Jak obliczyć pole i wysokość trójkąta? - Wzory i objaśnienia dla dzieci

Biolchemiczna

8.10.2025

Matematyka

pole trójkąta

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt

Przekształcanie wzorów na pole trójkąta

1443

•

8 paź 2025

•

4 strony

Jak obliczyć pole i wysokość trójkąta? - Wzory i objaśnienia dla dzieci

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Biolchemiczna

@biolchemiczna

Trójkąty - kluczowe wzory i właściwości geometryczne

Dokument przedstawia kompleksowe... Pokaż więcej

1 / 4

$# Pole trikąta 1) Trojkąt równoboczny a A h a B $P_a$=$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $Obs=3a$ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ R=2r a $R=\frac{2$

Right-Angled Triangles

This page focuses on the properties and formulas related to right-angled triangles.

The wzór na pole trójkąta prostokątnego $formula for the area of a right-angled triangle$ is presented in multiple forms:

P = (1/2)ab, where 'a' and 'b' are the lengths of the two perpendicular sides.
P = (1/2)ch, where 'c' is the hypotenuse and 'h' is the height to the hypotenuse.

The Pythagorean theorem is highlighted: a² + b² = c², where 'c' is the hypotenuse and 'a' and 'b' are the other two sides.

Definition: Altitude $wysokość$ - The perpendicular line segment from a vertex to the opposite side (or its extension) in a triangle.

Example: The formula for the altitude of a right-angled triangle is given as h = (xy) / c, where 'x' and 'y' are segments of the hypotenuse created by the altitude.

Highlight: The diameter of the circumcircle of a right-angled triangle is equal to the length of its hypotenuse.

$# Pole trikąta 1) Trojkąt równoboczny a A h a B $P_a$=$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $Obs=3a$ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ R=2r a $R=\frac{2$

Scalene Triangles and General Triangle Properties

This page covers scalene triangles and general properties applicable to all triangles.

For scalene triangles, the wzór na pole trójkąta (formula for the area of a triangle) is presented in various forms:

P = (1/2)ah, where 'a' is any side and 'h' is the corresponding height.
P = (1/2)bc sin α, where 'b' and 'c' are two sides and α is the angle between them.

The page also discusses the classification of triangles based on their angles:

Acute triangle: All angles < 90°
Right-angled triangle: One angle = 90°
Obtuse triangle: One angle > 90°

Vocabulary: Scalene triangle $trójkąt różnoboczny$ - a triangle with no two sides of equal length.

Highlight: In an acute triangle, the center of the circumcircle lies inside the triangle, while in an obtuse triangle, it lies outside.

$# Pole trikąta 1) Trojkąt równoboczny a A h a B $P_a$=$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $Obs=3a$ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ R=2r a $R=\frac{2$

General Triangle Formulas and Heron's Formula

This final page presents general formulas applicable to all triangles and introduces Heron's formula.

The wzór na pole trójkąta $formula for the area of a triangle$ is given as P = pr, where 'p' is the semi-perimeter and 'r' is the inradius.

The relationship between the area $P$ , semi-perimeter $p$ , and circumradius $R$ is shown as: P = abc / (4R)

Highlight: Heron's formula for calculating the area of a triangle: P = √ $p(p-a)(p-b)(p-c)$ , where 'p' is the semi-perimeter and 'a', 'b', 'c' are the side lengths.

Definition: Semi-perimeter $półobwód$ - Half the perimeter of a triangle, calculated as p = $a + b + c$ / 2.

Example: The pole trójkąta kalkulator (triangle area calculator) often uses Heron's formula as it only requires the lengths of the three sides to compute the area.

$# Pole trikąta 1) Trojkąt równoboczny a A h a B $P_a$=$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $Obs=3a$ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ R=2r a $R=\frac{2$

Equilateral and Isosceles Triangles

This page introduces the formulas and properties of equilateral and isosceles triangles.

For equilateral triangles, the wzór na pole trójkąta równobocznego $formula for the area of an equilateral triangle$ is presented as P = (a² √3) / 4, where 'a' is the side length. The wzór na wysokość trójkąta równobocznego $formula for the height of an equilateral triangle$ is given as h = (a √3) / 2.

For isosceles triangles, the wzór na pole trójkąta równoramiennego $formula for the area of an isosceles triangle$ is shown as P = $1/2$ ah, where 'a' is the base and 'h' is the height. An alternative formula using the angle between equal sides is also provided: P = (1/2)b² sin α.

Vocabulary: Equilateral triangle $trójkąt równoboczny$ - a triangle with all sides equal in length.

Vocabulary: Isosceles triangle $trójkąt równoramienny$ - a triangle with two sides of equal length.

Highlight: The relationship between the inradius $r$ and circumradius $R$ of an equilateral triangle is shown as R = 2r.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Pole trójkąta i koła

1514

geometria płaska

129

Bryły

8263

248

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Planimetria

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt

Przekształcanie wzorów na pole trójkąta

Matematyka

•

1443

•

8 paź 2025

•

4 strony

Jak obliczyć pole i wysokość trójkąta? - Wzory i objaśnienia dla dzieci

Biolchemiczna

@biolchemiczna

Trójkąty - kluczowe wzory i właściwości geometryczne

Dokument przedstawia kompleksowe omówienie różnych typów trójkątów, ich właściwości oraz wzory na obliczanie pola powierzchni. Główne punkty to:

Szczegółowe wzory na pole powierzchni dla trójkątów równobocznych, równoramiennych i prostokątnych
Charakterystyka trójkątów ostrokątnych i... Pokaż więcej

$# Pole trikąta 1) Trojkąt równoboczny a A h a B $P_a$=$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $Obs=3a$ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ R=2r a $R=\frac{2$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Right-Angled Triangles

This page focuses on the properties and formulas related to right-angled triangles.

The wzór na pole trójkąta prostokątnego $formula for the area of a right-angled triangle$ is presented in multiple forms:

P = (1/2)ab, where 'a' and 'b' are the lengths of the two perpendicular sides.
P = (1/2)ch, where 'c' is the hypotenuse and 'h' is the height to the hypotenuse.

The Pythagorean theorem is highlighted: a² + b² = c², where 'c' is the hypotenuse and 'a' and 'b' are the other two sides.

Definition: Altitude $wysokość$ - The perpendicular line segment from a vertex to the opposite side (or its extension) in a triangle.

Example: The formula for the altitude of a right-angled triangle is given as h = (xy) / c, where 'x' and 'y' are segments of the hypotenuse created by the altitude.

Highlight: The diameter of the circumcircle of a right-angled triangle is equal to the length of its hypotenuse.

$# Pole trikąta 1) Trojkąt równoboczny a A h a B $P_a$=$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $Obs=3a$ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ R=2r a $R=\frac{2$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Scalene Triangles and General Triangle Properties

This page covers scalene triangles and general properties applicable to all triangles.

For scalene triangles, the wzór na pole trójkąta (formula for the area of a triangle) is presented in various forms:

P = (1/2)ah, where 'a' is any side and 'h' is the corresponding height.
P = (1/2)bc sin α, where 'b' and 'c' are two sides and α is the angle between them.

The page also discusses the classification of triangles based on their angles:

Acute triangle: All angles < 90°
Right-angled triangle: One angle = 90°
Obtuse triangle: One angle > 90°

Vocabulary: Scalene triangle $trójkąt różnoboczny$ - a triangle with no two sides of equal length.

Highlight: In an acute triangle, the center of the circumcircle lies inside the triangle, while in an obtuse triangle, it lies outside.

$# Pole trikąta 1) Trojkąt równoboczny a A h a B $P_a$=$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $Obs=3a$ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ R=2r a $R=\frac{2$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

General Triangle Formulas and Heron's Formula

This final page presents general formulas applicable to all triangles and introduces Heron's formula.

The wzór na pole trójkąta $formula for the area of a triangle$ is given as P = pr, where 'p' is the semi-perimeter and 'r' is the inradius.

The relationship between the area $P$ , semi-perimeter $p$ , and circumradius $R$ is shown as: P = abc / (4R)

Highlight: Heron's formula for calculating the area of a triangle: P = √ $p(p-a)(p-b)(p-c)$ , where 'p' is the semi-perimeter and 'a', 'b', 'c' are the side lengths.

Definition: Semi-perimeter $półobwód$ - Half the perimeter of a triangle, calculated as p = $a + b + c$ / 2.

Example: The pole trójkąta kalkulator (triangle area calculator) often uses Heron's formula as it only requires the lengths of the three sides to compute the area.

$# Pole trikąta 1) Trojkąt równoboczny a A h a B $P_a$=$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $Obs=3a$ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ R=2r a $R=\frac{2$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Equilateral and Isosceles Triangles

This page introduces the formulas and properties of equilateral and isosceles triangles.

Vocabulary: Equilateral triangle $trójkąt równoboczny$ - a triangle with all sides equal in length.

Vocabulary: Isosceles triangle $trójkąt równoramienny$ - a triangle with two sides of equal length.

Highlight: The relationship between the inradius $r$ and circumradius $R$ of an equilateral triangle is shown as R = 2r.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Wzory na pole trójkąta i koła

Zrozumienie wzorów na pole trójkąta i koła. Notatka zawiera kluczowe twierdzenia, takie jak twierdzenie sinusów i cosinusów, oraz zasady addytywności pola. Idealna dla uczniów liceum, którzy chcą zgłębić geometrię figur płaskich.

Matematyka

Geometria Trójkątów

Zgłębiaj zasady geometrii trójkątów, w tym wysokości, rodzaje trójkątów (równoboczny, prostokątny, rozwartokątny) oraz twierdzenia Pitagorasa. Materiał obejmuje kluczowe pojęcia, takie jak miary kątów i kongruencja trójkątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Wzory Brył Geometrycznych

Odkryj kluczowe wzory na objętość i pole powierzchni różnych brył geometrycznych, w tym sześcianu, prostopadłościanu, ostrosłupów, kuli, stożka i walca. Zawiera szczegółowe obliczenia oraz ilości ścian, krawędzi i wierzchołków. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Miarowe Związki w Trójkątach

Zgłębiaj związki miarowe w trójkątach, w tym wysokości, obwody, pola oraz cechy trójkątów równobocznych i prostokątnych. Dowiedz się o okręgach wpisanych i opisanych oraz o symetralnych boków. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii. Typ: wykład.

Matematyka

Wzory na Pola Czworokątów

Odkryj kluczowe wzory do obliczania pól różnych czworokątów, w tym kwadratu, prostokąta, równoległoboku, trapezu i deltoidu. Zrozum zasady dotyczące obliczeń oraz zastosowanie wzoru Herona. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Wzory Graniastosłupów

Zrozumienie graniastosłupów: wzory na objętość i pole powierzchni, w tym prostopadłościanów i sześcianów. Dowiedz się o ostrosłupach, kątach w bryłach oraz zastosowaniach geometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

Matematyka

Podobne notatki

Pole trójkąta i koła

1514

geometria płaska

129

Bryły

8263

248

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS