Podział proporcjonalny — zadania i rozwiązania krok po kroku

Wprowadzenie do podziału proporcjonalnego

Czym jest podział proporcjonalny?

• Stosunek części: zapis typu $2:5$ oznacza, że całość dzielimy na udziały o wielkościach $2x$ oraz $5x$.
• Niewiadoma $x$: to wartość jednego pojedynczego udziału, którą musimy obliczyć.

Przykład: Podziel $28\text{ t}$ w stosunku $2:5$.

• $2x + 5x = 28 \Rightarrow 7x = 28 \Rightarrow x = 4$
• Części to: $2 \cdot 4 = 8\text{ t}$ oraz $5 \cdot 4 = 20\text{ t}$.

💡 Wskazówka: Suma wszystkich części z $x$ musi zawsze równać się początkowej całości.

Podział na wiele części i porównywanie

Podział w stosunku wielokrotnym

• Więcej części: zasada jest ta sama, dla stosunku $1:2:3$ zapisujesz równanie $1x + 2x + 3x = \text{całość}$.

Różnica między częściami

Gdy znasz różnicę między fragmentami, łatwo znajdziesz długość całego odcinka.

Przykład: Części odcinka są w stosunku $2:3$, a różnica między nimi wynosi $20\text{ m}$ (czyli $3x - 2x = 20\text{ m}$).

• $x = 20\text{ m}$
• Cały odcinek: $2x + 3x = 5x \Rightarrow 5 \cdot 20 = 100\text{ m}$.

💡 Wskazówka: Różnica między częściami $3x$ a $2x$ to po prostu $1x$.

Obliczanie całości na podstawie jednej części

Gdy znasz tylko jedną część

Czasami zadanie podaje konkretną wartość tylko dla jednego, np. najdłuższego fragmentu.

• Identyfikacja udziału: przypisz podaną wartość do odpowiedniego $x$ (np. najdłuższa część to $10x$).
• Obliczenie całości: znajdź $x$, a potem zsumuj wszystkie części, aby poznać pierwotną długość.

Przykład: Podział $1:3:10$, najdłuższa część ($10x$) ma $1,6\text{ dm}$.

• $10x = 1,6 \Rightarrow x = 0,16\text{ dm}$
• Całość ($14x$): $14 \cdot 0,16 = 2,24\text{ dm}$.

💡 Wskazówka: Uważnie czytaj treść zadania, aby nie pomylić wartości jednej części z sumą całości.