Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Własności wykładników

1474

•

3 lut 2026

•

10 strony

Potęgi i Pierwiastki – Praktyczne Wzory i Zadania

🧿Marta 🧿

@matgrambyme

Potęgi i pierwiastki to fundamentalne pojęcia matematyczne, które mają szerokie... Pokaż więcej

1 / 10

$# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a$

Potęgi - definicje i własności

Potęgowanie to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. Dla liczby całkowitej dodatniej n, n-ta potęga liczby a zapisywana jako $a^n$ oznacza iloczyn n czynników równych a.

Potęgi mają szereg przydatnych własności, które znacznie ułatwiają obliczenia. Dla liczb dodatnich a i b oraz dowolnych liczb rzeczywistych r i s, najważniejsze z nich to: $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ , $(a^r)^s = a^{rs}$ , $\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$ , $(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$ oraz $(\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r}$ .

Warto również pamiętać o specjalnych przypadkach potęg. Gdy $a \neq 0$ , to $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (potęga o wykładniku ujemnym), a dla $a \geq 0$ mamy $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ (potęga o wykładniku ułamkowym).

💡 Wskazówka: Pamiętaj, że potęgi o wykładniku ujemnym to po prostu odwrotności odpowiednich potęg o wykładniku dodatnim. Na przykład: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

$# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a$

Pierwiastki - definicja i właściwości

Pierwiastek to operacja odwrotna do potęgowania. Pierwiastek arytmetyczny stopnia n z liczby a ≥ 0, zapisywany jako $\sqrt[n]{a}$ , to taka nieujemna liczba b, dla której $b^n = a$ .

Warto zapamiętać, że pierwiastek kwadratowy z kwadratu liczby daje jej wartość bezwzględną: $\sqrt{a^2} = |a|$ . Ta własność jest szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu równań i nierówności.

Pierwiastki można także zapisywać jako potęgi o wykładniku ułamkowym: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ . Dzięki temu możemy stosować wszystkie poznane wcześniej prawa działań na potęgach również do pierwiastków.

🔍 Uwaga: Pamiętaj, że pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą, natomiast pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej jest ujemny!

$# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a$

Przykład z potęgą o wykładniku ujemnym

Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia $(1 + 3 \cdot 2^{-1})^{-2}$ . Aby rozwiązać to zadanie, musimy zastosować własności potęg krok po kroku.

Najpierw upraszczamy wyrażenie w nawiasie: $1 + 3 \cdot 2^{-1} = 1 + 3 \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} $. Teraz możemy obliczyć potęgę:$ $\frac{5}{2}$ ^{-2}$.

Korzystając z własności potęgi o wykładniku ujemnym, otrzymujemy: $(\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$ . To nasze rozwiązanie.

🚀 Strategia: Przy obliczaniu wartości wyrażeń z potęgami o wykładnikach ujemnych, najpierw uprość wyrażenie w nawiasie, a następnie zamień potęgę ujemną na ułamek z potęgą dodatnią.

$# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a$

Obliczanie potęgi o wykładniku ułamkowym

W tym zadaniu mamy obliczyć wartość wyrażenia $(5 \cdot 5^2)^{\frac{1}{3}}$ . Zastosujemy prawa działań na potęgach, aby uprościć to wyrażenie.

Najpierw zauważamy, że $5 \cdot 5^2 = 5^1 \cdot 5^2 = 5^{1+2} = 5^3 $. Teraz możemy obliczyć:$ $5^3$ ^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 5^1 = 5$.

Poprawna odpowiedź to $5$, co odpowiada opcji C w zadaniu. Zauważ, jak wykorzystanie własności potęg pozwoliło nam szybko uzyskać wynik bez skomplikowanych obliczeń.

💡 Wskazówka: Zawsze staraj się najpierw uprościć wyrażenie w nawiasie, wykorzystując własności potęg, a dopiero potem podnosić do potęgi o wykładniku ułamkowym. Oszczędzisz sobie niepotrzebnych obliczeń!

$# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a$

Działania na pierwiastkach

To zadanie wymaga obliczenia wartości wyrażenia $\sqrt[3]{-\frac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2}$ . Zastosujemy własność iloczynu pierwiastków tego samego stopnia.

Korzystając z własności $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ , możemy zapisać: $\sqrt[3]{-\frac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{-\frac{27}{16} \cdot 2} = \sqrt[3]{-\frac{54}{16}} = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$ .

Teraz wyciągamy pierwiastek sześcienny: $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2}$ , ponieważ $(-\frac{3}{2})^3 = -\frac{27}{8}$ . Poprawna odpowiedź to A.

🔍 Ważne: Przy obliczaniu pierwiastków nieparzystego stopnia z liczb ujemnych pamiętaj, że wynikiem będzie liczba ujemna. Na przykład: $\sqrt[3]{-8} = -2$ , ponieważ $(-2)^3 = -8$ .

$# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a$

Przekształcanie złożonych wyrażeń pierwiastkowych

W tym zadaniu mamy obliczyć wartość iloczynu $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt[6]{x}$ dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x.

Zamienimy pierwiastki na potęgi o wykładnikach ułamkowych: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ , $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$ . Teraz wyrażenie przyjmuje postać: $x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{6}}$ .

Korzystając z własności potęg, dodajemy wykładniki: $x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}} = x^{\frac{2+3+1}{6}} = x^{\frac{6}{6}} = x^1 = x$ . Odpowiedź: A.

💪 Trick matematyczny: Gdy masz iloczyn pierwiastków różnych stopni z tej samej podstawy, zamień je na potęgi o wykładnikach ułamkowych i dodaj wykładniki. To zawsze działa!

$# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a$

Upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami

Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia $3\sqrt{45} - \sqrt{20}$. Aby to zrobić, rozbijemy pierwiastki na czynniki.

Najpierw rozkładamy liczby pod pierwiastkami: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ oraz $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ . Teraz możemy podstawić te wartości do oryginalnego wyrażenia.

$3\sqrt{45} - \sqrt{20} = 3 \cdot 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 9\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (9-2)\sqrt{5} = 7\sqrt{5} = 7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$. Stąd poprawna odpowiedź to D.

🎯 Sprytna metoda: Zawsze staraj się wyłączyć przed pierwiastek jak największe kwadraty (dla pierwiastka kwadratowego) lub sześciany (dla pierwiastka sześciennego). Dzięki temu wyrażenia z pierwiastkami stają się znacznie prostsze!

$# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a$

Działania na potęgach o wykładnikach ujemnych

W tym zadaniu musimy obliczyć wartość wyrażenia $\frac{3^{-1}}{(-\frac{1}{9})^{-2}} \cdot 81$ .

Przekształcamy wyrażenie krok po kroku: $3^{-1} = \frac{1}{3} $oraz$ $-\frac{1}{9}$ ^{-2} = \frac{1}{ $-\frac{1}{9}$ ^2} = \frac{1}{ $\frac{1}{81}$ } = 81$.

Podstawiając te wartości, otrzymujemy: $\frac{\frac{1}{3}}{81} \cdot 81 = \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{81} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$ . Stąd prawidłowa odpowiedź to A.

💡 Podpowiedź: Przy potęgach o wykładnikach ujemnych pamiętaj o zależności $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Natomiast wyrażenie $(-\frac{1}{9})^{-2}$ możesz przekształcić najpierw w $(\frac{-1}{9})^{-2} = \frac{1}{(\frac{-1}{9})^2} = \frac{1}{\frac{1}{81}} = 81$ .

$# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a$

Potęgi o tej samej podstawie

Zadanie wymaga znalezienia połowy liczby $8^{22}$. Skorzystamy z własności potęg, aby rozwiązać to zadanie.

Połowa liczby $8^{22} $to$ \frac{1}{2} \cdot 8^{22} $. Możemy zapisać$ 8 $jako potęgę liczby$ 2 $:$ 8 = 2^3 $. Więc$ 8^{22} = $2^3$ ^{22} = 2^{3 \cdot 22} = 2^{66}$.

Teraz obliczamy: $\frac{1}{2} \cdot 8^{22} = 2^{-1} \cdot 2^{66} = 2^{-1+66} = 2^{65}$ . Prawidłowa odpowiedź to D.

🚀 Strategia: Gdy masz do czynienia z potęgami o różnych podstawach, spróbuj sprowadzić je do tej samej podstawy. Często warto przedstawić większe liczby jako potęgi mniejszych $np. $8 = 2^3$, $9 = 3^2$ itp.$ .

$# POTĘGI I PIERWIASTKI Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to n-tą potęgę liczby rzeczywistej a definiujemy jako: $a^n = \underbrace{a$

Złożone działania na potęgach

W tym zadaniu mamy obliczyć wartość wyrażenia $(3^{-2,4} \cdot 3^{\frac{2}{5}})^{\frac{1}{2}}$ . Zastosujemy własności potęg, aby uprościć to wyrażenie.

Najpierw przekształćmy wyrażenie w nawiasie: $3^{-2,4} \cdot 3^{\frac{2}{5}} = 3^{-\frac{24}{10}} \cdot 3^{\frac{4}{10}} = 3^{-\frac{24}{10}+\frac{4}{10}} = 3^{-\frac{20}{10}} = 3^{-2}$.

Teraz możemy obliczyć: $(3^{-2})^{\frac{1}{2}} = 3^{-2 \cdot \frac{1}{2}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$ . Prawidłowa odpowiedź to C.

🔍 Pomocna rada: Kiedy masz do czynienia z wykładnikami w formie dziesiętnej $np. -2,4$ , zamień je na ułamki zwykłe $-2,4 = -$\frac{24}{10}$$ , żeby łatwiej było stosować własności potęg. Pamiętaj, że najważniejszym krokiem jest zawsze najpierw uprościć wyrażenie w nawiasie!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: Własności wykładników

Zasady Potęgowania

Odkryj zasady potęgowania, w tym potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, zerowym oraz działania na potęgach. Zrozum notację wykładniczą i naucz się, jak mnożyć i dzielić potęgi. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Potęgi i Pierwiastki – Praktyczne Wzory i Zadania

Potęgi - definicje i własności

Pierwiastki - definicja i właściwości

Przykład z potęgą o wykładniku ujemnym

Obliczanie potęgi o wykładniku ułamkowym

Działania na pierwiastkach

Przekształcanie złożonych wyrażeń pierwiastkowych

Upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami

Działania na potęgach o wykładnikach ujemnych

Potęgi o tej samej podstawie

Złożone działania na potęgach

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: Własności wykładników

Zasady Potęgowania

Operacje na Potęgach

Działania na potęgach i pierwiastkach

Wzory Potęg

Operacje na Potęgach

Potęgi Liczb 1-50

Potęgi i Pierwiastki: Kluczowe Wzory

Prawa Potęg i Pierwiastków

Podstawy Liczb Rzeczywistych

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Analiza Funkcji Kwadratowej

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Geometrii Przestrzennej

Stereoizomeria

Podstawy Logarytmów

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Dziady III: Mesjanizm i Konrad

Analiza Dziadów III

Konflikty w Antygonie

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Analiza Ksiąg Biblijnych

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

4.7/5

Potęgi i Pierwiastki – Praktyczne Wzory i Zadania

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Potęgi - definicje i własności

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Pierwiastki - definicja i właściwości

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Przykład z potęgą o wykładniku ujemnym

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Obliczanie potęgi o wykładniku ułamkowym

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Działania na pierwiastkach

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Przekształcanie złożonych wyrażeń pierwiastkowych

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Działania na potęgach o wykładnikach ujemnych

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Potęgi o tej samej podstawie

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Złożone działania na potęgach

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: Własności wykładników

Zasady Potęgowania

Operacje na Potęgach

Działania na potęgach i pierwiastkach

Wzory Potęg

Operacje na Potęgach