Potęgi o wykładnikach wymiernych

Potęgi o wykładnikach wymiernych możesz zapisać na różne sposoby. Najważniejsze wzory to:

• $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ (potęgę z wykładnikiem wymiernym możesz zapisać jako pierwiastek)
• $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$ (możesz też najpierw wyciągnąć pierwiastek, a potem podnieść do potęgi)

Spójrzmy na kilka przykładów, które pokazują jak to działa w praktyce. Obliczając $8^{\frac{4}{3}}$, zamieniamy to na $\sqrt[3]{8^4}$, co daje nam 2. Podobnie $25^{\frac{3}{2}}$ możemy zapisać jako $(\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125$.

Wskazówka: Kiedy wykładnik jest ujemny, np. $2,25^{-0,5}$, pamiętaj o zasadzie, że $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$. Dlatego $2,25^{-0,5} = \frac{1}{\sqrt{2,25}} = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3}$.

Warto też pamiętać o właściwości $(a^x)^y = (a^y)^x$, która często pomaga uprościć obliczenia. Dzięki tym wzorem potrafisz teraz rozwiązać nawet takie zadania jak $4^{\frac{5}{2}} = \sqrt{4^5} = \sqrt{1024} = 32$ czy $0,027^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{0,027^2}$.