Knowunity AI

Więcej

Kariera

Program dla Twórców

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Własności wykładników

MatematykaMatematyka1,560 wyświetleń·Zaktualizowano Jun 6, 2026·10 strony

Potęgi i Pierwiastki – Praktyczne Wzory i Zadania

user profile picture
🧿Marta 🧿@matgrambyme

Potęgi i pierwiastki to fundamentalne pojęcia matematyczne, które mają szerokie... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
1 / 10
1
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Potęgi - definicje i własności

Potęgowanie to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. Dla liczby całkowitej dodatniej n, n-ta potęga liczby a zapisywana jako ana^n oznacza iloczyn n czynników równych a.

Potęgi mają szereg przydatnych własności, które znacznie ułatwiają obliczenia. Dla liczb dodatnich a i b oraz dowolnych liczb rzeczywistych r i s, najważniejsze z nich to: ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s}, (ar)s=ars(a^r)^s = a^{rs}, aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, (a⋅b)r=ar⋅br(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r oraz (ab)r=arbr(\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r}.

Warto również pamiętać o specjalnych przypadkach potęg. Gdy a≠0a \neq 0, to a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} (potęga o wykładniku ujemnym), a dla a≥0a \geq 0 mamy amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} (potęga o wykładniku ułamkowym).

💡 Wskazówka: Pamiętaj, że potęgi o wykładniku ujemnym to po prostu odwrotności odpowiednich potęg o wykładniku dodatnim. Na przykład: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

2
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Pierwiastki - definicja i właściwości

Pierwiastek to operacja odwrotna do potęgowania. Pierwiastek arytmetyczny stopnia n z liczby a ≥ 0, zapisywany jako an\sqrt[n]{a}, to taka nieujemna liczba b, dla której bn=ab^n = a.

Warto zapamiętać, że pierwiastek kwadratowy z kwadratu liczby daje jej wartość bezwzględną: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|. Ta własność jest szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu równań i nierówności.

Pierwiastki można także zapisywać jako potęgi o wykładniku ułamkowym: an=a1n\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}. Dzięki temu możemy stosować wszystkie poznane wcześniej prawa działań na potęgach również do pierwiastków.

🔍 Uwaga: Pamiętaj, że pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą, natomiast pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej jest ujemny!

3
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Przykład z potęgą o wykładniku ujemnym

Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia (1+3⋅2−1)−2(1 + 3 \cdot 2^{-1})^{-2}. Aby rozwiązać to zadanie, musimy zastosować własności potęg krok po kroku.

Najpierw upraszczamy wyrażenie w nawiasie: $1 + 3 \cdot 2^{-1} = 1 + 3 \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}.Terazmoz˙emyobliczycˊpotęgę:. Teraz możemy obliczyć potęgę: 52\frac{5}{2}^{-2}$.

Korzystając z własności potęgi o wykładniku ujemnym, otrzymujemy: (52)−2=(25)2=425(\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}. To nasze rozwiązanie.

🚀 Strategia: Przy obliczaniu wartości wyrażeń z potęgami o wykładnikach ujemnych, najpierw uprość wyrażenie w nawiasie, a następnie zamień potęgę ujemną na ułamek z potęgą dodatnią.

4
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Obliczanie potęgi o wykładniku ułamkowym

W tym zadaniu mamy obliczyć wartość wyrażenia (5⋅52)13(5 \cdot 5^2)^{\frac{1}{3}}. Zastosujemy prawa działań na potęgach, aby uprościć to wyrażenie.

Najpierw zauważamy, że $5 \cdot 5^2 = 5^1 \cdot 5^2 = 5^{1+2} = 5^3.Terazmoz˙emyobliczycˊ:. Teraz możemy obliczyć: 535^3^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 5^1 = 5$.

Poprawna odpowiedź to $5$, co odpowiada opcji C w zadaniu. Zauważ, jak wykorzystanie własności potęg pozwoliło nam szybko uzyskać wynik bez skomplikowanych obliczeń.

💡 Wskazówka: Zawsze staraj się najpierw uprościć wyrażenie w nawiasie, wykorzystując własności potęg, a dopiero potem podnosić do potęgi o wykładniku ułamkowym. Oszczędzisz sobie niepotrzebnych obliczeń!

5
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Działania na pierwiastkach

To zadanie wymaga obliczenia wartości wyrażenia −27163⋅23\sqrt[3]{-\frac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2}. Zastosujemy własność iloczynu pierwiastków tego samego stopnia.

Korzystając z własności an⋅bn=a⋅bn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}, możemy zapisać: −27163⋅23=−2716⋅23=−54163=−2783\sqrt[3]{-\frac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{-\frac{27}{16} \cdot 2} = \sqrt[3]{-\frac{54}{16}} = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}.

Teraz wyciągamy pierwiastek sześcienny: −2783=−32\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2}, ponieważ (−32)3=−278(-\frac{3}{2})^3 = -\frac{27}{8}. Poprawna odpowiedź to A.

🔍 Ważne: Przy obliczaniu pierwiastków nieparzystego stopnia z liczb ujemnych pamiętaj, że wynikiem będzie liczba ujemna. Na przykład: −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2, ponieważ (−2)3=−8(-2)^3 = -8.

6
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Przekształcanie złożonych wyrażeń pierwiastkowych

W tym zadaniu mamy obliczyć wartość iloczynu x3⋅x⋅x6\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt[6]{x} dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x.

Zamienimy pierwiastki na potęgi o wykładnikach ułamkowych: x3=x13\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}, x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, x6=x16\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}. Teraz wyrażenie przyjmuje postać: x13⋅x12⋅x16x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{6}}.

Korzystając z własności potęg, dodajemy wykładniki: x13⋅x12⋅x16=x13+12+16=x2+3+16=x66=x1=xx^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}} = x^{\frac{2+3+1}{6}} = x^{\frac{6}{6}} = x^1 = x. Odpowiedź: A.

💪 Trick matematyczny: Gdy masz iloczyn pierwiastków różnych stopni z tej samej podstawy, zamień je na potęgi o wykładnikach ułamkowych i dodaj wykładniki. To zawsze działa!

7
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami

Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia $3\sqrt{45} - \sqrt{20}$. Aby to zrobić, rozbijemy pierwiastki na czynniki.

Najpierw rozkładamy liczby pod pierwiastkami: 45=9⋅5=35\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} oraz 20=4⋅5=25\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}. Teraz możemy podstawić te wartości do oryginalnego wyrażenia.

$3\sqrt{45} - \sqrt{20} = 3 \cdot 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 9\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (9-2)\sqrt{5} = 7\sqrt{5} = 7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$. Stąd poprawna odpowiedź to D.

🎯 Sprytna metoda: Zawsze staraj się wyłączyć przed pierwiastek jak największe kwadraty (dla pierwiastka kwadratowego) lub sześciany (dla pierwiastka sześciennego). Dzięki temu wyrażenia z pierwiastkami stają się znacznie prostsze!

8
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Działania na potęgach o wykładnikach ujemnych

W tym zadaniu musimy obliczyć wartość wyrażenia 3−1(−19)−2⋅81\frac{3^{-1}}{(-\frac{1}{9})^{-2}} \cdot 81.

Przekształcamy wyrażenie krok po kroku: $3^{-1} = \frac{1}{3}oraz oraz −19-\frac{1}{9}^{-2} = \frac{1}{−19-\frac{1}{9}^2} = \frac{1}{181\frac{1}{81}} = 81$.

Podstawiając te wartości, otrzymujemy: 1381⋅81=13⋅8181=13⋅1=13\frac{\frac{1}{3}}{81} \cdot 81 = \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{81} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}. Stąd prawidłowa odpowiedź to A.

💡 Podpowiedź: Przy potęgach o wykładnikach ujemnych pamiętaj o zależności a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}. Natomiast wyrażenie (−19)−2(-\frac{1}{9})^{-2} możesz przekształcić najpierw w (−19)−2=1(−19)2=1181=81(\frac{-1}{9})^{-2} = \frac{1}{(\frac{-1}{9})^2} = \frac{1}{\frac{1}{81}} = 81.

9
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Potęgi o tej samej podstawie

Zadanie wymaga znalezienia połowy liczby $8^{22}$. Skorzystamy z własności potęg, aby rozwiązać to zadanie.

Połowa liczby $8^{22}to to \frac{1}{2} \cdot 8^{22}.Moz˙emyzapisacˊ. Możemy zapisać 8jakopotęgęliczby jako potęgę liczby 2:: 8 = 2^3.Więc. Więc 8^{22} = 232^3^{22} = 2^{3 \cdot 22} = 2^{66}$.

Teraz obliczamy: 12⋅822=2−1⋅266=2−1+66=265\frac{1}{2} \cdot 8^{22} = 2^{-1} \cdot 2^{66} = 2^{-1+66} = 2^{65}. Prawidłowa odpowiedź to D.

🚀 Strategia: Gdy masz do czynienia z potęgami o różnych podstawach, spróbuj sprowadzić je do tej samej podstawy. Często warto przedstawić większe liczby jako potęgi mniejszych np. $8 = 2^3$, $9 = 3^2$ itp..

10
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Złożone działania na potęgach

W tym zadaniu mamy obliczyć wartość wyrażenia (3−2,4⋅325)12(3^{-2,4} \cdot 3^{\frac{2}{5}})^{\frac{1}{2}}. Zastosujemy własności potęg, aby uprościć to wyrażenie.

Najpierw przekształćmy wyrażenie w nawiasie: $3^{-2,4} \cdot 3^{\frac{2}{5}} = 3^{-\frac{24}{10}} \cdot 3^{\frac{4}{10}} = 3^{-\frac{24}{10}+\frac{4}{10}} = 3^{-\frac{20}{10}} = 3^{-2}$.

Teraz możemy obliczyć: (3−2)12=3−2⋅12=3−1=13(3^{-2})^{\frac{1}{2}} = 3^{-2 \cdot \frac{1}{2}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}. Prawidłowa odpowiedź to C.

🔍 Pomocna rada: Kiedy masz do czynienia z wykładnikami w formie dziesiętnej np.−2,4np. -2,4, zamień je na ułamki zwykłe -2,4 = -$\frac{24}{10}$, żeby łatwiej było stosować własności potęg. Pamiętaj, że najważniejszym krokiem jest zawsze najpierw uprościć wyrażenie w nawiasie!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: Własności wykładników

9

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9

Najpopularniejsze notatki

9

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS

Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Własności wykładników

MatematykaMatematyka1,560 wyświetleń·Zaktualizowano Jun 6, 2026·10 strony

Potęgi i Pierwiastki – Praktyczne Wzory i Zadania

user profile picture
🧿Marta 🧿@matgrambyme

Potęgi i pierwiastki to fundamentalne pojęcia matematyczne, które mają szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach. Zrozumienie ich właściwości i umiejętność wykonywania działań na nich jest kluczem do sukcesu w matematyce. W tym materiale poznasz najważniejsze reguły dotyczące potęg i pierwiastków oraz... Pokaż więcej

1
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Potęgi - definicje i własności

Potęgowanie to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. Dla liczby całkowitej dodatniej n, n-ta potęga liczby a zapisywana jako ana^n oznacza iloczyn n czynników równych a.

Potęgi mają szereg przydatnych własności, które znacznie ułatwiają obliczenia. Dla liczb dodatnich a i b oraz dowolnych liczb rzeczywistych r i s, najważniejsze z nich to: ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s}, (ar)s=ars(a^r)^s = a^{rs}, aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, (a⋅b)r=ar⋅br(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r oraz (ab)r=arbr(\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r}.

Warto również pamiętać o specjalnych przypadkach potęg. Gdy a≠0a \neq 0, to a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} (potęga o wykładniku ujemnym), a dla a≥0a \geq 0 mamy amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} (potęga o wykładniku ułamkowym).

💡 Wskazówka: Pamiętaj, że potęgi o wykładniku ujemnym to po prostu odwrotności odpowiednich potęg o wykładniku dodatnim. Na przykład: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

2
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Pierwiastki - definicja i właściwości

Pierwiastek to operacja odwrotna do potęgowania. Pierwiastek arytmetyczny stopnia n z liczby a ≥ 0, zapisywany jako an\sqrt[n]{a}, to taka nieujemna liczba b, dla której bn=ab^n = a.

Warto zapamiętać, że pierwiastek kwadratowy z kwadratu liczby daje jej wartość bezwzględną: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|. Ta własność jest szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu równań i nierówności.

Pierwiastki można także zapisywać jako potęgi o wykładniku ułamkowym: an=a1n\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}. Dzięki temu możemy stosować wszystkie poznane wcześniej prawa działań na potęgach również do pierwiastków.

🔍 Uwaga: Pamiętaj, że pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą, natomiast pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej jest ujemny!

3
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Przykład z potęgą o wykładniku ujemnym

Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia (1+3⋅2−1)−2(1 + 3 \cdot 2^{-1})^{-2}. Aby rozwiązać to zadanie, musimy zastosować własności potęg krok po kroku.

Najpierw upraszczamy wyrażenie w nawiasie: $1 + 3 \cdot 2^{-1} = 1 + 3 \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}.Terazmoz˙emyobliczycˊpotęgę:. Teraz możemy obliczyć potęgę: 52\frac{5}{2}^{-2}$.

Korzystając z własności potęgi o wykładniku ujemnym, otrzymujemy: (52)−2=(25)2=425(\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}. To nasze rozwiązanie.

🚀 Strategia: Przy obliczaniu wartości wyrażeń z potęgami o wykładnikach ujemnych, najpierw uprość wyrażenie w nawiasie, a następnie zamień potęgę ujemną na ułamek z potęgą dodatnią.

4
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Obliczanie potęgi o wykładniku ułamkowym

W tym zadaniu mamy obliczyć wartość wyrażenia (5⋅52)13(5 \cdot 5^2)^{\frac{1}{3}}. Zastosujemy prawa działań na potęgach, aby uprościć to wyrażenie.

Najpierw zauważamy, że $5 \cdot 5^2 = 5^1 \cdot 5^2 = 5^{1+2} = 5^3.Terazmoz˙emyobliczycˊ:. Teraz możemy obliczyć: 535^3^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 5^1 = 5$.

Poprawna odpowiedź to $5$, co odpowiada opcji C w zadaniu. Zauważ, jak wykorzystanie własności potęg pozwoliło nam szybko uzyskać wynik bez skomplikowanych obliczeń.

💡 Wskazówka: Zawsze staraj się najpierw uprościć wyrażenie w nawiasie, wykorzystując własności potęg, a dopiero potem podnosić do potęgi o wykładniku ułamkowym. Oszczędzisz sobie niepotrzebnych obliczeń!

5
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Działania na pierwiastkach

To zadanie wymaga obliczenia wartości wyrażenia −27163⋅23\sqrt[3]{-\frac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2}. Zastosujemy własność iloczynu pierwiastków tego samego stopnia.

Korzystając z własności an⋅bn=a⋅bn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}, możemy zapisać: −27163⋅23=−2716⋅23=−54163=−2783\sqrt[3]{-\frac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{-\frac{27}{16} \cdot 2} = \sqrt[3]{-\frac{54}{16}} = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}.

Teraz wyciągamy pierwiastek sześcienny: −2783=−32\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2}, ponieważ (−32)3=−278(-\frac{3}{2})^3 = -\frac{27}{8}. Poprawna odpowiedź to A.

🔍 Ważne: Przy obliczaniu pierwiastków nieparzystego stopnia z liczb ujemnych pamiętaj, że wynikiem będzie liczba ujemna. Na przykład: −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2, ponieważ (−2)3=−8(-2)^3 = -8.

6
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Przekształcanie złożonych wyrażeń pierwiastkowych

W tym zadaniu mamy obliczyć wartość iloczynu x3⋅x⋅x6\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt[6]{x} dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x.

Zamienimy pierwiastki na potęgi o wykładnikach ułamkowych: x3=x13\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}, x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, x6=x16\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}. Teraz wyrażenie przyjmuje postać: x13⋅x12⋅x16x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{6}}.

Korzystając z własności potęg, dodajemy wykładniki: x13⋅x12⋅x16=x13+12+16=x2+3+16=x66=x1=xx^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}} = x^{\frac{2+3+1}{6}} = x^{\frac{6}{6}} = x^1 = x. Odpowiedź: A.

💪 Trick matematyczny: Gdy masz iloczyn pierwiastków różnych stopni z tej samej podstawy, zamień je na potęgi o wykładnikach ułamkowych i dodaj wykładniki. To zawsze działa!

7
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami

Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia $3\sqrt{45} - \sqrt{20}$. Aby to zrobić, rozbijemy pierwiastki na czynniki.

Najpierw rozkładamy liczby pod pierwiastkami: 45=9⋅5=35\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} oraz 20=4⋅5=25\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}. Teraz możemy podstawić te wartości do oryginalnego wyrażenia.

$3\sqrt{45} - \sqrt{20} = 3 \cdot 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 9\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (9-2)\sqrt{5} = 7\sqrt{5} = 7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$. Stąd poprawna odpowiedź to D.

🎯 Sprytna metoda: Zawsze staraj się wyłączyć przed pierwiastek jak największe kwadraty (dla pierwiastka kwadratowego) lub sześciany (dla pierwiastka sześciennego). Dzięki temu wyrażenia z pierwiastkami stają się znacznie prostsze!

8
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Działania na potęgach o wykładnikach ujemnych

W tym zadaniu musimy obliczyć wartość wyrażenia 3−1(−19)−2⋅81\frac{3^{-1}}{(-\frac{1}{9})^{-2}} \cdot 81.

Przekształcamy wyrażenie krok po kroku: $3^{-1} = \frac{1}{3}oraz oraz −19-\frac{1}{9}^{-2} = \frac{1}{−19-\frac{1}{9}^2} = \frac{1}{181\frac{1}{81}} = 81$.

Podstawiając te wartości, otrzymujemy: 1381⋅81=13⋅8181=13⋅1=13\frac{\frac{1}{3}}{81} \cdot 81 = \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{81} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}. Stąd prawidłowa odpowiedź to A.

💡 Podpowiedź: Przy potęgach o wykładnikach ujemnych pamiętaj o zależności a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}. Natomiast wyrażenie (−19)−2(-\frac{1}{9})^{-2} możesz przekształcić najpierw w (−19)−2=1(−19)2=1181=81(\frac{-1}{9})^{-2} = \frac{1}{(\frac{-1}{9})^2} = \frac{1}{\frac{1}{81}} = 81.

9
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Potęgi o tej samej podstawie

Zadanie wymaga znalezienia połowy liczby $8^{22}$. Skorzystamy z własności potęg, aby rozwiązać to zadanie.

Połowa liczby $8^{22}to to \frac{1}{2} \cdot 8^{22}.Moz˙emyzapisacˊ. Możemy zapisać 8jakopotęgęliczby jako potęgę liczby 2:: 8 = 2^3.Więc. Więc 8^{22} = 232^3^{22} = 2^{3 \cdot 22} = 2^{66}$.

Teraz obliczamy: 12⋅822=2−1⋅266=2−1+66=265\frac{1}{2} \cdot 8^{22} = 2^{-1} \cdot 2^{66} = 2^{-1+66} = 2^{65}. Prawidłowa odpowiedź to D.

🚀 Strategia: Gdy masz do czynienia z potęgami o różnych podstawach, spróbuj sprowadzić je do tej samej podstawy. Często warto przedstawić większe liczby jako potęgi mniejszych np. $8 = 2^3$, $9 = 3^2$ itp..

10
of 10
# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Złożone działania na potęgach

W tym zadaniu mamy obliczyć wartość wyrażenia (3−2,4⋅325)12(3^{-2,4} \cdot 3^{\frac{2}{5}})^{\frac{1}{2}}. Zastosujemy własności potęg, aby uprościć to wyrażenie.

Najpierw przekształćmy wyrażenie w nawiasie: $3^{-2,4} \cdot 3^{\frac{2}{5}} = 3^{-\frac{24}{10}} \cdot 3^{\frac{4}{10}} = 3^{-\frac{24}{10}+\frac{4}{10}} = 3^{-\frac{20}{10}} = 3^{-2}$.

Teraz możemy obliczyć: (3−2)12=3−2⋅12=3−1=13(3^{-2})^{\frac{1}{2}} = 3^{-2 \cdot \frac{1}{2}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}. Prawidłowa odpowiedź to C.

🔍 Pomocna rada: Kiedy masz do czynienia z wykładnikami w formie dziesiętnej np.−2,4np. -2,4, zamień je na ułamki zwykłe -2,4 = -$\frac{24}{10}$, żeby łatwiej było stosować własności potęg. Pamiętaj, że najważniejszym krokiem jest zawsze najpierw uprościć wyrażenie w nawiasie!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: Własności wykładników

9

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9

Najpopularniejsze notatki

9

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS