Matematyka

Wyrażenia wymierne i pierwiastki

Wyrażenia wykładnicze

667

•

2 gru 2025

•

5 strony

Potęgi - Przygotowanie do matury z zadaniami

🧿Marta 🧿

@matgrambyme

Potęgi to kluczowe zagadnienie matematyczne, które pozwala nam skrócić zapis... Pokaż więcej

1 / 5

Potęgi

Potęga to zapis liczby podnoszonej do określonej wartości. Składa się z podstawy (liczby, którą potęgujemy) i wykładnika (liczby mówiącej ile razy mnożymy podstawę przez samą siebie).

Potęgi mają specjalne własności, które ułatwiają przekształcanie złożonych wyrażeń. Najważniejsze z nich to: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ oraz $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ .

💡 Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z potęgami zawsze staraj się sprowadzić wyrażenie do najprostszej postaci, korzystając z własności potęg.

Potęgi o wykładnikach ujemnych oznaczają odwrotność: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , a ułamkowych - pierwiastek: $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ .

Zadanie z potęgą i pierwiastkiem

W tym zadaniu musimy wyznaczyć wartość wyrażenia $(5 \cdot 5^{\frac{1}{3}})^{3}$ . Aby to zrobić, skorzystamy z własności potęg.

Zauważ, że możemy zapisać iloczyn $5 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$ jako potęgę o tej samej podstawie. Pamiętaj, że $5 = 5^1$ , więc mamy $5^1 \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 5^{1+\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{3}}$ .

Teraz zastosujmy regułę $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , otrzymując $(5^{\frac{4}{3}})^3 = 5^{\frac{4}{3} \cdot 3} = 5^4 = 625$ .

📝 Zapamiętaj: Wykładnik $\frac{1}{3}$ oznacza pierwiastek sześcienny, a wykładnik $\frac{1}{2}$ oznacza pierwiastek kwadratowy.

Rozwiązanie pierwszego zadania

Rozwiążmy dokładnie zadanie z wyrażeniem $(5 \cdot 5^{\frac{1}{3}})^{3}$ . W poprzednim kroku popełniono błąd - miało być $5^{\frac{1}{2}}$ zamiast $5^{\frac{1}{3}}$ .

Korzystając z własności potęg: $(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^3 = (5^{1 + \frac{1}{2}})^3 = (5^{\frac{3}{2}})^3 = 5^{\frac{3}{2} \cdot 3} = 5^{\frac{9}{2}}$ .

Wyrażenie $5^{\frac{9}{2}}$ możemy zapisać jako $\sqrt{5^9}$ , co odpowiada odpowiedzi C.

⭐ Trik obliczeniowy: Wykładnik w postaci $\frac{a}{b}$ zawsze możesz interpretować jako pierwiastek stopnia $b$ z potęgi $a$ : $x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^a}$ .

Zadanie z potęgami o wykładnikach ujemnych

Teraz zajmiemy się wyrażeniem $(1 + 3 \cdot 2^{-1})^{-2}$ . Przy takich zadaniach warto najpierw uprościć wyrażenie w nawiasie.

Wiemy, że $2^{-1} = \frac{1}{2}$ , więc $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .

Mamy zatem $(1 + \frac{3}{2})^{-2} = (\frac{2}{2} + \frac{3}{2})^{-2} = (\frac{5}{2})^{-2}$ . Pamiętaj, że wykładnik ujemny oznacza odwrotność.

💡 Wskazówka: Aby obliczyć potęgę o wykładniku ujemnym, najpierw oblicz potęgę o wykładniku dodatnim, a następnie wyznacz jej odwrotność.

Rozwiązanie drugiego zadania

Kontynuując rozwiązanie zadania z wyrażeniem $(1 + 3 \cdot 2^{-1})^{-2}$ , wiemy już, że jest ono równe $(\frac{5}{2})^{-2}$ .

Korzystając z własności potęg o wykładnikach ujemnych: $(\frac{5}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{5}{2})^{2}}$ . Możemy też zapisać to jako $(\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^{2}$ .

Obliczamy: $(\frac{2}{5})^{2} = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$ . Zatem odpowiedź to B.

🔑 Kluczowa reguła: Dla ułamka $\frac{a}{b}$ podniesionego do potęgi ujemnej mamy: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n = \frac{b^n}{a^n}$ . To znacznie przyspiesza obliczenia!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: Wyrażenia wykładnicze

Operacje na Potęgach

Zgłębiaj operacje na potęgach z wykładnikami całkowitymi i wymiernymi. Materiał obejmuje kluczowe zasady, przykłady oraz zastosowania, które pomogą w zrozumieniu tematu. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Potęgi - Przygotowanie do matury z zadaniami

Potęgi

Zadanie z potęgą i pierwiastkiem

Rozwiązanie pierwszego zadania

Zadanie z potęgami o wykładnikach ujemnych

Rozwiązanie drugiego zadania

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: Wyrażenia wykładnicze

Operacje na Potęgach

Potęgi: Wykładniki Całkowite i Wymierne

Potęgi: Wykładniki Naturalne i Wymierne

Rational Exponents Explained

Potęgi i Pierwiastki: Karta Pracy

Rzeczywiste Wykładniki Potęg

Wykładniki Wymierne: Wzory

Potęgi i Pierwiastki

Egzamin ósmoklasisty

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Geometria Figur Płaszczyzny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Antyk: Filozofia i Mitologia

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Potęgi - Przygotowanie do matury z zadaniami

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Potęgi

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zadanie z potęgą i pierwiastkiem

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Rozwiązanie pierwszego zadania

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zadanie z potęgami o wykładnikach ujemnych

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Rozwiązanie drugiego zadania

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: Wyrażenia wykładnicze

Operacje na Potęgach

Potęgi: Wykładniki Całkowite i Wymierne

Potęgi: Wykładniki Naturalne i Wymierne

Rational Exponents Explained

Potęgi i Pierwiastki: Karta Pracy

Rzeczywiste Wykładniki Potęg

Wykładniki Wymierne: Wzory

Potęgi i Pierwiastki

Egzamin ósmoklasisty

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Geometria Figur Płaszczyzny

Najpopularniejsze notatki