Potęgi i pierwiastki

Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. Gdy mamy liczbę a i chcemy ją podnieść do potęgi n, zapisujemy to jako a^n, co oznacza a · a · ... · a (n razy). Proste, prawda?

Pierwiastek arytmetyczny to działanie odwrotne do potęgowania. Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a ≥ 0 oznaczamy jako √ⁿa i jest to liczba b ≥ 0 taka, że b^n = a. Pamiętaj, że pierwiastek z liczby podniesionej do kwadratu daje wartość bezwzględną: √(a²) = |a|.

Gdy liczba a jest ujemna, pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje i jest liczbą ujemną. Natomiast pierwiastki parzystego stopnia z liczb ujemnych nie istnieją w zbiorze liczb rzeczywistych. To ważne rozróżnienie!

Dla potęg mamy również specjalne przypadki: a^0 = 1 (dla a ≠ 0), a^$-n$ = 1/a^n. Możemy też zapisywać potęgi z wykładnikami ułamkowymi: a^$m/n$ = √ⁿ$a^m$.

⚡ Wskazówka: Gdy porównujesz potęgi o tej samej podstawie, zwróć uwagę na wartość podstawy! Dla a ∈ (0, 1) większy wykładnik daje mniejszą wartość $a^x < a^y gdy x > y$, a dla a > 1 jest odwrotnie $a^x < a^y gdy x < y$.

Korzystając z poniższych wzorów, możesz uprościć nawet skomplikowane wyrażenia z potęgami:

• a^r · a^s = a^$r+s$
• $a^r$^s = a^(rs)
• a^r/a^s = a^$r-s$
• (ab)^r = a^r · b^r
• $a/b$^r = a^r/b^r

Wzory te działają dla wszystkich liczb a, b ≠ 0, gdy wykładniki są liczbami całkowitymi. Dla liczb a, b > 0 działają dla dowolnych wykładników rzeczywistych.