Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

Wymierne pierwiastki o współczynnikach całkowitych

2517

•

9 gru 2025

•

1 strona

Pierwiastki Chemiczne: Notatka

Qjonka.mat

@qjonka.mat

Pierwiastki to ważne narzędzie matematyczne, które będziesz często spotykać w... Pokaż więcej

$# Pierwiastki • # Działania na pierwiastkach - $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ - $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \$

Działania na pierwiastkach

Pierwiastki mają kilka kluczowych właściwości, które warto zapamiętać:

Pierwiastek z ilorazu to iloraz pierwiastków: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ . Na przykład $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{4}{15}}$ .

Pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków: $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ . Przykładowo $\sqrt{5 \times 7} = \sqrt{5} \times \sqrt{7}$ .

Możesz też zmieniać stopień pierwiastka: $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n\times p]{a^{m \times p}}$ oraz $(\sqrt[n]{a})^p = \sqrt[n]{a^p}$ . Na przykład $\sqrt[3]{569} = \sqrt[12]{569}$ oraz $(\sqrt[3]{2})^8 = \sqrt[3]{2^8}$ .

💡 Ważna wskazówka: Przy mnożeniu i dzieleniu pierwiastki można łączyć (gdy są tego samego stopnia) i rozdzielać, co często ułatwia obliczenia!

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Aby wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka kwadratowego, szukamy liczby pod pierwiastkiem, która jest kwadratem (np. 4, 9, 36). Przykłady:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ - wyciągamy 2 przed pierwiastek $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$ - wyciągamy 3 przed pierwiastek $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ - wyciągamy 6 przed pierwiastek

Dla pierwiastków wyższych stopni zasada jest podobna. Dla pierwiastka stopnia trzeciego szukamy sześcianów (np. 8, 27):

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = 2\sqrt[3]{2}$ $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \times 3} = 3\sqrt[3]{3}$

Pamiętaj, że nie każdą liczbę można rozbić dowolnie - szukamy takich, z których da się wyciągnąć pierwiastek odpowiedniego stopnia!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony.

759

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

2168

Wielomiany

3977

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Pierwiastek

Podstawy Pierwiastków

Zrozum definicję pierwiastków, ich właściwości oraz działania na pierwiastkach. Dowiedz się, jak dodawać i odejmować pierwiastki o tych samych stopniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Pierwiastki Chemiczne: Notatka

Działania na pierwiastkach

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony.

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Wielomiany

Najpopularniejsze notatki: Pierwiastek

Podstawy Pierwiastków

Pierwiastkowanie: Wzory i Przykłady

Podstawy Pierwiastkowania

Pierwiastkowanie Liczb

Pierwiastki Liczb

Własności Pierwiastków Matematycznych

Operacje na Pierwiastkach

Pierwiastki: Kwadratowe i Sześcienne

Operacje na Potęgach i Pierwiastkach

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Geometria Figur Płaszczyzny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Antyk: Filozofia i Mitologia

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Pierwiastki Chemiczne: Notatka

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Działania na pierwiastkach

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Równania z parametrem: Rozwiązania

Mnożenie i Dzielenie Ułamków

Teoria Wielomianów

Analiza Funkcji Wymiernej

Bézouta i Wielomiany

Dzielenie Wielomianów

Podobne notatki

Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony.

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Wielomiany

Najpopularniejsze notatki: Pierwiastek

Podstawy Pierwiastków

Pierwiastkowanie: Wzory i Przykłady

Podstawy Pierwiastkowania

Pierwiastkowanie Liczb

Pierwiastki Liczb

Własności Pierwiastków Matematycznych

Operacje na Pierwiastkach

Pierwiastki: Kwadratowe i Sześcienne

Operacje na Potęgach i Pierwiastkach

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty