3\sqrt{5}$, ponieważ $^3\sqrt{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2$.

Wyłączanie liczb przed pierwiastek

Istnieją dwa sposoby wyłączania liczb przed pierwiastek. Pierwszy polega na szukaniu par liczb, których iloczyn daje liczbę pod pierwiastkiem, i sprawdzeniu czy jedną z nich da się pierwiastkować.

Drugi sposób to rozkład na czynniki pierwsze. Na przykład dla $\sqrt{20}$:

20 | 2
10 | 2
 5 | 5
 1

Otrzymujemy $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$. Łączymy w pary liczby po prawej stronie - mamy parę dwójek $2 × 2 = 4$, a 5 zostaje bez pary. Zatem $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Dla większych liczb działa to podobnie. Dla $\sqrt{80}$ rozkładamy:

80 | 2
40 | 2
20 | 2
10 | 2
 5 | 5
 1

Mamy dwie pary dwójek: $(2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 4 \cdot 4 = 16$, a 5 zostaje pod pierwiastkiem. Zatem $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

Sprytna sztuczka: Po rozłożeniu na czynniki pierwsze, wystarczy pomnożyć przez siebie powtarzające się liczby, a te bez pary zostawić pod znakiem pierwiastka!