Podstawy przesunięcia równoległego

Przesunięcie równoległe to przekształcenie, w którym każdy punkt figury przesuwamy o ten sam wektor $\vec{u}$. Oznaczamy je jako $T_{\vec{u}}$ i nazywamy też translacją.

Najważniejsza rzecz, którą musisz zapamiętać: przesunięcie zachowuje kształt i wielkość figury. To znaczy, że kwadrat pozostanie kwadratem, a trójkąt - trójkątem o tych samych bokach.

We współrzędnych jest super proste! Jeśli masz punkt A(x,y) i przesuwasz go o wektor $\vec{u} = [p,q]$, to nowy punkt A' ma współrzędne $x+p, y+q$. Po prostu dodajesz składowe wektora do współrzędnych punktu.

Wskazówka: Zawsze sprawdzaj swoje obliczenia, podstawiając otrzymane współrzędne z powrotem do wzoru!

Przesuwanie trójkątów - przykład praktyczny

Zobaczmy, jak to działa w praktyce. Mamy trójkąt ABC z wierzchołkami A(-3,1), B(4,-3), C(-4,5) i przesuwamy go o wektor [-3, -6].

Dla każdego wierzchołka dodajemy składowe wektora:

• A' = (-3+(-3), 1+(-6)) = (-6, -5)
• B' = (4+(-3), -3+(-6)) = (1, -9)
• C' = (-4+(-3), 5+(-6)) = (-7, -1)

Tak otrzymany trójkąt A'B'C' ma identyczny kształt i wielkość jak oryginalny ABC. Jedyna różnica to jego położenie na płaszczyźnie współrzędnych.

Pamiętaj: Składowa ujemna oznacza przesunięcie w przeciwną stronę (lewo lub dół)!

Przesuwanie wykresów funkcji w poziomie

Kiedy przesuwasz wykres funkcji o wektor [p, 0] (tylko w poziomie), wzór zmienia się na y = f$x-p$. To kluczowy wzór do zapamiętania!

Przykład z funkcją f(x) = x:

• Przesunięcie o [3, 0] (w prawo): g(x) = x - 3
• Przesunięcie o [-2, 0] (w lewo): g(x) = x + 2

Zauważ, że gdy przesuwasz w prawo o 3, odejmujesz 3 od x. Gdy przesuwasz w lewo o 2, dodajesz 2 do x. To może wydawać się odwrotne, ale tak właśnie działa!

Ważne też: dziedzina funkcji też się przesuwa o tę samą wartość.

Trick: Jeśli przesuwasz w prawo o p jednostek, w wzorze pojawia się $x-p$. W lewo o p jednostek to $x+p$!

Przesuwanie funkcji kwadratowych

Z funkcjami kwadratowymi robisz dokładnie to samo! Weźmy f(x) = x² - 3x + 4 i przesuńmy o [-5, 0].

Podstawiamy $x+5$ w miejsce x: g(x) = f$x+5$ = $x+5$² - 3$x+5$ + 4

Rozwijamy krok po kroku:

• $x+5$² = x² + 10x + 25
• -3$x+5$ = -3x - 15
• Dodajemy +4

Końcowy wynik: g(x) = x² + 7x + 14

Uwaga: Przy rozwijaniu nawiasów uważaj na znaki! To najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.

Znajdowanie wektora przesunięcia

Czasem dostaniesz funkcję oryginalną i po przesunięciu, a musisz znaleźć wektor przesunięcia. To zadanie "wstecz"!

Mamy f(x) = 2x + 7 i g(x) = 2x - 1. Wiemy, że g(x) = f$x - p$.

Podstawiamy: 2x - 1 = 2$x - p$ + 7 Rozwijamy: 2x - 1 = 2x - 2p + 7 Upraszczamy: -1 = -2p + 7 Rozwiązujemy: p = 4

Wektor przesunięcia to [4, 0], czyli przesunięcie w prawo o 4 jednostki.

Metoda: Zawsze przyrównuj współczynniki przy tych samych potęgach x - to najszybszy sposób!